2023～2024学年度第二学期高一年级期中考试试卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第5节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量
C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法中错误的是（ ）
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4. 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A. 平行 B. 相交
C. 直线在平面内 D. 平行或直线在平面内
5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（ ）
A. 正三角形 B. 一个内角余弦值为的直角三角形
C. 底角余弦值为的等腰三角形 D. 底角正弦值为的等腰三角形
8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 已知复数，则（ ）
A. z的虚部为 B. z是纯虚数
C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限
10. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为
C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，其中是实数，则__________.
13. 如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为_______；古塔的塔高为_______．
14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）当m何值时，z为纯虚数
（2）当时，求．
16. 已知某几何体直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．
（1）若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；
（2）若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．
17. 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若的面积为1，求a的最小值．
18. 如图，在中，D，E是边BC上的两点，，AE平分∠BAC，．
（1）若，求的值；
（2）求证：．
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．2023～2024学年度第二学期高一年级期中考试试卷
数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章第5节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量
C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可.
【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.
故选：D
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解.
【详解】由，
得．
故选：D．
3. 下列说法中错误的是（ ）
A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D. 在圆柱上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【答案】C
【解析】
【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断.
【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；
由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，
是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确.
故选：C
4. 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为( )
A. 平行 B. 相交
C. 直线在平面内 D. 平行或直线在平面内
【答案】D
【解析】
【详解】由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．
由此可知，本题中这条直线可能在平面内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必然与另一个平面相交)，故选D．
5. 如图所示，在直角坐标系中，已知，，，，则四边形的直观图面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，作出的直观图，再计算面积得解.
【详解】依题意，四边形是平行四边形，，
如图，是的直观图，，
所以四边形的直观图面积为.
故选：D
6. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用在上的投影向量的定义求解.
【详解】因为，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（ ）
A. 正三角形 B. 一个内角余弦值为的直角三角形
C. 底角余弦值为的等腰三角形 D. 底角正弦值为的等腰三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得，根据正弦定理可得，在中，求出即可求解.
【详解】因为，
所以，即，由及正弦定理，
得．
所以，即有，三角形不可能为等边三角形和直角三角形，排除AB；
所以该等腰三角形底角的余弦值为，C正确；
该等腰三角形底角正弦值为，D错误.
故选：C．
8. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，在和中，分别利用正弦定理，结合，，得到，再由求解．
【详解】解：设，则，．
在中，由正弦定理，得；
在中，由正弦定理，得．
又因，，
所以，
所以，即．
又因为．
所以，故．
所以．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则（ ）
A. z的虚部为 B. z是纯虚数
C. z的模是 D. z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】CD
【解析】
【分析】根据复数的有关概念判断AB，根据复数的几何意义判断CD.
【详解】对于A．由虚部定义知z的虚部为．故A错误；
对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，z在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．
故选：CD．
10. 在边长为1的正方形中，分别为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.
【详解】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，
，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A. 的外接圆的面积为 B. 的周长为
C. 是直角三角形 D. 的内切圆的半径为
【答案】ABC
【解析】
【分析】选项A，根据条件，利用正弦定理，可求得外接圆半径为，进而求出外接圆的面积，即可判断出选项A的正误；根据条件，利用余弦定理，可求得，，进而可判断出选项B和C的正误，选项D，设内切圆半径为，利用，求出，即可判断出选项D的正误，从而求出结果.
【详解】对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到，
所以的外接圆的面积为，故选项A正确，
对于选项B，由余弦定理，
得到，整理得到，解得，所以，
故的周长为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，，，所以，故选项C正确，
对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误，
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，其中是实数，则__________.
【答案】0
【解析】
【分析】根据复数相等的充要条件可解.
【详解】因为，
所以，解得，
所以.
故答案为：0
13. 如图，用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高，无人机的航线与塔在同一铅直平面内，无人机飞行的海拔高度为，在处测得塔底（即小山的最高处）的俯角为，塔顶的俯角为，向山顶方向沿水平线飞行到达处时，测得塔底的俯角为，则该座小山的海拔为_______；古塔的塔高为_______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】在，根据条件，利用正弦定理得到，延长交于，则，即可求出小山的海拔；在，根据条件，利用正弦定理，即可求出塔高.
【详解】如图，在，，
由正弦定理，
又，
所以，即，
延长交于，则，
又无人机飞行的海拔高度为，所以该座小山的海拔为，
在中，，
又，
由正弦定理有，得到，
故答案为：，.
14. 在中，已知向量与满足，且，则角__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依题意可得，设角平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解.
【详解】设角的平分线交于，因为，故，即，
又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
设，（如图所示），，因为，
故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.
因为，故，故.
综上，为等腰直角三角形且，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）当m为何值时，z为纯虚数
（2）当时，求．
【答案】（1）或．
（2）90.
【解析】
【分析】（1）先化简复数z，再利用复数的相关概念求解；
（2）先求得复数z和其共轭复数，再利用复数的乘法求解.
【小问1详解】
解：由已知得，
若z为纯虚数，则解得或．
【小问2详解】
当时，，，
所以．
16. 已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为4，宽为3的长方形．
（1）若该几何体的高为2，求该几何体的体积V；
（2）若该几何体的侧棱长均为，求该几何体的侧面积S．
【答案】（1）8； （2）．
【解析】
【分析】（1）利用锥体的体积公式求解；
（2）先求出四棱锥对侧面底边上的高，再分别求得各侧面的面积相加即可.
【小问1详解】
解：该几何体是一个高为2，底面为矩形的四棱锥，
所以该几何体的体积．
【小问2详解】
正侧面及相对侧面底边上的高．
左、右侧面的底边上的高．
故几何体的侧面面积．
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若的面积为1，求a的最小值．
【答案】（1）；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式和正弦定理边化角可得，然后根据两角和的正弦公式化简整理可得，根据A的范围，即可得出答案；
（2）根据三角形面积公式，结合勾股定理及基本不等式可解.
【小问1详解】
由，得，
又，所以，
可得，
因为，所以，故．
又，所以．
【小问2详解】
因为的面积，
所以，
由勾股定理及基本不等式可得，即，．
当且仅当时，等号成立，故a的最小值为2．
18. 如图，在中，D，E是边BC上的两点，，AE平分∠BAC，．
（1）若，求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系求出，利用两角和的正弦公式求出，结合正弦公式计算即可求解；
（2）根据三角形面积公式可得、，进而表示，即可证明
【小问1详解】
因为AE平分∠BAC，，所以，
因为，，
所以．
在中，，，
．
所以．
【小问2详解】
因为，，
由，得，
整理得，
因为，，
所以，所以．
19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组．
（1）求∠BAC；
（2）若，，，求C的坐标；
（3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解；
（2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解；
（3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解.
【小问1详解】
解：因为与同向，设，
则，
，
又∠GAB，．
因为，所以，
所以，
由，得，
又，所以，．
【小问2详解】
由（1）知，．
所以，
因为，，，
所以，，，
则，解得
所以C的坐标为．
【小问3详解】
设BC的中点为D，则，又，
所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心，
所以，，，
由对称性，不妨设与夹角为，，
如图所示，
，
，
由图可知，与，与的夹角分别为，，
所以，的值分别为，，
当时，，
所以，其取值范围是．
所以的取值范围是．
