苏州市姑苏区2023-2024学年第二学期
九年级数学 2024.04
本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟.
注意事项:
1.答题前，学生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上.
2.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，
不在答题区域内的答案一律无效;如需作图，先用2B铅笔画出图形，再用0.5毫米黑色墨
水签字笔描黑，不得用其他笔答题.
3.学生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效.
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.有理数2024的绝对值是
A. 2024 B.－2024 C. D. －
2.据2024年政府工作报告，2023年我国国内生产总值超过1 260 000亿元(人民币)，增长5.2%
增速居世界主要经济体前列，数据1 260 000用科学记数法可表示为
A. 126×104 B. 12.6×105 C. 1.26×106 D. 0.126×107
3.学校男子篮球队的12位队员的身高如下表:
身高(单位: cm) 176 178 180 181
人数 1 5 4 2
这12位队员身高的中位数是
A. 176cm B. 178cm C. 179cm D .180cm
4.下列运算正确的是
A. B. C. D.
5.不等式的解集在数轴上表示正确的是
6.如图，直线，等腰直角三角尺()的两个底角顶点分别在直线
上，边与直线交于点.若平分，则的度数为
60° B. 67.5° C. 70° D. 75°
7.算经之首《九章算术》中有这样一题:“今有邑方不知大小，各中开门. 出北门二十步有木，
出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木.问邑方几何 ”其大意为“今有正方形
小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门.出北城门20步处有一棵树，出南
城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树.问正方形小城的边长是多少 ”若设正方
形小城的边长为步，则所列方程正确的是
B.
C. D.
8.如图，矩形中，，⊙与边、对角线均相切，过点作⊙
的切线，切点为,则切线长的最小值为
6 B .7 C. D.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写
在答题卡相应位置上)
9.若,则= .
10.因式分解: = .
11.方程组的解为 .
12.定义:底边和底边上的高相等的等腰三角形称为“和谐”三角形.若“和谐”三角形的面积为
2，则其腰长为 .
13.如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1” “2” “3” “5” “8”，
任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为 ..
14.如图，在矩形中，,扇形的圆心在边上，点在边
上，与边相切，切点为，则的长度为
15.如图，一次函数与反比例函数的图像交于两点，则点到原点的
距离为 .
16.如图，在平行四边形中，，点为边的中点，若，则
的值为 .
三、解答题(本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤)
17. (本题满分5分)
计算: .
18.(本题满分5分)
解分式方程:
19.(本题满分6分)
先化简、再求值: ，其中.
20.(本题满分6分) 的顶点为圆心，边长为半径画弧，两弧在右侧交
于点，连接.
(1)求证: ;
(2)若，求的度数.
21.(本题满分6分)
沧浪亭(C),狮子林(S)、拙政园(Z)、留园(L)被誉为苏州四大园林.周末小明一家准备到苏州
四大园林游玩.
(1)若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林(S)的概率是 ;
(2)若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园(Z)和留园(L)的概率(用
画树状图或列表的方法求解).
22.(本题满分8分)
为推进“五育并举”，某校课外活动小组采用简单随机抽样的方法，对本校八年级学生每
周家务劳动时间(单位:h)进行了调查，并将所得数据整理后绘制出如下扇形统计图.其中每
周家务劳动时间在1~1.5h范围内的人数为4人(每组只含最小值，不含最大值).
(1)该课外活动小组抽取的样本容量是 ;
(2)样本中，每周家务劳动时间在哪个范围内的人数最多 这个范围的人数是多少
(3)设该校有900名八年级学生，合理的每周家务劳动时间为不少于2h，求该校八年级学
生每周家务劳动时间不少于2h的人数.
23.(本题满分8分)
如图，四边形为菱形，且点在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数()的图像经过点，且与边交于点。
(1)求的值及点的坐标；
(2)判断点是否为边的中点，并说明理由。
24.(本题满分8分)
如图，某架线构件设计充分运用了数学原理，主架构利用了“三角形的稳定性”，由垂直于地面的立柱、垂直于立柱的横杆以及支撑杆组成，其中m，m，m。调节架构利用了“四边形的不稳定性”，由长度均为1.5 m的连接杆、、架线杆组成，连接点、、在一定范围内移动，移动时始终保持，且的度数不超过90 。
(1)求证：；
(2)若架线杆到地面的距离为5 m，求连接点到点的距离(结果精确到0.01 m，参
考数据：，)。
25.(本题满分10分)
如图，为⊙的直径，为⊙上一点，平分，与过点的⊙的切线交于点，与⊙交于点，与交于点。
(1)求证：点为线段中点；
(2)若，⊙半径为，求弦的长。
26.(本题满分10分)
如图，二次函数(其中)的图像与轴交于、两点(点在点左侧)，与轴交于点，连接、，点为的外心。
(1)填空：点的坐标为 ， ；
(2) 记的面积为，的面积为，试探究是否为定值 如果是，求出这个定值；
(3若在第一象限内的抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，则 。
27.(本题满分10分)
(1)如图①，中，，，为边上一动点，将点绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接。
①若，求的长度；
②求的最大值。
(2)如图②，当点在的延长线上时，将点绕点按顺时针方向旋转，得到点，使得，过点作的平行线，交直线于点，连接。记的面积为，的面积为，的面积为，若，求的值。
2023~2024学年第一学期九年级数学
参考答案
一、选择题(每小题 3分，共24分)
填空题(每小题3分，共24分)
9.2 10. 11. 12.
13. 14. 15.5 16.
三、解答题(共 11 小题，共 82分)
17.解：原式=3--2
=
解：去分母，得：1-2x=5(x+3).
去括号，得：1-2x=5x+15.
移项、合并同类项，得：-7x=14.
系数化为1，得：x=-2.
经检验，x=-2 为原方程的解。
19.解：原式=
=
=
当x=时，
原式=.
20.解:(1)由作图，得AB=CD，AC=BD
又∵BC=CB，
∴△DCB≌△ABC(SSS)
（2）方法一:∵AB=CD，AC=BD
∴四边形 ABCD 是平行四边形
∴AB∥CD
21.解：（1）
（2）用表格列出所有可能的结果：
∴P=
22.解: (1)50.
(2)样本中，每周家务劳动时间在 2~2.5h 内的人数最多这个范围的人数为
50×28%=14人.
(3)该校八年级学生每周家务劳动时间不少于 2h的人数有：
900×(28%+24%+12%)=576 人.
23.解:(1)∵反比例函数的图像经过点C(3，4)，
∴k=3x4=12.
∵四边形 OABC 为菱形，
∴OA=BC=OC==5
∴点B的坐标为(8，4)。
(2)方法一:设线段AB的中点为 M，
∵点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(8，4)
∴点M的坐标为(6.5，2)
∴M(6.5，2)不在反比例函数 的图像上，
∴点 D不是边 AB 的中点。
方法二:设AB；y=kx+b,
∵点A的坐标为(5，0)，点B的坐标为(8，4)
∴AB:
由，解得，
∴点D 的坐标为（）.
∴点 D不是边 AB 的中点.
24.解:(1)∵FG=EC，EF=CG，
∴四边形 CEFG 为平行四边形
∴FG∥ AC.
∵AC⊥AB，AB⊥MN
∴AC∥ MN.
∴FG∥MN.
延长GF交AB于点H，作EI⊥FH，垂足为I，则FH⊥AB，且BH=5.
∴AH=AD+BD-BH=2+4-5=1，DH=AD-AH=2-1=1.
∵FH∥AC
∴△DFH∽△DCA.
∴FH=
∵AC⊥AB，EI⊥FH，FH⊥AB
∴四边形 AEIH 为矩形
∴EI= AH=1
∴FI=
∴AE=HI=FH-FI=.
答:连接点E到点A的距离约为 0.61m。
解:(1)连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=∠AEB=90°
∵BD为⊙O的切线，
∴∠ABD=90°
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAF=∠BAD
∴∠D=∠AFC=∠BFD
∴BD=BF
∴点E为线段 DF 中点。
设BD=x,
∵cos∠D=，
∴AD=3BD=3x
∵∠ABD=90°，
∴AB2+BD2=AD2，即。
∵x>0，
∴x=3，即BD=3，AD=9.
∵cos∠D=，
∴EF=DE=BD·cos∠D=3×=1.
∴AF=AD－DF=9－2=7
∴CF=AF·cos∠AFC=AF·cos∠D=
∴AC=
解：（1）（-1,0）,45°
（2）作DE⊥AB，垂足为E，CF⊥DE，垂足为F，则∠AED=∠DFC=90°
.
∴∠ADE+∠DAE=90°
∵y=-x2 +(m-1)x+m=-(x+1）(x-m)，
∴点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(m,0)，点C的坐标为(0,m)。
∴0B=0C=m. ∠ABC=45°
∵点 D为△ABC 的外心，
∴AD=BD=CD，∠ADC=2∠ABC=90.
∴∠ADE+∠CDF=90°.
∴∠CDF=∠ DAE
∴△ADE≌△DCF(AAS).
∴DE=CF =OE=AE－AO=.
∴，
，
即S1-S2为定值
(3)
