第七章 随机变量及其分布
单元巩固训练
一、单选题
1．已知，，则（ ）
A．0.75 B．0.5 C．0.45 D．0.25
2．设随机变量．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A． B． C． D．
5．某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测，总分100分，学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人，则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数大约为（ ）
参考：
A．456 B．558 C．584 D．651
6．下列结论正确的有（ ）
A．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差
B．的第80百分位数为96
C．若随机变量，则
D．若随机变量，，则
7．在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中不正确的有（ ）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着的增大而增大
8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，则
B．某人在10次射击中，击中目标的次数为，当时概率最大
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．已知，则
10．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（ ）
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当时，
三、填空题
12．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为 .
13．随机变量，当取最大值时， ．
14．已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则 ．
四、解答题
15．某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；
(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
16．已知质量均匀的正面体，个面分别标以数字1到．
(1)抛掷一个这样的正面体，随机变量表示它与地面接触的面上的数字．若求n；
(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量表示这两个正面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，分别取值0，1，2，求的分布列及期望．
17．为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史 悟思想 办实事 开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲，乙两名教师中间产生，支部书记设计了两种测试方案供两位教师选择.
方案一：从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回抽取4个问题作答；
方案二：从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.
已知这6个问题中，甲，乙两名教师都能正确回答其中的4个问题，且甲，乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立 互不影响的.假设甲教师选择了方案一，乙教师选择了方案二.
(1)求甲，乙两名教师都只答对2个问题的概率；
(2)若测试过程中每位教师答对1个问题得2分，答错得0分.你认为安排哪位教师参赛比较合适？请说明理由.
18．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理 历史里选一门，“2”指考生要在生物 化学 思想政治 地理4门中选择2门．
(1)若按照“”模式选科，求甲 乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
19．某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径为一级果，果径为二级果，果径或以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：），得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；
(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数的分布列和数学期望；
(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数为，记一级果的个数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
参考答案：
1．A
【分析】根据条件概率公式，结合已知，即可得出答案.
【详解】根据条件概率公式可得，
.
故选：A.
2．D
【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.
【详解】∵随机变量服从标准正态分布，
∴正态曲线关于直线对称．
∵，，
∴．
故选：D．
3．B
【分析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，由条件概率公式求解即可．
【详解】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,
故选：B．
4．D
【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
5．B
【分析】根据正态分布的概率分布即可求解.
【详解】因为，
故人数为，
故选：B.
6．D
【分析】根据总体方差公式，即可判断A，根据百分位数公式，即可判断B，根据二项分布的期望公式，即可判断C，根据正态分布的对称性，即可判断D.
【详解】A.根据总体方差公式，可知，总体方差与两层的样本数有关，只有两层的样本数一样，总体方差才是，否则不正确，故A错误；
B.将数据按照由小到大的顺序排列，，则，则第80百分位数位，故B错误；
C. 若随机变量，则,则，故C错误；
D. 若随机变量，，利用对称性，，故D正确.
故选：D
7．A
【分析】根据题意可得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，利用二项分布概率公式计算可得A错误；若时，为奇数的概率和为偶数的概率相等，B正确；利用二项式最大项求法可得当时概率最大，C项正确；由可知当概率一定时，越大则的值越大，也增大，D正确.
【详解】
由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
对于A：当，可取，
所以，
因为，所以，，
所以，故A项错误；
对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确；
对于C：当，，此时，，
当取得概率最大时，即，
即，解得，故C项正确；
对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
由二项式的均值公式，
当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确.
故选：A.
8．C
【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
9．BCD
【分析】A选项，由二项分布的期望和方差公式，列方程组求解；B选项，由二项分布的概率公式求解；C选项，由正态分布的对称性求解；D选项，由全概率公式求解.
【详解】随机变量服从二项分布，若，
则，解得，即，A选项错误；
，则，
设当时概率最大，则有,
即，解得，
由，所以当时概率最大，B选项正确；
随机变量服从正态分布，正态密度曲线的对称轴为，有，
若，则，C选项正确；
已知，则，由全概率公式，，即，
解得，D选项正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】利用古典概型可判定A、D，利用超几何分布的定义及概率公式可判定B、C.
【详解】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为，故A正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为，故D正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误，
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
易知
，显然当时，概率最大，故C正确；
故选：ACD
11．BC
【分析】确定，即可求出和，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率为，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为，
则，则，，A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当或时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，D错误，
故选：BC
【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数，求导，利用导数解决问题.
12．/
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
13．13或14
【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.
【详解】 随机变量，，
依题意有
即
解得，故或14．
故答案为：13或14.
14．
【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望，利用计算出答案.
【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以时，，
时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以是，，
所以，
，
故答案为：．
15．(1)0.485；
(2).
【分析】（1）由全概率公式求解可得；
（2）利用（1）中结论，由条件概率公式计算即可
【详解】（1）记事件B：“小明获胜”，记事件：“小明与第类棋手相遇”，
由题可得，，，，
，，.
由全概率公式可知：
.
（2）由条件概率公式可得.
即小明获胜，对手为一类棋手的概率为.
16．(1).
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）直接由题意解出即可.
（2）设出事件，按古典概型中等可能事件的概率公式求出随机变量各个取值的概率，列出分布列，求出数学期望即可.
【详解】（1）因为，所以.
（2）样本空间，共有36个样本点.
记事件“数字之和小于7”，事件“数字之和等于7"，
事件“数字之和大于7”.
，
，共15种，
故
，共6种，
故；
，
，共15种，
故；
从而的分布列为：
0 1 2
故
17．(1)
(2)选择乙老师，理由见解析
【分析】（1）借助二项分布与超几何分布的概率计算公式计算即可得；
（2）计算出相应二项分布与超几何分布的期望与方差即可得.
【详解】（1）设甲，乙两名教师都只答对2个问题的情况分别为事件与事件，
则，；
所以；
（2）设甲教师得分数为，则答对题数为，有，
故，，
设乙教师得分数为，则的可能取值为，，，
，，，
则，
，
由，，则乙老师更为稳定，故选择乙老师.
18．(1)；
(2)①3274人；②不可信.
【分析】（1）甲乙必选语文、数学、外语，根据另一门相同的是物理、历史中的一门或者是生物、化学、思想政治、地理中的一门进行分类讨论，先分类后分步即可求得结果；
（2）①根据参考数据求得，再根据总人数进行计算即可；②根据参考数据求得，估计成绩高于410分的人数，即可判断.
【详解】（1）甲 乙两名学生必选语文 数学 外语．
若另一门相同的为物理 历史中的一门，有种，
在生物 化学 思想政治 地理4门中，甲 乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种．
所以甲 乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则．
由题知，
则，
所以．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
19．(1)
(2)分布列见解析，
(3)，30
【分析】（1）利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解；
（2）根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，从而得到的所有可能取值，再利用超几何分布的分布列即可得解；
（3）利用二项分布得到，再利用作商法判断出当时，最大，从而得解.
【详解】（1）果径的频率为，
果径的频率为.
故果径的中位数在，不妨设为，
则，解得，
所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为.
（2）果径的频率之比为，
所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4，3，2个，
故随机变量的所有可能取值为，
则，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
期望.
（3）依题意知，这批果实中一级果的概率，
每个果实相互独立，则，
则，
令，解得，
故当时，，
即；
当时，，
即，
所以，即一级果的个数最有可能为30个.
【点睛】方法点睛：求二项分布中的最大值，一般有作差法与作商法，构建不等式组两种方法，但从解题便捷的角度，作商法会更容易点.
