人教B版（2019）必修第三册《8.2 三角恒等变换》2024年同步练习卷
一、选择题
1．已知，则tan2α＝（ ）
A． B． C． D．
2．若sin（）＝，则sin（）＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．sinxcosx+sin2x可化为（ ）
A． B．
C． D．
4．若tan（α﹣）＝2，则tan（α﹣）＝（ ）
A． B．3 C．﹣ D．﹣3
5．在△ABC中，若tanAtanB＝tanA+tanB+1，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知α、β都是锐角，cos（α+β）＝，sin（α﹣β）＝（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量＝（cos2α，sinα），＝（1，2sinα﹣1），α∈（，π），若 ＝，则tan（α+）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．设2sin2α＝﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是 ．
9．＝ ．
10．已知＝2，则tanα＝ ．
11．已知，则cos2θ＝ ．
12．的值为 ．
13．设a为第四象限的角，若＝，则tan2a＝ ．
三、解答题
14．计算下列各式的值：
（1）；
（2）tan25°+tan35°+tan25°tan35°．
15．已知，求的值．
16．已知，．
（1）求sinα的值；
（2）求的值．
17．已知sinα＝，cos（α﹣β）＝，且0＜β＜α＜．
（1）求tan2α的值；
（2）是否可以确定β的值，若能，求出β值，说明理由．
18．已知A、B、C是△ABC的三内角，向量＝（﹣1，），＝（cosA，sinA），且 ＝1．
（1）求角A；
（2）若tan（）＝﹣3，求tanC．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：由sinα+2cosα＝，
则（sinα+2cosα）2＝，即sin2α+4sinαcosα+7cos2α＝，
可得，
解得tanα＝3或﹣．
那么tan2α＝＝．
故选：C．
2．【解答】解：sin（+2θ）＝sin[﹣θ）]＝cos2（2（﹣θ）＝8﹣＝，
故选：D．
3．【解答】解：sinxcosx+sin2x＝sin2x+，
＝，
＝sin（7x﹣．
故选：A．
4．【解答】解：tan（α﹣）＝tan（α﹣﹣＝＝，
故选：A．
5．【解答】解：∵tanAtanB＝tanA+tanB+1，即tanA+tanB＝tanAtanB﹣1，
∴tan（A+B）＝＝﹣1，
∴tanC＝1，即C＝，
则cosC＝cos＝．
故选：B．
6．【解答】解：α、β都是锐角，sin（α﹣β）＝，
∴sin（α+β）＝，cos（α﹣β）＝，
则cos5α＝cos[（α+β）+（α﹣β）]＝cos（α+β）cos（α﹣β）﹣sinsin（α+β）sin（α﹣β），
＝＝．
∵cos6α＝1﹣2sin2α＝﹣，
∴sin2α＝，
∵sinα＞0，
∴sinα＝．
故选：A．
7．【解答】解：因为，所以cos3α+sinα（2sinα﹣1）＝
所以sinα＝，因为，tanα＝﹣
所以＝
故选：C．
二、填空题
8．【解答】解：∵2sin2α＝﹣sinα，α∈（，
∴cosα＝﹣，sinα＝，
∴tanα＝﹣，
则tan2α＝＝．
故答案为：．
9．【解答】解：∵，
∴＝＝．
故答案为：．
10．【解答】解：因为＝＝tan，
则tanα＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
11．【解答】解：由，两边平方得：，
即，sin．
∴cos2θ＝．
故答案为：．
12．【解答】解：∵2cos10°＝2sin80°＝5sin（60°+20°）＝2（）＝，
∴＝．
故答案为：．
13．【解答】解：∵a为第四象限的角∴sinα＜0，cosα＞0
∵＝＝＝2cos2α+cos3α＝4cos2α﹣8＝
∴cosα＝，sinα＝﹣
tanα＝﹣tan2α＝
故答案为：﹣
三、解答题
14．【解答】（1）解：原式＝．
（2）解：因为 ，
则原式＝．
15．【解答】解：∵tan2θ＝＝﹣2，
∴tan2θ﹣tanθ﹣＝0，
解得：tanθ＝或tanθ＝﹣，
又，
∴θ∈（，），
∴tanθ＝﹣不合题意，
∴tanθ＝，
则＝＝＝＝5．
16．【解答】解：（1）∵，sin2α+cos2α＝1，
∴8sin2α＝1，，
（2）∵，，
∴
∴，
．
∴．
17．【解答】解：（1）已知sinα＝，且0＜β＜α＜．
则：cosα＝
tanα＝
tan2α＝＝﹣
（2）由于：0＜β＜α＜．
所以：
sinα＝，cos（α﹣β）＝，
解得：
cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝
所以：β＝
18．【解答】解：（1已知A、B、C是△ABC的三内角＝（﹣1，），，sinA），
则： ＝．
整理得：，
由于：7＜A＜π，
所以：，
则：，
即：A＝．
（2）由于，
解得：tanB＝6，
由于：A＝，
所以：tanA＝，
tanC＝﹣tan（A+B）＝﹣．
