2023—2024学年第二学期期中质量检测
七年级数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
2. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（ ）
A 沙漠 B. 体温 C. 时间 D. 骆驼
3. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. B.
C D.
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
7. 如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得，故．其中说明的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
9. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知，则的补角是______．
12. 在△ABC中，如果，那么△ABC是________三角形（按角分类）．
13. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则______．
14. 若，则__________.
15. 如图，若分别是的四等分线，也就是，，若，则______．
16. 如图，点在的延长线上，与交于点，且，，，为线段上一动点，为线段上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有______（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，，求证：．
证明：
（______），（已知），
______（等量代换），
（______），
（______），
（已知），
______（等量代换），
（______），
（______）．
20. 如图，已知点在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21. 小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
（1）按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
（2）写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
（3）按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
22. 甲，乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是______米，______先到达终点；
（2）15分钟以后乙的速度是______米/分；
（3）甲和乙出发______分钟后相遇，此时两人距B地______米．
23. （1）已知：如图1，，点在之间，连接．若，，求的度数．
（2）如图2，点分别是射线上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）条件下，，平分，平分，与交于点，若，，请直接写出的度数．
24. 【方法呈现】
若满足，求的值．
设，，则，，
．
【类比探究】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
设，，则______，______，则的值为______；
（2）若满足，求值；
拓展应用】
（3）如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，四边形为长方形，分别以，为边作正方形，阴影部分的面积是12．
①______，______；（用含的式子表示）
②求长方形的面积．
25. 如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．
（1）求的长；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值．2023—2024学年第二学期期中质量检测
七年级数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000075=7.5×10-6，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2. 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（ ）
A. 沙漠 B. 体温 C. 时间 D. 骆驼
【答案】C
【解析】
【分析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量和，对于每一个的值，都有唯一的值和它相对应”的函数定义，依据定义即可得到答案．
【详解】解∶骆驼的体温随时间的变化而变化，
自变量是时间，因变量是体温．
故选∶C．
【点睛】本题主要考查函数的定义，解题的关键是准确识别自变量和因变量，熟练掌握因变量是随自变量变化而变化的．
3. 下列各组数可能是一个三角形的三边长的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，比较每个选项中的两个较小数的和与最大数的大小关系即可得出答案．
【详解】解：A、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意；
B、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意；
C、∵，∴是一个三角形的三边长，符合题意；
D、∵，∴不是一个三角形的三边长，不符合题意；
故选：C．
4. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘除、积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解答的关键．分别根据同底数幂的乘除、积的乘方、单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算正确，符合题意，
故选：D．
5. 下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线的性质，线段的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故本选项合题意．
B、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
C、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故本选项不合题意；
D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了线段的性质，直线的性质，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
6. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：是完全平方式，
．
故选：D．
7. 如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，，，
∴，故选项A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，又，，
∴，故选项B不符合题意；
C、∵，，，
∴，故选项C不符合题意；
D、添加不能证明，故选项D符合题意，
故选：D．
8. 如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得，故．其中说明的依据是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA
【答案】A
【解析】
【分析】由三角形全等的判定来解题．
【详解】解：由作图痕迹得，
，，，
故，
故选A．
【点睛】本题主要考查三角形全等判定，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
9. 如图，为的中线，为的中线，为的中线，，按此规律，为的中线．若的面积为16，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查三角形的中线性质、图形类规律探究，根据三角形的中线平分该三角形的面积得到的面积变化规律即可求解．
【详解】解：根据题意，,
，
，
依次类推，，
故选：D．
10. 如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图象，当点P在边上时，，则，
又点P运动8秒时到点B处，
∴，故①正确；
∵点P运动c秒时到达点D处，
∴，故②错误；
点从点运动到点用时秒，故③正确；
当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误；
由题意，长方形面积为，
当的面积是长方形面积的时，，
由图知，点P在边上时，由得；
当点P在边上时，由得，
∴，
即当的面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误，
综上，正确结论的个数是2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分，把答案填在答题卡的横线上．）
11. 已知，则的补角是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角是，
故答案为：．
12. 在△ABC中，如果，那么△ABC是________三角形（按角分类）．
【答案】钝角
【解析】
【分析】利用三角形的内角和为180°，列方程求解即可；
【详解】解：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，
∴x+3x+5x=180°，解得：x=20°，
∴∠A=20°，∠B=40°，∠C=100°，
∴△ABC是钝角三角形，
故答案为：钝角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理；三角形的分类：在三角形中，三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形．
13. 在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条长方形纸带，点在上，点在上，把长方形纸带沿折叠，若，则______．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查了折叠性质、平行线的性质，先根据平行线的性质得到，再根据折叠性质得到，进而可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠性质得，
∴，
故答案为：40．
14. 若，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】把变形得到x+3y=2，再把后面的式子用同底数幂乘法化简，然后把x+3y整体代入即可.
【详解】解：∵
∴
∵
故答案9.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是利用整体代入法思想解决问题.
15. 如图，若分别是的四等分线，也就是，，若，则______．
【答案】149
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理以及求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：149．
16. 如图，点在的延长线上，与交于点，且，，，为线段上一动点，为线段上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的有______（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知识，根据平行线的判定与性质可判断①；根据平行线的性质和角平分线的定义可判断②；根据三角形的内角和定理可判断③；根据角平分线的定义和角的运算可判断④，进而可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，又，
∴，
则平分，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③错误；
∵为的平分线，
∴，
∴，又，
∴，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，多项式除以单项式，乘法公式，零指数幂和负整数指数幂等计算：
（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可；
（2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项即可；
（3）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（4）利用乘法公式求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，，求证：．
证明：
（______），（已知），
______（等量代换），
（______），
（______），
（已知），
______（等量代换），
（______），
（______）．
【答案】对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可．
【详解】证明：
（对顶角相等），（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
20. 如图，已知点在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定：
（1）先由平行线的性质得到，再利用即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再根据线段的和差关系求解即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
21. 小亮和妈妈去超市买凳子，小亮发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度与凳子数量的几组对应值．
凳子的数量（个） 1 2 3 4
叠放凳子的总高度（厘米） 47 52 57 62
根据以上信息，回答下列问题：
（1）按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为______厘米；
（2）写出叠放的凳子总高度与凳子的数量之间的关系式______；
（3）按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放11个吗？请说明理由．
【答案】（1）72 （2）
（3）不能能叠放11个，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等：
（1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，据此求解即可；
（3）根据（2）所求求出当时，n的值即可得到结论．
小问1详解】
解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加5厘米，
∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为厘米，
故答案为：72；
【小问2详解】
解：由题意得，，
故答案为：；
【小问3详解】
解：不能能叠放11个，理由如下：
当时，，
∴，
∴不能能叠放11个．
22. 甲，乙两人参加从地到地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：
（1）这次比赛的全程是______米，______先到达终点；
（2）15分钟以后乙的速度是______米/分；
（3）甲和乙出发______分钟后相遇，此时两人距B地______米．
【答案】（1）5000；甲
（2）100 （3）；1250
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键：
（1）根据函数图象所给的信息进行求解即可；
（2）根据速度路程速度结合函数图象求解即可；
（3）先求出甲的速度，再根据两人相遇时所走的路程相同列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由函数图象可知，这次比赛的全程是5000米，其中甲先到达终点，
故答案为：5000；甲；
【小问2详解】
解：由函数图象可知，15分钟以后乙的速度是米/分，
故答案为：100；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，甲的速度为米/分，
由题意得，，
解得，
∴甲和乙出发分钟后相遇，此时两人距B地米，
故答案为：；1250．
23. （1）已知：如图1，，点在之间，连接．若，，求的度数．
（2）如图2，点分别是射线上一点，点是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，若，请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，，平分，平分，与交于点，若，，请直接写出的度数．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线是解答的关键．
（1）过P作，根据平行线判定与性质求得，，进而可求解；
（2）过G作，根据平行线的判定与性质，结合已知证得即可得出结论；
（3）过H作，则，根据平行线的性质得到， ，，再根据角平分线的定义结合平行线的性质求得，进而可求解．
【详解】解：（1）如图1，过P作，
∵，
∴，又，，
∴，，
∴；
（2），理由为：
如图2，过G作，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，过H作，
∵，
∴，，又，
∴，，
∵平分，
∴，又，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴．
24. 【方法呈现】
若满足，求的值．
设，，则，，
．
【类比探究】
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
设，，则______，______，则的值为______；
（2）若满足，求的值；
【拓展应用】
（3）如图，已知正方形的边长为分别是边上的点，且，四边形为长方形，分别以，为边作正方形，阴影部分的面积是12．
①______，______；（用含的式子表示）
②求长方形的面积．
【答案】（1）2，3，5；（2）13；（3）①，；②8
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的应用、平方差公式，灵活运用完全平方公式求解是解答的关键．
（1）仿照例题方法，结合完全平方公式求解即可；
（2）设，，则，利用完全平方公式求解即可；
（3）①根据正方形的性质结合图形可得答案；②根据阴影面积等于正方形与正方形的面积差列等式，结合例题方法以及平方差公式和完全平方公式求解即可．
【详解】解：（1）设，，则，，
∴，
故答案为：2，3，5；
（2）设，，则，，
∵，
∴
；
（3）①由题意，，
由图可知，，，
故答案为：，；
②由题意，正方形的面积为，正方形的面积为，
∵阴影部分的面积是12，
∴，
设，，则，，
∵，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴长方形的面积为．
25. 如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．
（1）求的长；
（2）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）直线垂直于，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理：
（1）只需要证明，即可得到；
（2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理和对顶角线段可得，即；
（3）分当点F在线段延长线上时，当点F在线段上时，两种情况根据全等三角形的性质建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵为高，
∴，
∵，，
∴
∴；
【小问2详解】
解：直线垂直于，理由如下：
如图所示，延长交于F，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线垂直于；
【小问3详解】
解：如图所示，当点F在延长线上时，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴只存在这种情况，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点F在上时，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴只存在这种情况，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当与全等时，或．
