数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．的倒数是（ ）
A．2024 B． C． D．
2．如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则a的值在下列取值范围内的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，圆内接正九边形两条对角线AB，CD相交，则∠1的度数是（ ）
A．45° B．54° C．60° D．72°
7．古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是中国传统文化的重要组成部分．某校准备从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）作为本学期的经典诵读读本，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF与DE相交于点G，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数，其中，点，是二次函数图象上两点，若，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，，，E是矩形内部的一个动点，连接AE，BE，CE，DE，下列选项中的结论错误的是（ ）
A．
B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段CE的最小值为8
D．若，的最大值为23
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．因式分解：______．
12．教育部近日印发《2024年全国硕士研究生招生工作管理规定》，公布了我国2024年硕士研究生报名人数为4380000，其中4380000用科学记数法表示为______．
13．若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是______°．
14．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则：
（1）______；
（2）若y轴正半轴上存在点C（不与原点O重合），且，则点C的坐标是______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．青少年近视已经成为困扰我国中小学生的严重问题，根据《儿童青少年学习用品近视防控卫生要求》中对学生用品——护目灯的光照度、色温、蓝光、频闪等参数都有明确的合格要求，某企业生产的A，B两种型号的护目灯均符合要求．已知出售1件A型号和3件B型号护目灯共收入1100元，出售2件A型号和5件B型号护目灯共收入1900元．
（1）求A型号和B型号每件护目灯的售价；
2）若出售A，B两种型号（均有销售，且总件数不超过13件）共收入3000元，则出售A，B两种型号的护目灯各几件？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点P．
（1）用无刻度直尺过点B作直线；
（2）______．
18．人行道常用同样大小的灰、白两种小正方形地砖铺设而成，如图的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3……的次序铺设地砖，把第n个图形用图n表示，回答下列问题：
（1）完成表格中的填空；
图形序号 图1 图2 图3 图4 …
白色小正方形地砖块数 12 19 ______ ______ …
（2）若设第n个图形中白色小正方形地砖的块数为s，直接写出s与n之间的数量关系．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．清风阁（如图1）位于合肥市包公园内，是1999年为纪念包拯诞辰1000周年，弘扬包公精神，宣传安徽悠久历史文化而建造的．如图2，为了测量清风阁的高度（AB），菲菲站在清风阁附近的水平地面上的点C处，利用无人机进行测量，但由于周边树木遮挡，无法操控无人机直接飞到阁顶A处进行测量，因此她先控制无人机从点C与地面成45°向远离清风阁的方向匀速飞行5秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行7秒到达阁顶A（A，B，O，C在同一平面内），已知无人机的速度为6米/秒，，求清风阁AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：，）．
20．如图，在中，弦AB，CD相交于点G，连接AC，BC，BD．
（1）求证：；
（2）若C为的中点，作于E，求证：．
六、（本题满分12分）
21．为进一步激发青少年对航天科技的兴趣，传承航天精神，某校举办了“我的太空梦”主题系列活动，活动安排如下五个项目：A：航模制作；B：征文比赛；C：航天员进校园；D：知识竞赛；E：太空画创作比赛．为了解同学们对这些项目的意向情况，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成统计图如下．请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）被抽查的总人数为______人，并把频数分布直方图补充完整；
（2）扇形统计图中“C”所对应的圆心角的度数为______；
（3）该校共有2000名学生，请你估计该校想参加E项目活动的学生人数．
七、（本题满分12分）
22．如图1，等腰直角和等腰直角的直角顶点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：；
（2）如图2，过A作，且（点B，点F在AC同侧），连接BF，求的值；
（3）如图3，M是AE的中点，CM的延长线与BD交于点N，求证：．
八、（本题满分14分）
23．如图1，抛物线与x轴相交于点、B，对称轴是直线，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点N是x轴上一动点，分别连接MN，DN，求的最小值；
（3）点P是直线BC上方抛物线上一点，连接AP交BC于点E，若，如图2，求点P的坐标．
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选项 C D B D B C C A A D
9．A 由可知抛物线的对称轴为：，∵，∴，∵，，∴在对称轴左侧，在对称轴右侧，∵，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴当时，，当时，，此时，，∵，∴，∴．故选A．
10．D ∵，，∴，∵点E在矩形ABCD内部，∴点E不与点A、点C重合，即，故A正确；如图1，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为M，N，P，Q．设，，，．可证四边形AMEQ是矩形，同理可证四边形QEPD，四边形MENB，四边形PENC均是矩形，故，，，，得，，故，故B正确；如图2，∵，∴，∴E在以AB为直径的上，连接OC交于，当E与重合时，线段CE的长最小，∵，∴，∵，∴，∴，∴线段CE的最小值为8．故C正确；如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，延长BE至F，使，∴，以AB为边长向矩形内作等边，以O为圆心，AB为半径作，则点F在优弧AB上运动，当BF为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．故选项D错误．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．
12．
13．120
14．（1） （2）或
（1）由题意可知，，∴反比例函数的解析式为，∴点B坐标为，将点A、点B的坐标代入，得，解得，∴；
（2）根据题意可得，∵，∴以点A为圆心，AB长为半径作圆，与y轴正半轴交于C，D两点，根据勾股定理计算易得点C坐标为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：原式．
16．解：
（1）设A型号的售价x元，B型号的售价y元，
由题意得，解得，
答：A型号的售价200元，B型号的售价300元；
（2）设出售A型号a件，则出售B型号b件，
由题意得，化简得，
∵a，b为正整数，且，∴或或，
答：出售A型号3件，B型号8件或A型号出售6件，B型号出售6件或A型号出售9件，B型号出售4件．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：
（1）如图所示，BF即为所求；
（2）2．
（提示：连接AG，则．）
18．解：
（1）26，33；
（2）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．解：如图，过点O作，交BC的延长线于点D，过点O作，垂足为E．
由题意得：（米），（米），，，
∴，∵，∴，
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
答：清风阁的高度约为42米．
20．解：
（1）∵，，∴，∴，∴；
（2）如图，在AE上取一点H，使，∵C为的中点，∴，又∵，∴，∴，
∵于E，∴（等腰三角形的“三线合一”），
∵，∴．
六、（本题满分12分）
21．解：
（1）200；
补全图形如下：
（2）126°；
（3）（人），
答：估计该校想参加E项目活动的学生约有460人．
七、（本题满分12分）
22．解：
（1）证明：∵，∴，
∵，，∴，∴；
（2）如图1，作于G，易证四边形ACGF为矩形，∴，，∵，∴，∴，即点G是BC的中点，由勾股定理可得，
∴；
（3）证明：如图2，过A作，与EC的延长线交于P，∵M为AE的中点，∴，，易证，∴，∵，
∴，∴．
（或延长CM至Q，使，证明）
八、（本题满分14分）
23．解：
（1）∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴，解得，∴该抛物线的解析式为；
（2）∵，∴，
设直线AM的解析式为，则，
解得，∴直线AM的解析式为，当时，，∴．
如图1，在y轴上作点D的对称点，连接交AB于点N，此时的值最小．
过点M作轴于点T，∴，∴，
∴的值的最小值为；
（3）易求直线BC的解析式为．如图2，过点E，P分别作，，垂足分别为F，H．
设，则，，∵，，∴，
∴，，∴，，∴，
∵点P在抛物线上，∴，
得，，∴，
∴P的坐标为或．
以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．
