重难点01 二次函数与几何图形的综合练习
中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：
一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）
二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）
三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）
四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）
五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）
六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）
七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）
八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）
九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）
因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！
考向一：二次函数与几何变换的综合
1．（2023 武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）分别令x、y为0，解方程即可求得点A、B、C的坐标；
（2）分两种情况：①若△BE1D1∽△CE1F1 时，可得∠BCF1＝∠CBO，由平行线的判定可得CF1∥OB，即CF1∥x轴，点F与C的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△BE2D2∽△F2E2C 时，过 F2 作F2T⊥y轴于点T．可证得△BCO∽△CF2T，，即＝，解方程即可求得答案；
（3）由题意知抛物线C2：y＝x2，联立方程求解即可得G（2，4）．根据中点坐标公式可得H（1，2）．设 M（m，m2），N（n，n2），可得直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．将点H的坐标代入可得mn＝m+n﹣2．同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．联立方程组求解可得P（，）．代入y＝kx+b，整理得2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，比较系数可得k＝2，b＝﹣2，故点P在定直线y＝2x﹣2上．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣8，
∴A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣8）．
（2）∵F是直线x＝t与抛物线 C1的交点，
∴F（t，t2﹣2t﹣8）．
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时．
则∠BCF1＝∠CBO，
∴CF1∥OB．
∵C（0，﹣8），
∴t2﹣2t﹣8＝﹣8．
解得：t＝0（舍去）或t＝2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．
过 F2 作F2T⊥y轴于点T．
∵∠BCF2＝∠BD2E2＝90°，
∴∠CBO+∠BCO＝90°，∠F2CT+∠BCO＝90°，
∴∠F2CT＝∠OBC，
又∵∠CTF2＝∠BOC，
∴△BCO∽△CF2T，
∴，
∵B（4，0），C（0，﹣8），
∴OB＝4，OC＝8．
∵F2T＝t，CT＝﹣8﹣（t2﹣2t﹣8）＝2t﹣t2，
∴＝，
∴2t2﹣3t＝0，
解得：t＝0（舍去）或 ，
综上，符合题意的t的值为2或；
（3）点P在一条定直线上．
由题意知抛物线C2：y＝x2，
∵直线OG的解析式为y＝2x，
∴G（2，4）．
∵H是OG的中点，
∴H（1，2）．
设 M（m，m2），N（n，n2），直线MN的解析式为y＝k1x+b1．
则，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝（m+n）x﹣mn．
∵直线MN经过点H（1，2），
∴mn＝m+n﹣2．
同理，直线GN的解析式为y＝（n+2）x﹣2n；直线MO的解析式为y＝mx．
联立，得，
∵直线OM与NG相交于点P，
∴n﹣m+2≠0．
解得：，
∵mn＝m+n﹣2，
∴P（，）．
设点P在直线y＝kx+b上，则，
整理得，2m+2n﹣4＝2kn+bn﹣bm+2b＝﹣bm+（2k+b）n+2b，
比较系数，得，
∴k＝2，b＝﹣2．
∴当k＝2，b＝﹣2时，无论m，n为何值时，等式恒成立．
∴点P在定直线y＝2x﹣2上．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法，将点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），可得PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，由PE∥x轴，得△EPD∽△ABD，进而得出＝＝＝﹣（t+）2+，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点P的坐标，则点M的坐标可表示，PM长度可表示，利用翻折推出PM＝CM，列方程求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E，如图，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则E（﹣t2﹣2t，﹣t2﹣2t+3），
∴PE＝﹣t2﹣2t﹣t＝﹣t2﹣3t，
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵PE∥x轴，
∴△EPD∽△ABD，
∴＝，
∴＝＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，的值最大，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）如图，设P（m，﹣m2﹣2m+3），
则M（m，m+3），
∴PM＝|m+3﹣（﹣m2﹣2m+3）|＝|m2+3m|，
CM＝＝|m|，
∵△PCM沿直线PC翻折，M的对应点为点M′，M′落在y轴上，
而PM∥y轴，
∴PM∥CM′，PM＝PM′，CM＝CM′，∠PCM＝∠PCM′，
∴∠PCM′＝∠MPC，
∴∠PCM＝∠MPC，
∴PM＝CM，
∴|m2+3m|＝|m|，
当m2+3m＝m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，
此时点M（﹣3，）；
当m2+3m＝﹣m时，
解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣﹣3，
此时点M（﹣﹣3，﹣）；
综上，点M的坐标为（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）．
考向二：二次函数与直角三角形的综合
1．（2023 连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线L1的顶点坐标P（1，﹣4），
∵m＝1，点P和点D关于直线y＝1对称，
∴点D的坐标为（1，6）；
（2）∵抛物线L1的顶点P（1，﹣4）与L2的顶点D关于直线y＝m对称，
∴D（1，2m+4），抛物线L2：y＝﹣（x﹣1）2+（2m+4）＝﹣x2+2x+2m+3，
∴当x＝0时，C（0，2m+3），
①当∠BCD＝90°时，如图1，过D作DN⊥y轴于N，
∵D（1，2m+4），
∴N（0，2m+4），
∵C（0，2m+3），
∴DN＝NC＝1，
∴∠DCN＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵直线l∥x轴，
∴∠BOC＝90°，
∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BO＝CO，
∵m≥﹣3，
∴BO＝CO＝（2m+3）﹣m＝m+3，
∴B（m+3，m），
∵点B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3，
∴m＝0或m＝﹣3，
∵当m＝﹣3时，得B（0，﹣3），C（0，﹣3），此时，点B和点C重合，舍去，当m＝0时，符合题意；
将m＝0代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得L2：y＝﹣x2+2x+3，
②当∠BDC＝90°，如图2，过B作BT⊥ND交ND的延长线于T，
同理，BT＝DT，
∴D（1，2m+4），
∴DT＝BT＝（2m+4）﹣m＝m+4，
∵DN＝1，
∴NT＝DN+DT＝1+（m+4）＝m+5，
∴B（m+5，m），
∵当B在y＝x2﹣2x﹣3的图象上，
∴m＝（m+5）2﹣2（m+5）﹣3，
解得m＝﹣3或m＝﹣4，
∵m≥﹣3，
∴m＝﹣3，此时，B（2，﹣3），C（0，﹣3）符合题意；
将m＝﹣3代入L2：y＝﹣x2+2x+2m+3得，L2：y＝﹣x2+2x﹣3，
③易知，当∠DBC＝90°，此种情况不存在；
综上所述，L2所对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3或y＝﹣x2+2x﹣3；
（3）由（2）知，当∠BDC＝90°时，m＝﹣3，
此时，△BCD的面积为1，不合题意舍去，
当∠BCD＝90°时，m＝0，此时，△BCD的面积为3，符合题意，
由题意得，EF＝FG＝CD＝，取EF的中点Q，
在Rt△CEF中可求得CQ＝EF＝，在Rt△FGQ中可求得GQ＝，
当Q，C，G三点共线时，CG取最小值，最小值为．
2．（2023 内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、B、C代入抛物线解析式求解即可；
（2）可求直线AB的解析式为 ，设P （0＜m＜4），可求 ，从而可求PK+PD＝﹣m2+m+2，即可求解；
（3）过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），可求＝n2+4n+5，＝n2+9，由AB2+＝，构建方程可得M1坐标，求出直线BM1的解析式，利用平行线的性质求出直线AM2的解析式，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设P （0＜m＜4），则，
∴PK+PD＝（m﹣m2+m）+（﹣+m+2）＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，PK+PD有最大值，最大值为，此时P（，﹣）；
（3）存在．过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于点M1，连接AM1，BM2，设M1（1，n），则＝n2+4n+5，＝n2+9，
由AB2+＝，可得22+42+n2+9＝n2+4n+5，
∴n＝6，
∴M1（1，6），
∴直线 BM1 解析式为y＝﹣2x+8，
∵AM2∥BM1，且经过A（0，﹣2），
∴直线 AM2 解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴当x＝1时，y＝﹣2×1﹣2＝﹣4，
∴M2（1，﹣4），
综上所述：存在，M的坐标为（1，6）或（1，﹣4）．
考向三：二次函数与等腰三角形的综合
1．（2023 青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
【分析】（1）将B，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步得出结果；
（2）连接OP，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，令y＝0求得A的坐标，从而求得OQ，PQ，OA的长，再根据S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP求得结果；
（3）设M（﹣1，m），表示出AM和BM，根据AM2＝BM2列出方程求得m的值，进而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图，
连接OP，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
∴PQ＝4，OQ＝1，
由﹣x2﹣2x+3＝0得，
x1＝1，x2＝﹣3，
∴OA＝3，
∴S四边形AOBP＝S△AOP+S△BOP＝＝＝；
（3）设M（﹣1，m），
由AM2＝BM2得，
[（﹣3）﹣（﹣1）]2+m2＝（﹣1）2+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴M（﹣1，1）．
2．（2023 娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由抛物线过点A，B，可直接得出抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），展开即可得出结论；
（2）过点P作PD⊥x轴，交线段BC于点D，则S△PBC＝OB PD，根据二次函数的性质可得结论；
（2）由题意可知PF⊥PE，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，分别表达PE及PF，可求出x0的值，进而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
∴b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5；
∴C（0，﹣5）
∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，﹣4x0﹣5），
①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，
则D（x0，x0﹣5），
∴S△PBC＝OB PD＝×5×（x0﹣5﹣+4x0+5）
＝﹣+x0
＝﹣（x0﹣2.5）2+，
∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，
由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+5＝﹣+5x0，
∵PF∥x轴，
∴F（4﹣x0，﹣4x0﹣5），
∴PF＝|2x0﹣4|，
∴|2x0﹣4|＝﹣+5x0，
解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0＝﹣或x0＝+（舍），
∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（﹣，﹣）．
考向四：二次函数与相似三角形的综合
1．（2023 乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），则C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答；
（3）分两种情况：①当△ABQ∽△BQN时，②当△ABQ∽△QBN时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
A（﹣4，0），B（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3；
（2）设D（m，﹣m2﹣m+3），
∵DC∥作x轴，与直线AB交于点C，
∴x+3＝﹣m2﹣m+3，解得x＝﹣m2﹣3m，
∴C（﹣m2﹣3m，﹣m2﹣m+3），
∴DC＝﹣m2﹣3m﹣m＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，DC的长的最大值为4；
（3）设N（0，n），
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝＝5，
分两种情况：
①当△ABQ∽△BQN时，
∵△ABQ∽△BQN，
∴∠ABQ＝∠BQN，，
∴PQ∥AB，
∴△OQN∽△OAB，
∴，
∴，
∴OQ＝n，QN＝n，
∴BQ＝＝，
∴，
∴n＝或3（舍去），
∴OQ＝n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
设直线PQ的解析式为y＝kx+a，
∴，解得，
∴直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（，）；
②当△ABQ∽△QBN时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵△ABQ∽△QBN，
∴∠ABQ＝∠QBN，∠BAQ＝∠BQN，
∴QH＝QO，
∵BQ＝BQ，
∴Rt△BHQ≌Rt△BOQ，
∴BH＝OB＝3，
∴AH＝AB﹣BH＝2，
设OQ＝q，则AQ＝4﹣q，QH＝q，
∴22+q2＝（4﹣q）2，解得q＝，
∴Q（﹣，0），
∵∠BQO＝∠BQN+∠OQN＝∠BAQ+∠ABQ，∠BAQ＝∠BQN，∠ABQ＝∠QBN，
∴∠OQN＝∠QBN，
∵∠QON＝∠BOQ＝90°，
∴△OQN∽△OBQ，
∴，
∴，
∴n＝，
∴Q（﹣，0），N（0，），
同理得直线PQ的解析式为y＝x+，
联立y＝﹣x2﹣x+3解得x＝或（不合题意，舍去）
∴点P的坐标为（，）；
综上，点P的坐标为（，）或（，）．
2．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣2），将点C坐标代入求a，进而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y＝kx+t，将B、C两点坐标代入求解即可得到直线BC的解析式．
（2）由题可得M坐标，分别求出OC，OM，CM，对等腰三角形OCM中相等的边界线分类讨论，进而列方程求解．
（3）对P点在B点左右两侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解m，进而得到点P，点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0），
∴抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣2），
将点C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
设直线BC的表达式为y＝kx+t，
将B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+2．
（2）∵点M在直线BC上，且P（m，n），
∴点M的坐标为（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
当△OCM为等腰三角形时，
①若CM＝OM，则CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，则CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，则OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
综上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵点P与点C相对应，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若点P在点B的左侧，
则，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°时，
直线OP的表达式为y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝45°时，
PQ＝，OQ＝m﹣（﹣m2+m+2）＝m2﹣2，
∴，即，
解得m＝，（负值舍去），
∴P（），Q（0.）．
②若点P在点B的右侧，
则∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
当△POQ∽△CBN，即∠POQ＝135°时，
直线OP的表达式为y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
当△POQ∽△CNB，即∠PQO＝135°时，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
综上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0，）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
考向五：二次函数与四边形的综合
1．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， ① 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
【分析】（1）根据“轴点函数”的定义即可求得答案；
（2）由题意得A（﹣c，0），ac2﹣bc+c＝0，即b＝ac+1，得出y＝ax2+（ac+1）x+c，设B（x′，0），则x′（﹣c）＝，得出B（﹣，0），再由OB＝OA，可得||＝c，即ac＝±4，即可求得b的值；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），D（t，2t），E（﹣2t，2t），分三种情况：当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），可得，整理得n2﹣n＝0，可得n＝1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），可得，消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，可得n＝﹣﹣1；当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），可得，进而求得n＝．
【解答】解：（1）∵函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣1），
函数y＝x2﹣x与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，0），
∴函数y＝x2﹣1为函数y＝x﹣1的轴点函数，函数y＝x2﹣x不是函数y＝x﹣1的轴点函数，
故答案为：①；
（2）令y＝0，得x+c＝0，
解得：x＝﹣c，
∴A（﹣c，0），
令x＝0，得y＝c，
∴函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与y轴交于点（0，c），
∵其轴点函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣c，0），
∴ac2﹣bc+c＝0，且c＞0，
∴ac﹣b+1＝0，即b＝ac+1，
∴y＝ax2+（ac+1）x+c，
设B（x′，0），
则x′（﹣c）＝，
∴x′＝﹣，
∴B（﹣，0），
∴OB＝||，OA＝c，
∵OB＝OA，
∴||＝c，
∴ac＝±4，
∴b＝5或﹣3；
（3）由题意得：M（﹣2t，0），C（0，t），N（t，0），
∵四边形MNDE是矩形，ME＝OM＝2t，
∴D（t，2t），E（﹣2t，2t），
当m＞0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P与点M重合，即P（﹣2t，0），如图，
∴，
∴n2﹣n＝0，且n≠0，
∴n＝1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DE边上，即P（x，2t），如图，
∴，
消去m、t，得n2+2n﹣1＝0，
解得：n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1，
∵函数y＝mx2+nx+t的对称轴在y轴左侧，
∴n与m同号，即n＜0，
∴n＝﹣﹣1；
当m＜0时，轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在DN边上，即P（t，s），如图，
∴，
∴n＝，
综上所述，n的值为1或﹣﹣1或．
3．（2023 邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出MN的长，可得S△NED＝MN |xD﹣xE|＝﹣（t﹣2）2+7，再根据二次函数性质可得答案；
（3）求出C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），分三种情况：①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，分别列方程组可解得答案．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）联立，
解得或，
∴D（2+，﹣3﹣），E（2﹣，﹣3+），
∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，
∴M（t，﹣t﹣1），
∴N（t，﹣t2+t+4），
∴MN＝﹣t2+t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+2t+5，
∴S△NED＝MN |xD﹣xE|＝×（﹣t2+2t+5）×2＝﹣（t﹣2）2+7，
∵﹣＜0，0＜t＜4，
∴当t＝2时，S△NED取最大值7，
∴△NED面积的最大值是7；
（3）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），
又B（4，0），
①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，
∴，
解得，
∴R（，）；
②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，
∴，
解得或，
∴R（，）或（，）；
综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．
考向六：二次函数与最值的综合
1．（2023 吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点O的横坐标为2m，即可求解；
（3）分AQ∥x轴时，AP∥x轴时，分别根据抛物线的对称性求得O的横坐标与P的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解；
（4）分四种情况讨论，如图所示，当P，O都在对称轴x＝1的左侧时，当P，O在对称轴两侧时，当点P在x＝1的右侧时，当P的纵坐标小于1时，分别求得h1，h2，根据h2﹣h1＝m建立方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1
＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，
∴2m＝1，
解得：；
（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，
xQ＝2m＝2，
∴m＝1，
则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，
∴P（1，2），Q（2，1），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；
②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，xP＝m＝2，xQ＝2m＝4，
则﹣42+2×4+1＝﹣7，
∴P（2，1），Q（4，﹣7）；
∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，
则0＜2m＜1，
∴0＜m，
∵P（m，﹣m2+2m+1），
∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），
∴＝﹣m2+2m，
h2＝yQ﹣yA＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，
∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，
解得： 或 m＝0（舍去）；
②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则2m≥1，m≤1，即 ，
则 h2＝2﹣1＝1，
∴1+m2﹣2m＝m，
解得： （舍去）或 （舍）；
③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝1方时，即1＜m＜2，
∵h1＝2﹣1＝1，
，
∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，
解得： 或m＝0（舍去）；
④当P在直线y＝1上或下方时，即m≥2，
，
∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，
解得：m＝1（舍去）或 m＝0（舍去），
综上所述， 或 ．
2．（2023 聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
【分析】（1）可将抛物线的表达式设为交点式，代入点C坐标，进一步求得结果；
（2）点Q的纵坐标为±9，代入求得其横坐标，进而求得结果；
（3）根据三角函数定义和相似三角形的性质分别表示出PD和PE，进而表示出△PDE的面积的函数表达式，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），
∴﹣9＝a 3×（﹣6），
∴a＝，
∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），
∵CQ1＝OA＝3，OA∥CQ1，
∴四边形ACQ1O是平行四边形，
∴Q1满足条件，
当y＝9时，
＝9，
∴x＝，
∴Q2（，9），Q3（，9），
综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；
（3）设△PED的面积为S，
由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．
∴BC＝＝3，
∵sin∠PBD＝，
∴，
∴PD＝，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，
∴，
∴，
∴PE＝，
∴S＝PE PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，
∴当m＝时，S最大＝，
∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．
考向七：二次函数与新定义的综合
1．（2023 南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
【分析】（1）求出（1，2）的“k级变换点”的坐标，即可求解；
（2）求出点A、B所在的直线表达式，即可求解；
（3）先求出点A、B所在的直线为y＝x﹣5，当n＞0时，画出抛物线和直线AB的大致图象，求出点A的横坐标为x，得到x+5＝，即可求解；当n＜0时，当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，即可求解．
【解答】（1）解：存在，理由：
由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k），
将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k），
解得：k＝±；
（2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，﹣kt+2k），
由点A的坐标知，点A在直线y＝x﹣2上，同理可得，点B在直线y＝﹣x+2k，
则y1＝m2﹣2，y2＝﹣m2+2k，
则y1﹣y2＝m2﹣2+m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2，
∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2，
即y1﹣y2≥2；
（3）解：设在二次函数上的点为点A、B，
设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t），
将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5，
则t＝s﹣5，
即点A在直线y＝x﹣5上，
同理可得，点B在直线y＝x﹣5上，
即点A、B所在的直线为y＝x﹣5；
由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2，
当n＞0时，
抛物线和直线AB的大致图象如下：
直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如上图，
联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5，
设点A的横坐标为x，则x+5＝，
∵x≥0，
则﹣5≥0，
解得：n≤1，
此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0，
故n≠，
即0＜n≤1且n≠；
当n＜0时，
当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点，
故该情况不存在，
综上，0＜n≤1且n≠1/6．
2．（2023 宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 ② （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
【分析】（1）分别验证三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3的交点个数；
（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②由2x2﹣5x+2＝﹣得2x3﹣5x2+2x+1＝0，因式分解法解方程，左边一定有因式（x﹣1）；
（3）数形结合，对函数y1＝|x﹣m|进行分段．
【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，
∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；
②∵2x2﹣5x+2＝﹣，
∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，
∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，
∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，
∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，
∴2x2﹣3x﹣1＝0，
∴x＝或x＝．
故答案为：，．
（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，
x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，
∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，
∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．
考向八：二次函数与圆的综合
1．（2023 湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式和b的值．
（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．
【分析】（1）将点A，C的坐标代入y＝ax2﹣5x+c得到二元一次方程组求解可得a，c的值，可确定二次函数的解析式，再令y＝0，解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，从而确定b的值；
（2）不存在．设M（m，﹣m2﹣5m﹣4），根据，可得m2+5m+8＝0，根据Δ＝52﹣4×8＝﹣7＜0，可确定方程无实数根，即可作出判断；
（3）根据对称的性质和点的坐标可得OE＝OA＝OC＝4，根据等腰三角形的性质及判定可得∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠OCE＝∠OEC，AC＝EC，再根据CE为圆的直径，可得∠CE′E＝90°，然后分两种情况：①当点E′与点O不重合时，由平移的性质可得四边形AEE′A′是平行四边形，从而得到A′A∥E′E，A′A＝E′E，再证明△ANC≌△CE′E（AAS），可得CN＝EE′，可得的值；②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合，可得AA′＝EE′＝OE＝4，CN＝CO＝4，代入可得结论．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，
当y＝0时，得：﹣x2﹣5x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，b＝﹣1；
（2）不存在．理由如下：
如图，设M（m，﹣m2﹣5m﹣4），
∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），
∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，OB＝1，OC＝4，
∵点M在二次函数位于x轴上方的图象上，且，
∴，
整理得：m2+5m+8＝0，
∵Δ＝52﹣4×8＝﹣7＜0，
∴方程无实数根，
∴不存在符合条件的点M；
（3）如图，设CE′交x轴于点M，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），
∴OA＝OC＝4，
∵点E与点A关于原点O对称，
∴OE＝OA＝OC＝4，
∵∠AOC＝∠EOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠OCE＝∠OEC，
∴AC＝EC，
∵CE为圆的直径，
∴∠CE′E＝90°，
∵平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，
①当点E′与点O不重合时，
∴A′E′＝AE，A′E′∥AE，
∴四边形AEE′A′是平行四边形，
∴A′A∥E′E，A′A＝E′E，
∴∠ANE′＝∠CE′E＝90°，∠MAN＝∠MEE′，
∴∠ANC＝90°，
在Rt△ANM和Rt△COM中，
∵∠MAN＝90°﹣∠AMN，∠MCO＝90°﹣∠CMO，
∴∠MAN＝∠MCO，
∵∠OAC＝∠OCE＝45°，
∴∠CAN＝∠ECE′，
又∵∠ANC＝∠CE′E＝90°，
在△ANC和△CE′E中，
，
∴△ANC≌△CE′E（AAS），
∴CN＝EE′，
∴AA′＝CN，
∴，
②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合，
∴AA′＝EE′＝OE＝4，CN＝CO＝4，
∴，
综上所述，的值为1．
2．（2023 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．
①求证：．
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．
【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1，该二次函数的图象过点（2，0），代入即可求解；
（2）①证明△DOF∽△DEO，根据相似三角形的性质即可求解；
②根据题意可得OE＝x2﹣1，OD＝﹣2x1，由①可得，进而得出x2＝1﹣3x1，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将x2＝1﹣3x1代入，解关于x1的方程，进而得出x2，可得对称轴为直线，即可求解．
【解答】（1）解：∵a＝1，c＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1，
∵该二次函数的图象过点（2，0），
∴4+2b﹣1＝0，
解得：b＝﹣；
（2）①证明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO，
∴△DOF∽△DEO，
∴，
∴＝，
∵，
∴；
②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，
∴OA＝﹣x1，OB＝x2，
∵BE＝1．
∴OE＝x2﹣1，
∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，
∴OD＝﹣2x1，
∵，
∴，
∴3x1+x2﹣1＝0，
即x2＝1﹣3x1①，
∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴，
∵4ac＝﹣a2﹣b2，a≠0，
∴，
即4（x1x2）+1+（x1+x2）2＝0②
①代入②，即，
即，
整理得﹣8（x1）2＝﹣2，
∴，
解得：（正值舍去），
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0．
考向九：二次函数与角的综合
1．（2023 无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）①作辅助线，利用三角函数求得，易得直线AB的解析式为y＝，设E（m，），则G（m，），表示出EG，利用配方法即可求解．
②作图，利用三角函数求出tan（2∠ABC）＝2，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，设AM＝，MF＝2a，1°当∠FAE＝2∠ABC时，，根据相似比求解即可，2°当∠FEA＝2∠ABC时，，根据相似比求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x2+bx+c）的图象经过点B（4，）和点C（﹣1，），
∴，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝（x2﹣3x﹣2）．
答：b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y＝（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，﹣），
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∴cos，
∴cos，
∴，
∴，
∵A（0，﹣），B（4，）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线AB的解析式为y＝，
设E（m，），则G（m，），
∴，
∴当m＝2时，EG取得最大值，
∴EF的最大值为．
答：EF的最大值为．
②如图2，已知，令AC＝，BC＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则，
解得x＝，
∴tan∠ADC＝，即tan（2∠ABC）＝2，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN＝，
设AM＝，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴E（6a，），
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为，
综上，点E的横坐标为2或．
2．（2023 营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可得出B的坐标，于是设抛物线的交点式解析式，代入点C坐标求得二次项系数，进而得出结果；
（2）可证明△OCD∽△BDE，从而，进而得出BE＝6，从而得出E（5，﹣6），进而得出CE的解析式，作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），表示出T（m，﹣m﹣1），从而表示出PT的长，根据△PQT∽△BQE得出，从而求得m的值，进一步得出结果；
（3）先推出∠DEF＝45°，分为当点F在BP上时，方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，根据直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1可推出∠ECF＝∠BEC＝45°，进而得出∠DEF＝∠BEC，进而得出，设GH＝t，EH＝3t，可得出t+3t＝5，求得x的值，进而得出G（0，﹣），从而得出直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，和直线PB的解析式为：y＝﹣4联立成方程组，进而求得F点坐标；
方法二：作ER⊥y轴于点R，可推出∠REF+∠BED＝45°，根据tan∠BED＝得出tan∠REF＝，从而得出直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣；当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，同理得出tan∠BEF＝＝，从而得出BW＝BE＝3，求得OW＝8，进而得出直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：B（5，0），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点C（0，﹣1），
∴﹣1＝a （﹣1）×（﹣5），
∴a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＝﹣；
（2）如图1，
∵直线l⊥x轴，DE⊥CD，
∴∠COD＝∠CDE＝∠EBD＝90°，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠BDE＝90°，
∴∠OCD＝∠BDE，
∴△OCD∽△BDE，
∴，
∵OC＝1，OD＝3，BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，
∴，
∴BE＝6，
∴E（5，﹣6），
设CE的解析式为：y＝kx+n，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣1，
作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），
∴T（m，﹣m﹣1），PT∥BE，
∴PT＝（﹣m﹣1）﹣（﹣）＝，△PQT∽△BQE，
∴，
∴，
∴m1＝﹣3，m2＝14（舍去），
当m＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3﹣1）×（﹣3﹣5）＝﹣，
∴P（﹣3，﹣）；
（3）存在F点满足∠DEF＝∠ACD+∠BED，理由如下：
由（2）知：△OCD∽△BDE，
∴∠BED＝∠CDO，
∴∠ACD+∠BED＝∠ACD+∠CDO＝∠OAC，
∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝45°，
∵∠DEF＝∠ACD+∠BED，
∴∠DEF＝45°，
如图2，
当点F在BP上时，
方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，
∵直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1，
∴∠ECF＝∠BEC＝45°，
∴∠DEF＝∠BEC，
∴∠FEQ＝∠BED，
∴tan∠FEQ＝tan∠BED＝，
∴，
∴设GH＝t，EH＝3t，
∴CH＝GH＝t，
∵C（0，﹣1），E（5，﹣6），
∴CE＝5，
∴t+3t＝5，
∴t＝，
∴CG＝GH＝＝，
∴OG＝1+＝，
∴G（0，﹣），
∴直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，
∵P（﹣3，﹣），B（5，0），
∴直线PB的解析式为：y＝﹣4，
由得，
，
∴F1（），
方法二：如图3，
作ER⊥y轴于点R，
∵∠DEF＝45°，∠BER＝90°，
∴∠REF+∠BED＝45°，
∵tan∠BED＝，
∴tan∠REF＝，
又E（5，﹣6），
∴直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣，
后面步骤同上，
如图4，
当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，
∵∠DEF＝45°，tan∠BED＝，
∴tan∠BEF＝＝，
∴BW＝BE＝3，
∴W（8，0），
∴直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，
由2x﹣16＝得：x＝10，
当x＝10时，y＝2×10﹣16＝4，
∴F2（10，4），
综上所述：F（，﹣）或（10，4）．
（建议用时：150分钟）
1．（2023 宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ 90 °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 5﹣或 ．
【分析】由y＝x2﹣x﹣4可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），即得AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，故AB2＝AC2+BC2，从而∠ACB＝90°；当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，可证△AHN≌△ACN（AAS），即得AH＝AC＝＝2，NC＝HN，有BH＝AB﹣AH＝10﹣2，由△BHN∽△BCA，得＝，求出HN＝5﹣，故NC＝5﹣；当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，可证△AOK∽△COA，得＝，OK＝1，CK＝OC﹣OK＝3，AK＝＝，求出TK＝CT＝CK＝，由△AOK∽△NTK，可得＝，求得NK＝，故NC＝．
【解答】解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），
∴AB2＝100，AC2＝20，BC2＝80，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°；
当NQ＝MQ时，过N作NH⊥x轴于H，设AM交y轴于K，如图：
∴∠QMN＝∠QNM＝∠ANC，
∵QM∥y轴，
∴∠QMN＝∠NKC＝∠AKO，
∴∠ANC＝∠AKO，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠ANC＝∠CAN，
∵∠AHN＝90°＝∠ACN，AN＝AN，
∴△AHN≌△ACN（AAS），
∴AH＝AC＝＝2，NC＝HN，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣2，
∵∠HBN＝∠CBA，∠NHB＝90°＝∠ACB，
∴△BHN∽△BCA，
∴＝，即＝，
∴HN＝5﹣，
∴NC＝5﹣；
当NQ＝NM时，过N作NT⊥y轴于T，如图：
∴∠NQM＝∠NMQ，
∵QM∥y轴，
∴∠NKC＝∠NCK，
∴NK＝NC，
∵∠AKO＝∠NKC，
∴∠AKO＝∠NCK，
∴∠OAK＝90°﹣∠AKO＝90°﹣∠NCK＝∠ACO，
∵∠AOK＝90°＝∠COA，
∴△AOK∽△COA，
∴＝，即＝，
∴OK＝1，
∴CK＝OC﹣OK＝4﹣1＝3，AK＝＝＝，
∴TK＝CT＝CK＝，
∵∠AKO＝∠TKN，∠AOK＝90°＝∠NTK，
∴△AOK∽△NTK，
∴＝即＝，
∴NK＝，
∴NC＝，
∴线段NC的长为5﹣或．
故答案为：90，5﹣或．
2．（2023 越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是 ①②④ ．（填写正确的序号）
【分析】①由非负数的性质，即可证得y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，即可得无论x取何值，y2总是负数；
②由抛物线l1：y1＝a（x+1）2+2与l2：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），可求得a的值，然后由抛物线的平移的性质，即可得l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③由 y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，可得随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
④首先求得点A，C，D，E的坐标，即可证得AF＝CF＝DF＝EF，又由AC⊥DE，即可证得四边形AECD为正方形．
【解答】解：①∵（x﹣2）2≥0，
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0，
∴无论x取何值，y2总是负数；
故①正确；
②∵抛物线G：y1＝a（x+1）2+2与抛物线H：y2＝﹣（x﹣2）2﹣1交于点B（1，﹣2），
∴当x＝1时，y＝﹣2，
即﹣2＝a（1+1）2+2，
解得：a＝﹣1；
∴y1＝﹣（x+1）2+2，
∴H可由G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
故②正确；
③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6，
∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小；
故③错误；
④设AC与DE交于点F，
∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2，
解得：x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，﹣2），
当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2，
解得：x＝3或x＝1，
∴点C（3，﹣2），
∴AF＝CF＝3，AC＝6，
当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5，
∴DE＝6，DF＝EF＝3，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AC＝DE，
∴四边形AECD为矩形，
∵AC⊥DE，
∴四边形AECD为正方形．
故④正确．
故答案为：①②④．
3．（2023 晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．
（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为 （，0） ；
（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 y＝﹣x2+x （不用写出自变量x的取值范围）；
（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 7＜t＜23 ．
【分析】（1）由AM与⊙P相切，得出PM⊥AM，而AM⊥x轴，进而判断出点P在x轴上，即可得出答案；
（2）由PM与⊙P相切，得出PM⊥AM，过点P作PG⊥x轴于G，过点A作AQ⊥x轴于Q，用互余得出△PGM∽△MQA，得出比例式即可求出答案；
（3）分当点P在第一象限时和当点P在第四象限时，找出AM∥OP时，判断出△OPM为等腰直角三角形，进而得出PH＝OH＝HM，进而得出x＝y或x＝﹣y，建立方程求出x的值，即可得出t的分界点，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵AM⊥x轴，A（15，8），
∴OM＝15，
∵AM与⊙P相切，
∴AM⊥PM，
∵AM⊥x轴，
∴点P在x轴上，
∵点P是圆心，
∴点P的横坐标为OM＝，
∴P（，0），
故答案为：（，0）；
（2）如图1，连接PM，过点P作PG⊥x轴于G，过点A作AQ⊥x轴于Q，
则∠PGM＝∠AQM＝90°，
∴∠PMG+∠MPG＝90°，
由（1）知，PM⊥AM，
∴∠PMG+∠AMQ＝90°，
∴∠MPG＝∠AMQ，
∴△PGM∽△MQA，
∴，
∵PO＝PM，PG⊥x轴于G，P（x，y），且点P在第一象限内，
∴PG＝y，OG＝GM＝x，OM＝2OG＝2x，
∴MQ＝OQ﹣OM＝15﹣2x，
∵AQ⊥x轴，A（15，8），
∴OQ＝15，AQ＝8，
∴，
∴y＝﹣x2+x，
故答案为：y＝﹣x2+x，
（3）∵直线AM过点A（15，8），
∴当AM∥OP是射线OP与直线AM相交的分界点，
如图2，①当点P在第一象限时，过点P作PH⊥x轴于G，
当OP∥AM时，
由（1）知，PM⊥AM，
∴OP⊥PM，
∴∠OPM＝90°，
∵PO＝PM，
∴△OPM为等腰直角三角形，
∴PH＝OH，
∵P（x，y），
∴x＝y，
∴x＝﹣x2+x，
∴x＝0（舍去）或x＝，
由（2）知，OM＝2OH＝7；
②当点P在第四象限时，过点P'作P'H'⊥x轴于H'，
同①的方法得，P'H'＝OH'，
∵P'（x，y），
∴x＝﹣y，
∴﹣x＝﹣x2+x，
∴x＝0（舍去）或x＝，
由（2）知，OM＝2OH＝23，
∴7＜t＜23，
故答案为：7＜t＜23．
4．（2024 道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，过点D作y轴平行线交BC于点N，利用相似三角形的判定与性质得到，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到＝，设D（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），进而求得线段DN，求出线段MA＝4，再利用配方法解答即可；
（3）利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：①当∠FBQ＝90°时，利用待定系数法求得直线PS，BF，SR，PQ的解析式，进而求得点R，Q的坐标，再利用待定系数法解答即可；②当∠BPQ＝90°时，利用①中的方法解答即可．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
令y＝0，则x＝3，
∴B（3，0），
把B（3，0）和C（0，3）代入抛物线解析式中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点M，过点D作y轴平行线交BC于点N，如图，
∵DN∥MA，
∴∠AME＝∠DNE，∠MAE＝∠NDE，
∴△DEN∽△AEM，
∴，
∵△CDE中DE边上的高与△ACE中AE边上的高相同，
∴＝，
∴＝．
设D（t，﹣t2+2t+3），则N（t，﹣t+3），
∴DN＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
把x＝﹣1代入y＝﹣x+3中，得：y＝4，
∴M（﹣1，4），
∴MA＝4，
∴＝＝＝﹣（t﹣）2+≤，
∴当时，有最大值，
∴D（，）；
（3）①当∠FBQ＝90°时，如图，
由（2）知：D（，），
∵点D和点F关于直线BC对称，
∴F（﹣，）．
∴直线BF的解析式为y＝x+，
令x＝0，则y＝，
∴P（0，），
根据题意可知：S（，），
∴直线PS的解析式为y＝x+．
∴直线RS的解析式为y＝﹣5x+9，
令y＝0，则x＝．
∴R（，0）．
∵直线BF的解析式为y＝x+，∠FBQ＝90°，
∴直线BQ的解析式为y＝x﹣．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴TH的解析式为x＝1，
当x＝1时，y＝×1﹣＝﹣5，
∴Q（1，﹣5）．
设直线RS的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线RS的解析式为y＝x﹣；
②当∠BPQ＝90°时，
∵直线BF的解析式为y＝x+，∠BPQ＝90°，
∴直线PQ的解析式为y＝x+，
∵抛物线对称轴TH的解析式为x＝1，
∴当x＝1时，y＝，
∴Q（1，）．
设直线RS的解析式为y＝mx+n，
∴，
∴，
∴直线RS的解析式为y＝﹣x+．
综上，直线RQ的解析式为y＝x﹣或y＝﹣x+．
5．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；
（2）利用待定系数法可得直线AM的解析式为y＝2x+2，进而可得D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）分三种情况：当DM、PQ为对角线时，当DP、MQ为对角线时，当DQ、PM为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点M（1，4），
设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，
则DH＝D′H，
∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，
∵D′M＝＝，
∴MH+DH的最小值为；
（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）得：D（0，2），M（1，4），
∵点P是抛物线上一动点，
∴设P（m，﹣m2+2m+3），
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，
∴设Q（1，n），
当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，3）；
当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，1）；
当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，
∴，
解得：，
∴Q（1，5）；
综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．
6．（2023 东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
【分析】（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，故抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，即可求解；
（2）分PB＝PC、PB＝BC、PC＝BC三种情况，分别求解即可；
（3）直线BD的解析式为y＝﹣x+2；如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形，则（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝﹣2，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设点P的坐标为（m，0），
则PB2＝（m﹣4）2，PC2＝m2+4，BC2＝20，
①当PB＝PC时，（m﹣4）2＝m2+4，解得：m＝；
②当PB＝BC时，同理可得：m＝4±2；
③当PC＝BC时，同理可得：m＝±4（舍去4），
故点P的坐标为：（，0）或（4+2，0）或（4﹣2，0）或（﹣4，0）；
（3）∵C（0，﹣2）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，2），
设直线BD的解析式为y＝kx+2，又B（4，0）
解得k＝﹣，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+2；
则点M的坐标为（m，﹣m+2），
点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣2），
如图，当MQ＝DC时，四边形CQMD是平行四边形
∴（﹣m+2）﹣（m2﹣m﹣2）＝2﹣（﹣2），
解得m1＝0（不合题意舍去），m2＝2，
∴当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形．
7．（2024 碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．
（1）求二次函数表达式；
（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）当P点与B点重合时，△APN∽△AOM，P（1，0）；设P（t，﹣t2﹣3t+4），则N（t，﹣t﹣2），当∠PAN＝90°时，∠APN＝∠OAM，sin∠APN＝＝，求得P（﹣1，6）．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+4，
∴，
解得，
∴函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）存在，理由如下：
∵EP⊥x轴，OM⊥x轴，
∴EP∥OM，
当P点与B点重合时，△APN∽△AOM，
∴P（1，0）；
∵AO＝4，OM＝2，
∴AM＝2，
∴sin∠OAM＝，
设直线AM的解析式为y＝kx﹣2，
∴﹣4k﹣2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x﹣2，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则N（t，﹣t﹣2），
∴PN＝﹣t2﹣3t+4+t+2＝﹣t2﹣t+6，AN＝，
∵PN∥OM，
∴∠PNA＝∠OMA，
当∠PAN＝90°时，∠AOM＝∠PAN，
∴∠APN＝∠OAM，
∴＝，
解得t＝﹣4（舍）或t＝4（舍）或t＝﹣1，
∴P（﹣1，6）；
综上所述：P点坐标为（﹣1，6）或（1，0）．
8．（2024 镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；
（3）由MH2＝AH DH，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6），
则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6），
则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），
则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c），
则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，
将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，
解得：c＝﹣7a，
则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），
当时，即﹣5≤x≤2，
则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2，
即a（25﹣10﹣7）＝2，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）如下图：
设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，
则点M的坐标为：（﹣，），x1＝，
根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1，
由点A、H的坐标得，AB＝，
则BP＝1﹣，
若AB＝2BP，即＝2﹣×2，
整理得：2a+b＝2，
当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，
则MH2＝AH DH，
而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），
则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），
整理得：＝（2b+4a+），
将2a+b＝2代入上式得：＝×（5），
解得：Δ＝20，
即b2﹣4ac＝20．
9．（2024 雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明∠H＝∠CAO，则tanH＝tan∠CAO，由PH＝OP，即可求解．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+4）（x﹣1）＝a（x2+3x﹣4），
则﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）设存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO，理由如下：
延长DP到H，设PH＝OP，连接OH，如图：
∵PH＝OP，
∴∠H＝∠POH，
∴∠OPD＝∠H+∠POH＝2∠H，
∵∠OPD＝2∠CAO，
∴∠H＝∠CAO，
∴tanH＝tan∠CAO，
∴，
∴DH＝2OD，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则OD＝﹣t，PD＝﹣t2﹣t+2，
∴DH＝2OD＝﹣2t，
∴PH＝DH﹣PD＝﹣2t﹣（﹣t2﹣t+2）＝t2﹣t﹣2，
∵PH＝OP，
∴t2﹣t﹣2＝，
∴（t2﹣t﹣2）2﹣（t2+t﹣2）2＝t2，
解得t＝0（舍去）或（舍去）或，
∴点P的横坐标为．
10．（2024 长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
【分析】（1）两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，则2+2k＝4+4k，即可求解；
（2）由y＝2ax2+x+m，则y1﹣y2＝2a（﹣）+（x1﹣x2）＝k（x1﹣x2），进而求解；
（3）由DA＝DC得到A（﹣3m，0），求出 F（x3，0），而D是CE的中点，则点E在圆D上，即可求解．
【解答】解：（1）∵两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，
∴2+2k＝4+4k，
∴k＝﹣1；
（2）∵抛物线1：y＝2ax2+x+m 与抛物线2：y＝ax2﹣x＝n相交于 A（x1，y1），B （x2，y2） 两点，
∴y1＝kx1＝y2＝kx2．
∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），
∵y＝2ax2+x+m，
则y1﹣y2＝2a（﹣）+（x1﹣x2）＝k（x1﹣x2），
∵x≠x，
∴2a（x1+x2）+1＝k，
联立抛物线1和2得：ax2+x+m＝ax2﹣x﹣n，
∴ax2+2x+m+n＝0 的两根为x1和x2，
，
∴k＝﹣3；
（3）∵抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n的交点A（x1，y1）在x轴上，
∴y＝2+x1+m＝0，
∴，
∴，
∵DA＝DC，D（0，﹣n），C（0，m），
∴，
∴4m2+7mn﹣2n2＝0，
∴n＝4m 或 ．
∴当 时，A（0，0），
则 m＝0，
∵m≠0，
∴n＝4m，
∴A（﹣3m，0），
∴直线AB：y＝﹣3x﹣9m，
∴E（0，﹣9m），
∴18am2﹣3n+m＝0，
∴，即 ，
设F（x3，0），
则
∴x3＝12m，
∵D（0，﹣4m），C（0，m），
∴D是CE的中点，
∴CE为圆D的直径，点E在圆D上，
∠EGC＝90°，
∴∠ECG＝∠OFE
∴．
11．（2023 嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．
已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y1的表达式；
（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；
②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
【分析】（1）根据题干中对于“L型距离”的定义，即可求解；
（2）根据二次函数y1经过点A、B、C三点，所以只要求出C点坐标即可：根据点C在直线x＝2上运动，所以可设点C（2，m），根据L（B，C）≤BC列方程求解出m的值，利用待定系数法列方程组即可求出抛物线y1的表达式；
（3）①根据△CDE的一边DE长度固定等于5，所以只要求出顶点C到DE的最大距离即可：由DE所在的直线y2＝2tx+1过固定点N（0，1），故直线y2的图象是绕点N（0，1）旋转的直线，当CN⊥直线y2时，点C到DE的距离最大，此时就是△CDE的最大面积，根据三角形面积公式求解即可；
②根据y＝y1+y2，可得函数y的解析式：y＝﹣x2+2（t+1）x+4，可知函数y的图象是一个开口向下，对称轴是直线x＝t+1的抛物线，由此可知函数y在对称轴上取得最大值，根据t≤x≤t+3可知当x＝t+3时y有最小值，最后根据函数y的最大值与最小值之和是8，从而列出方程即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，3），
∴L（A，B）＝|﹣1﹣0|+|0﹣3|＝1+3＝4；
（2）∵点C在直线x＝2上运动，
∴设点C（2，m），
∵B（0，3），
由平面上两点间距离，利用勾股定理得：
∴BC2＝（2﹣0）2+（3﹣m）2＝4+（3﹣m）2，
∵L（B，C）＝|0﹣2|+|3﹣m|＝2+|3﹣m|，
∴L2（B，C）＝（2+|3﹣m|）2＝22+4|3﹣m|+（3﹣m）2，
∵0≤L（B，C）≤BC，
∴L2（B，C）≤BC2，
即22+4|3﹣m|+（3﹣m）2≤4+（3﹣m）2，
∴4|3﹣m|≤0，
又∵|3﹣m|≥0，
∴3﹣m＝0，
∴m＝3，
∴C（2，3），
∵二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（0，3），C（2，3），
∴设，
∴代入解析式得：，
解方程组得：，
∴抛物线y1的表达式为；
（3）①∵y2＝2tx+1，
令x＝0时，y2＝1，
∴直线y2恒过定点N（0，1），
∴直线y2的图象是绕点N（0，1）旋转的直线，
∴当CN⊥直线y2时，点C到DE的距离最大，△CDE面积也最大，
过点C作CM⊥DE交直线y2于点M，
由点到直线的距离，垂线段最短知：CM≤CN，
∴，
∵C（2，3），N（0，1），
∴，
∴，
∴△CDE面积的最大值为；
②∵，
二次函数y的对称轴为，
∵a＝﹣1＜0，
∴二次函数y的图象开口向下，当x＝t+1时，函数值y取得最大值y＝﹣（t+1）2+2（t+1）（t+1）+4，
又∵t+3﹣（t+1）＞（t+1）﹣t，
∴当x＝t+3时，函数值y取得最小值y＝﹣（t+3）2+2（t+1）（t+3）+4，
∵函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，
∴﹣（t+1）2+2（t+1）2+4﹣（t+3）2+2（t+1）（t+3）+4＝8，
整理得：t2+2t﹣1＝0，
解得：，
∴实数t的值为．
12．（2023 任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．
13．（2023 姑苏区校级二模）探究阅读题：
【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）
【探究任务1】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．
【探究任务2】研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．
【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
【分析】【探究任务1】：利用待定系数法求出抛物线解析式，再化为顶点式求出顶点坐标即可；
【探究任务2】：先求出OA＝OB＝2，得到∠ABO＝45°，再求出F（6，8），E（6，3），得到EF＝5，由对称性得EE′＝2EG，EG⊥FG，证明△EFG是等腰直角三角形，求出 ，则．
【探究任务3】：先求出直线PD的解析式为y＝﹣x+1，进而求出P（﹣2，3），同理可求出直线OP的解析式为，则D'（2，3），求出抛物线解析式为 ，进而求出Q（﹣4，6），作QH⊥PD'交D′P延长线于点H，利用勾股定理求出，再求出直线QD'的解析式为，作MN⊥x轴交抛物线QD'O'和直线OD'分别于点N，M，作NT⊥QD'交曲线QD'于N'，则MN＝yM﹣yN＝﹣（x+1）2+，即可得到MN最大＝，证明△MNT∽△QD'H，求出，，则叶片此时的长度为，最大宽度为．
【解答】解：【探究任务1】：把（0，0）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5，
得0＝﹣20m+5，
解得m＝，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为 （2，﹣1）；
【探究任务2】：∵直线AB的解析式为 y＝x+2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝45°，
在y＝x+2中，
当x＝6 时，y＝8，
在y＝中，
当x＝6 时，y＝3，
∴F（6，8），E（6，3），
∴EF＝5．
∵EF∥OB，
∴∠GFE＝∠ABO＝45°，
∵E、E'是叶片上的一对对称点，
∴EE'＝2EG，EG⊥FG．
∴△EFG是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【探究任务3】：∵直线PD与x轴成45°角，
设直线PD的解析式为y＝﹣x+b，
把点D（2，﹣1）代入得﹣1＝﹣2+b，
解得b＝1．
∴直线PD的解析式为y＝﹣x+1，
联立，
解得或，
∴P（﹣2，3），
同理可求出直线OP的解析式为，
∴D′（2，3），
把D′（2，3）代入y＝mx2﹣4mx﹣20m+5，
∴4m﹣8m﹣20m+5＝3，
解得，
∴抛物线解析式为，
联立，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣10，
∵幼苗是越长越张开，
∴x2＝﹣10不合题意，舍去，
∴Q（﹣4，6），
作QH⊥PD'交 D'P 延长线于点H，
∴QD′＝，
设直线QD'的解析式为y＝kx+b2，
把点Q（﹣4，6）和D′（2，3）代入得，
解得，
∴直线QD'的解析式为，
作MN⊥x轴交抛物线QD'Q'和直线QD'分别于点N，M，作NT⊥QD'交曲线OD'于N'，
∴MN＝yM﹣yN＝＝﹣（x+1）2+，
∴MN最大＝，
∵MN∥QH，
∴∠D′QH＝∠NMT，
∵∠QHD'＝∠MTN，
∴△MNT∽△QD'H．
∴NT：MN＝HD′：QD′＝6：3，
∴，，
∴叶片此时的长度为，最大宽度为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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重难点01 二次函数与几何图形的综合练习
中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：
一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）
二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）
三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）
四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）
五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）
六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）
七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）
八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）
九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）
因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！
考向一：二次函数与几何变换的综合
1．（2023 武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；
（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．
考向二：二次函数与直角三角形的综合
1．（2023 连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．
（1）当m＝1时，求点D的坐标；
（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．
2．（2023 内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
考向三：二次函数与等腰三角形的综合
1．（2023 青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；
（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
2．（2023 娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考向四：二次函数与相似三角形的综合
1．（2023 乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2023 随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．
（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；
（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；
（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考向五：二次函数与四边形的综合
1．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中， 为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
3．（2023 邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．
（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．
考向六：二次函数与最值的综合
1．（2023 吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
2．（2023 聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．
考向七：二次函数与新定义的综合
1．（2023 南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．
（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
2．（2023 宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；
（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；
（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．
考向八：二次函数与圆的综合
1．（2023 湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求二次函数的解析式和b的值．
（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．
2．（2023 株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．
（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．
①求证：．
②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．
考向九：二次函数与角的综合
1．（2023 无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
2．（2023 营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（建议用时：150分钟）
1．（2023 宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝ °；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为 ．
2．（2023 越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2总是负数；
②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；
③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；
④四边形AECD为正方形．
其中正确的是 ．（填写正确的序号）
3．（2023 晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．
（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为 ；
（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为 （不用写出自变量x的取值范围）；
（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是 ．
4．（2024 道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．
5．（2023 枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023 东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
7．（2024 碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．
（1）求二次函数表达式；
（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2024 镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
9．（2024 雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024 长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．
（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；
（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；
（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．
11．（2023 嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．
已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．
（1）求L（A，B）；
（2）求抛物线y1的表达式；
（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．
①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；
②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．
12．（2023 任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
13．（2023 姑苏区校级二模）探究阅读题：
【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）
【探究任务1】确定心形叶片的形状
如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．
【探究任务2】研究心形叶片的尺寸
如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．
【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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