2024年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷
一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3a 2a＝5a2 B．3a﹣a＝2 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a3＝a2
3．2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012 B．1.26×1014 C．1.26×1013 D．12.6×1013
4．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
6．不等式组的解集是（ ）
A．x≤2 B．x＜5 C．2≤x＜5 D．无解
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有重量相等的黄金9枚，重量相等的白银11枚，称重后发现黄金和白银的重量相等，互相交换一枚，则金方轻13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，那么可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（ ）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD上一点，过点O作EF∥AD，GH∥AB，若要求出△AEO的面积，则只需知道（ ）
A． EBGO与 HOFD的面积之积
B． EBGO与 HOFD的面积之商
C． EBGO与 HOFD的面积之和
D． EBGO与 HOFD的面积之差
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣3x＝ ．
12．（4分）若二次根式有意义，则m的取值范围是 ．
13．（4分）一个不透明的袋子中只装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，1个红球，1个黑球．从袋中随机摸出一个小球是白球的概率是 ．
14．（4分）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为90°，则该圆锥的底面半径长为 ．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为 ．
16．（4分）如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（x+1）（x﹣1）+2x（1﹣x）．
18．（6分）如图是由完全相同的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹，用虚线表示）．
（1）在图1中的边AB上画出点D，使得BD＝3AD．
（2）在图2中的边AC上画出点E，使得AE＝BE．
19．（6分）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生人数为 ，图1中m的值是 ．
（2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数．
（3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数．
20．2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身BC为1.1米，下半身AB为0.6米，下半身与水平面的夹角∠BAD＝70°，与上半身的夹角∠ABC＝130°．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）此时舞者的垂直高度CD约为多少米．
（2）如图3，下半身与水平面的夹角不变，当AB与BC在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
21．（8分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：
（1）快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ．
（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，AF⊥BE交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF．
（1）判断四边形AEGB的形状，并说明理由．
（2）若，CD＝8，AD＝10，求线段CF的长．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
24．（12分）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形．
②梯形是倍分四边形．
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
2024年浙江省宁波市南三县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分，每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）
1．﹣2024的倒数是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2．下列计算正确的是（ ）
A．3a 2a＝5a2 B．3a﹣a＝2 C．（a2）3＝a6 D．a6÷a3＝a2
【分析】A．根据单项式乘单项式法则进行计算，然后判断即可；
B．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
C．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据同底数幂的除法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵3a 2a＝6a2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵3a﹣a＝2a，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（a2）3＝a6，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
D．∵a6÷a3＝a3，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则、幂的乘方法则和同底数幂的除法法则．
3．2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（ ）
A．126×1012 B．1.26×1014 C．1.26×1013 D．12.6×1013
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：126万亿＝126000000000000＝1.26×1014，
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，是一行三个相邻的矩形，其中左边和中间的两个矩形为正方形，且中间的正方形有一条纵向的虚线．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．某校举行了趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如表：
成绩（分） 60 70 80 90 100
人数 5 15 9 6 5
则该班学生成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．70分，80分 B．70分，75分 C．60分，80分 D．70分，85分
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这组数据的众数为70分，中位数为＝75（分），
故选：B．
【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
6．不等式组的解集是（ ）
A．x≤2 B．x＜5 C．2≤x＜5 D．无解
【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：由2﹣x＞﹣3得：x＜5，
由3x﹣2≤4得：x≤2，
则不等式组的解集为x≤2，
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等；交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有重量相等的黄金9枚，重量相等的白银11枚，称重后发现黄金和白银的重量相等，互相交换一枚，则金方轻13两．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，那么可列方程组为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据“现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋轻13两”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等，
∴9x＝11y；
∵若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋轻13两，
∴（10y+x）﹣（8x+y）＝13．
∴根据题意可列方程组．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，在三角形ABC中，过点B，A作BD⊥AC，AE⊥BC，BD，AE交于点F，若∠BAC＝45°，AD＝5，CD＝2，则线段BF的长度为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【分析】根据ASA证明△ADF与△BDC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
∵∠FAD+∠AFD＝90°，∠DBC+∠BFE＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠FAD＝∠DBC，
在△ADF与△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴DF＝CD，
∴BF＝BD﹣DF＝AD﹣CD＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA证明△ADF与△BDC全等解答是解题的关键．
9．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（ ）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，根据Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，可知直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，求得两直线的距离即可判断④．
【解答】解：①当m＝0时，y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴此抛物线图象关于y轴对称；
∴①正确；
②∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝m，
∵点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，且m﹣（m﹣2）＞m+1﹣m，
∴y1＞y2；
∴②错误；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
整理得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0，
Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，
解得m＝，
∴③错误；
④∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4＝（x﹣m）2+2m﹣4，
∴顶点为（m，2m﹣4），
∴抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，
∵直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，
∴顶点到直线y＝2x的距离都相等，如图，
设直线y＝2x﹣4交x轴于A，交y轴于B，点O到AB的距离为OD，则A（2，0），B（0，﹣4），O
∴AB＝＝2，
∵S△AOB＝，
∴，
∴OD＝，
∴两直线间的距离为，
∴④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
10．如图，在 ABCD中，点O为对角线BD上一点，过点O作EF∥AD，GH∥AB，若要求出△AEO的面积，则只需知道（ ）
A． EBGO与 HOFD的面积之积
B． EBGO与 HOFD的面积之商
C． EBGO与 HOFD的面积之和
D． EBGO与 HOFD的面积之差
【分析】过O作ON⊥BC于N，交AD于M，设OM＝a，ON＝b，OE＝c，OF＝d；由题意得四边形AEOH，HOFD，EBGO均是平行四边形，则 EBGO与 HOFD的面积分别为bc，ad，而△AEO的面积为；由△OEB∽△OFD，则可得ac＝bd， EBGO与 HOFD的面积之积为（ac）2，因此即可确定答案为A．
【解答】解：如图，过O作ON⊥BC于N，交AD于M，
设OM＝a，ON＝b，OE＝c，OF＝d；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥AD，GH∥AB，
∴EF∥AD∥AB，GH∥AB∥CD，
∴四边形AEOH，HOFD，EBGO均是平行四边形，
∵ON⊥BC，AD∥BC，
∴OM⊥AD，
∴ EBGO的面积为OE ON＝bc， HOFD的面积为OF OM＝ad，△AEO的面积为，
∵AB∥CD，
∴∠EBO＝∠FDO，
∵∠EOB＝∠FOD，
∴△OEB∽△OFD，
∴，
即OE OM＝OF ON，
∴ac＝bd，
∵ EBGO与 HOFD的面积之积为bc ad＝（ac）2，
∴，
∴，
即知道 EBGO与 HOFD的面积之积，即可求出△AEO的面积，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【分析】原式提取x即可得到结果．
【解答】解：原式＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
12．（4分）若二次根式有意义，则m的取值范围是 m≥3 ．
【分析】二次根式有意义，被开方数大于等于0，即可求得x的取值范围．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴m﹣3≥0，
∴m≥3，
故答案为m≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．
13．（4分）一个不透明的袋子中只装有6个除颜色外完全相同的小球，其中4个白球，1个红球，1个黑球．从袋中随机摸出一个小球是白球的概率是 ．
【分析】直接根据概率公式计算，即可求解．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）＝1；P（不可能事件）＝0是解题的关键．
14．（4分）若一个圆锥侧面展开图的半径为14cm，圆心角为90°，则该圆锥的底面半径长为 cm ．
【分析】根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
即该圆锥的底面半径长为cm．
故答案为：cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为 或10 ．
【分析】分两种情况讨论：点F在矩形内部；点F在矩形外部，分别根据折叠的性质以及勾股定理，列方程进行计算求解，即可得到DE的长．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN＝4；
∵AF＝AD＝5，
由勾股定理得FN＝3，
∴FM＝2，
设DE为y，则EM＝4﹣y，FE＝y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2＝（4﹣y）2+22，
∴y＝，
即DE的长为．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN＝3，
∴FM＝8，
设DE为z，则EM＝z﹣4，FE＝z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2＝（z﹣4）2+82，
∴z＝10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10
故答案为：或10．
【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等几何知识的综合应用；解决问题的关键利用直角三角形，运用勾股定理列方程求解．
16．（4分）如图，直线AB与反比例函数的图象相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点D是x轴负半轴上的一点，连结CD和AD，AD交y轴于点E，且AC＝AE，若，△CDE的面积为6，则k的值为 ．
【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，则OC∥AF∥BG，由此得＝，设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，从而得点A，点B，证△PBG和△PAF相似从而得PG＝3a，证∠CPD＝∠ADP得AD＝AP，则DF＝FP，从而得OD＝4a，再证△AHC和△PGB全等得CH＝BG＝，则CE＝2CH＝，然后根据△CDE的面积为6可求出k的值．
【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为F，G，过点A作AH⊥y轴于H，设AB交x轴于P，如图所示：
∴OC∥AF∥BG，
∴＝，
∴可设OF＝3a，FG＝a，则OG＝OF+FG＝7a，
∵点A，B在反比例函数的图象上，
∴点A，点B，
∵BG∥AF，
∴△PBG∽△PAF，
∴PG：PF＝BG：AF，
即：PG：（PG+4a）＝：，
∴PG＝3a，
∵AH⊥y轴，
∴∠CAH＝∠CPD，∠HAE＝∠ADP，
∵AC＝AG，AH⊥y轴，
∴∠CAH＝∠HAE，CE＝2CH，
∴∠CPD＝∠ADP，
∴AD＝AP，
∴DF＝FP，
即OD+OF＝FG+PG，
∴OD+3a＝4a+3a，
∴OD＝4a，
∵AH⊥y轴，AF⊥x轴，∠HOF＝90°，
∴四边形HOFA为矩形，
∴AH＝OF＝3a＝PG，
在△AHC和△PGB中，
，
∴△AHC≌△PGB（AAS），
∴CH＝BG＝，
∴CE＝2CH＝，
∵△CDE的面积为6，
∴CE OD＝6，
即，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活利用相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（共66分）
17．（6分）（1）计算：；
（2）化简：（x+1）（x﹣1）+2x（1﹣x）．
【分析】（1）根据零指数幂，算术平方根以及绝对值的定义进行计算即可；
（2）根据平方差公式以及单项式乘多项式的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣7＝﹣3；
（2）原式＝x2﹣1+2x﹣2x2
＝﹣x2+2x﹣1．
【点评】本题考查零指数幂，绝对值，算术平方根，单项式乘多项式以及平方差公式，掌握平方差公式的结构特征，零指数幂，单项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
18．（6分）如图是由完全相同的小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹，用虚线表示）．
（1）在图1中的边AB上画出点D，使得BD＝3AD．
（2）在图2中的边AC上画出点E，使得AE＝BE．
【分析】（1）取格点M，N，使AN∥BM，且AN：BM＝1：3，连接MN，交AB于点D，则点D即为所求．
（2）以AB为边作正方形ABDF，取DF的中点G，AB的中点H，连接GH并延长，与AC的交点即为点E．
【解答】解：（1）如图1，取格点M，N，使AN∥BM，且AN：BM＝1：3，连接MN，交AB于点D，
则△ADN∽△BDM，
∴AD：BD＝AN：BM＝1：3，
即BD＝3AD，
则点D即为所求．
（2）如图2，以AB为边作正方形ABDF，取DF的中点G，AB的中点H，连接GH并延长，交AC于点E，
则点E即为所求．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、相似三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（6分）某校为了解学生对消防安全知识的掌握情况，随机调查了一部分学生进行问卷测试，并将测试结果按等第（记90分及以上为A等，80分及以上90分以下为B等，70分及以上80分以下为C等，70分以下为D等）绘制成如图1，图2两个不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）参与本次调查的学生人数为 50人 ，图1中m的值是 40 ．
（2）补全条形统计图，并计算测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数．
（3）结合调查的结果，估计全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数．
【分析】（1）由D等人数及其所占百分比可得总人数，C等人数除以总人数可得m的值；
（2）根据四个等级人数之和等于总人数可得B等人数，从而补全图形，用360°乘以A等人数所占比例即可；
（3）用总人数乘以样本中C等人数所占比例即可．
【解答】解：（1）参与本次调查的学生人数为12÷24%＝50（人），
m%＝×100%＝40%，即m＝40，
故答案为：50人，40；
（2）B等级人数为50﹣（12+20+8）＝10（人），
补全图形如下：
测试成绩为“A等”的部分所在扇形统计图中圆心角的度数为；
（3）全校1200名学生中测试成绩为“C等”的人数估计为40%×1200＝480（人）．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
20．2023年中央电视台兔年春晚国朝舞剧《只此青绿》引人入胜，图1是舞者“青绿腰”动作，引得观众争相模仿，图2是平面示意图．若舞者上半身BC为1.1米，下半身AB为0.6米，下半身与水平面的夹角∠BAD＝70°，与上半身的夹角∠ABC＝130°．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
（1）此时舞者的垂直高度CD约为多少米．
（2）如图3，下半身与水平面的夹角不变，当AB与BC在同一直线上时，舞者的垂直高度增加了多少米？
【分析】（1）过点B作BF⊥CD于点F，作BE⊥AD于点E，根据垂直定义可得∠AEB＝∠BFC＝90°，再根据题意可得：BE＝DF，∠EBF＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABE＝20°，进而利用角的和差关系可得∠CBF＝20°，然后分别在Rt△ABE和Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求出BE和CF的长，从而进行计算即可解答；
（2）过点作CG⊥AD于点G，根据垂直定义可得∠AGC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠C＝20°，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，再利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD于点F，作BE⊥AD于点E，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
由题意得：BE＝DF，∠EBF＝90°，
∵∠BAE＝70°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝20°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠CBF＝130°﹣∠ABE﹣∠EBF＝130°﹣20°﹣90°＝20°，
在Rt△ABE中，AB＝0.6米，
∴BE＝AB cos20°≈0.6×0.94＝0.564（米），
在Rt△BCF中，BC＝1.1米，
CF＝BC sin20°≈1.1×0.34＝0.374（米），
∴CD＝CF+DF＝CF+BE＝0.564+0.374＝0.938（米），
∴此时舞者的垂直高度CD约为0.938米；
（2）过点作CG⊥AD于点G，
∴∠AGC＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠C＝90°﹣∠BAD＝20°，
在Rt△ACG中，AC＝AB+BC＝0.6+1.1＝1.7 （米），
∴CG＝AC cos20°≈1.7×0.94＝1.598（米），
∴CG﹣0.938＝1.598﹣0.938＝0.66（米），
∴舞者的高度增加了约0.66米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（8分）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：
（1）快车的速度为 100 km/h，C点的坐标为 （8，480） ．
（2）慢车出发多少小时后，两车相距200km．
【分析】（1）由图象信息先求出慢车速度，再根据相遇时慢车走的路程，从而求出快车走的路程，再根据速度＝路程÷时间，求出快车速度，然后根据快车修好比慢车先到达终点可知C点是慢车到达终点时所用时间即可；
（2）分两车相遇前和相遇后两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）由图象可知：慢车的速度为：60÷（4﹣3）＝60（km/h），
∵两车3小时相遇，此时慢车走的路程为：60×3＝180（km），
∴快车的速度为：（480﹣180）÷3＝300÷3＝100（km/h），
通过图象和快车、慢车两车速度可知快车比慢车先到达终点，
∴慢车到达终点时所用时间为：480÷60＝8（h），
∴C点坐标为：（8，480），
故答案为：100，（8，480）；
（2）设慢车出发t小时后两车相距200km，
①相遇前两车相距200km，
则：60t+100t+200＝480，
解得：t＝，
②相遇后两车相距200km，
则：60t+100（t﹣1）﹣480＝200，
解得：t＝，
∴慢车出发h或h时两车相距200km，
答：慢车出发h或h时两车相距200km．
【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，关键是弄清图象拐点处的意义，根据题意进行运算．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，AF⊥BE交BE于点F，交BC于点G，连结EG，CF．
（1）判断四边形AEGB的形状，并说明理由．
（2）若，CD＝8，AD＝10，求线段CF的长．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠AEB＝∠CBE，而∠ABE＝∠CBE，则∠AEB＝∠ABE，所以AB＝AE，则AG垂直平分BE，所以GB＝GE，由∠BAG＝∠EAG，∠BGA＝∠EAG，得∠BAG＝∠BGA，则AB＝GB，所以AB＝AE＝GB＝GE，即可证明四边形AEGB是菱形；
（2）作FH⊥BC于点H，由GB＝AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求得CG＝2，由tan∠ABC＝，得∠ABC＝60°，则△ABG是等边三角形，所以AG＝AB＝8，∠AGB＝60°，则GF＝AG＝4，∠GFH＝30°，所以GH＝GF＝2，则CH＝4，FH＝2，求得CF＝＝2．
【解答】解：（1）四边形AEGB是菱形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
∵AG⊥BE于点F，
∴BF＝EF，∠BAG＝∠EAG，
∴AG垂直平分BE，
∴GB＝GE，
∵∠BAG＝∠EAG，∠BGA＝∠EAG，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴AB＝GB，
∴AB＝AE＝GB＝GE，
∴四边形AEGB是菱形．
（2）作FH⊥BC于点H，则∠CHF＝90°，
∵GB＝AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，
∴CG＝BC﹣GB＝10﹣8＝2，
∵tan∠ABC＝，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝AB＝8，∠AGB＝60°，
∴GF＝AF＝AG＝4，∠GFH＝90°﹣∠AGB＝30°，
∴GH＝GF＝2，
∴CH＝CG+GH＝2+2＝4，FH＝＝＝2，
∴CF＝＝＝2，
∴线段CF的长是2．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1 我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．
素材2 已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．
问题解决
任务1 确定大棚形状 在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 尝试改造方案 当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到C'、E'的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出G'、E'的坐标得到a的不等式，进而得到CC'的最大值．
【解答】解：（1）如图建立如图所示的坐标系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴y＝ax2﹣10ax+1，将C（6，3.4）代入解析式得，，
∴，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵CC＝1.2，
∴C为（6，4.6），
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1
将C（6，4.6）代入解析式得 ，
∴
∴G为 ，G为 ，
∴，
∴共需改造经费 ，
∴能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1，
则G为 （2，﹣16a+1），E为 （4，﹣24a+1），
∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（+3.4）＝﹣40a﹣4，
（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得 ，
∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4，
∴ 时，CC′的值最大，为1.6米．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，方案选择问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（12分）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图①，在四边形ABCD中，若S△ABC＝S△ADC，则四边形ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
（1）判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形． √
②梯形是倍分四边形． ×
（2）如图①，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB＝3，AD＝DC＝5，求BC；
（3）如图②，△ABC中BA＝BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形BCMN是倍分四边形．
①求sinC；
②连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E（如图③），若OF＝3，求DE．
【分析】（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，可判断①是真命题；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，可判断②是假命题；
（2）过D作DE⊥AC于E，根据AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，可得DE＝AB＝3，故AE＝＝4，AC＝2AE＝8，故BC＝＝；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，由BA＝BC，得AM＝CM，故S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，可知倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，而∠ANC＝90°，AM＝CM，有MN＝AM＝CM＝AC，从而＝，知OM⊥CN，NH＝CH，设OH＝m，由S△BCN＝S△MCN，有MH＝BN＝2m，可得OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，根据勾股定理可得BM＝2m，即得sin∠ACB＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，由F为OC的中点，得OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，则BM＝BC sin∠ACB＝4，CM＝＝4，证明△BDN≌△MDH（AAS），得DM＝BD＝BM＝2，故CD＝＝6，而DP是△MBF的中位线，可得DP＝BF＝，DP∥BC，故△DPE∽△CFE，即得DE＝CD＝×6＝．
【解答】解：（1）①平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，故平行四边形是倍分四边形，①是真命题；
故答案为：√；
②梯形的对角线不平分梯形的面积，故梯形不是倍分四边形，②是假命题；
故答案为：×；
（2）过D作DE⊥AC于E，如图：
∵AC是四边形ABCD的倍分线，AC⊥AB，
∴AB AC＝DE AC，
∴DE＝AB＝3，
在Rt△ADE中，
AE＝＝＝4，
∵AD＝DC，DE⊥AC，
∴AC＝2AE＝8，
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝，
∴BC的长为；
（3）①连接BM，CN，OM，设CN交OM于H，如图：
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BNC＝∠BMC＝90°，
∵BA＝BC，
∴AM＝CM，
∴S△BCM＝S△BAM＞S△BNM，
∴倍分四边形BCMN中，CN是倍分线，即S△BCN＝S△MCN，
∵∠ANC＝180°﹣∠BNC＝90°，AM＝CM，
∴MN＝AM＝CM＝AC，
∴＝，
∴OM⊥CN，NH＝CH，
设OH＝m，则BN＝2m，
∵S△BCN＝S△MCN，
∴BN CN＝MH CN，
∴MH＝BN＝2m，
∴OM＝OH+MH＝3m，
∴OC＝OM＝3m，BC＝2OC＝6m，
在Rt△OCH中，CH2＝OC2﹣OH2＝8m2，
在Rt△CMH中，CM＝＝＝2m，
在Rt△BMC中，BM＝＝＝2m，
∴sin∠ACB＝＝＝；
②连接OM交CN于H，作MF中点P，连接DP，如图：
∵F为OC的中点，
∴OC＝2OF＝6，BC＝2OC＝12，BF＝9，
在Rt△BCM中，BM＝BC sin∠ACB＝12×＝4，
∴CM＝＝＝4，
由①知，BN＝MH，
∵∠BND＝∠MHD＝90°，∠BND＝∠MDH，
∴△BDN≌△MDH（AAS），
∴DM＝BD＝BM＝2，
∴CD＝＝＝6，
∵P为MF的中点，
∴DP是△MBF的中位线，
∴DP＝BF＝，DP∥BC，
∴△DPE∽△CFE，
∴＝＝＝，
∴DE＝CD＝×6＝．
【点评】本题考圆的综合应用，涉及新定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
