九年级数学模拟练习
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 昭通是历史上中原文化进入云南的重要通道，是中国“南丝绸之路”的要冲，气候宜人．今年1月某日的最高气温为，最低气温为，则该日的最大温差为( )
A. B. C. D.
2. 高考“吉”时：央广网长春6月6日消息，2023年吉林省高考考生约有126800余人，数字126800用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体的三视图中没有圆的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D. 如果，那么
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A. 30° B. 60°
C 90° D. 120°
6. 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，是等边三角形，点A和B点在x轴上，点C在y轴上，，垂足为点D，反比例函数的图象经过点D，若的面积为8，则k值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：_______.
10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______．
11. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是___________．
12. 如图摆放着正五边形和正，其中点在同一直线上，，则的度数是______．
13. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留）
14. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在点正上方的处发出一球，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
16. 在三胎奖励政策的鼓励下，李明夫妇有了生三胎的打算，请用树状图分析生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率．
17. 随着疫情防控形式不断好转，学校陆续开始组织学生进行春游，某校计划到离学校有公里的生态园春游，队伍先从学校出发，李老师因有事情，半小时后从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，与大巴车同时到达生态园．求大巴车与小车的平均速度．
18. 在的正方形网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，作边上的高线；
（2）在图②中，在边上画出点，使得；
（3）在图③中，在的内部（不包含边界）找一点，使得．
19. 如图，在中，E为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连结．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求四边形的周长为______．
20. 为了增强市民法律意识，某社区组织了一次关于“学法、懂法、用法”问卷调查，随机抽取了名居民在线参与，对他们的得分数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．名社区居民得分(单位：分)的不完整扇形统计图如图①(数据分成组：：；：；：；：；：)；
．社区居民得分在组的成绩是：，，，，，，，，，，，，，；
．名社区居民年龄和问卷得分情况统计图如图②；
．社区居民甲的问卷得分为分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为 度，组所占百分比为 ．
（2）社区居民甲的得分在抽取的 名社区居民得分中从高到低排名第 名．
（3）下列推断合理是 ．(填序号)
①相比于图①中A组的几位社区居民，居民甲的得分略高一些，说明青年人一定比老年人法律知识掌握得更好一些．
②法律知识得分在分以上的社区居民主要集中在中青年，说明这部分群体的法律知识掌握更全面，可以多向身边的老年人宣传法律相关内容．
21. 某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后达成协议，协议部分内容如下：
①同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格． ②外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算，超过30件时超过的部分每件发货价格有一定的优惠． （注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区）
文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额y（元）与各自发货件数x（件）之间的函数关系如图所示：
（1）求同城快递每件发货价格．
（2）求外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式
（3）文具店某日发货50件（同城和外市均有销量），共花费304元，求这一天文具店同城快递发货件数．
22. 在菱形中，是对角线上一点．
【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明）
【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______．
【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______．
23. 如图，为的直径，，点在直线的下方且将平分，动点在上且位于直线上方，连结.作点关于直线的对称点，连结．
（1）当点与点重合时，______．
（2）当时，求扇形的面积．
（3）当时，求的长．
（4）当时，直接写出线段的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点为抛物线上轴右侧一动点．其横坐标为.当点不与该抛物线顶点重合时，过点作轴垂线交该抛物线于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若此抛物线在点右侧部分(包括点)的最低点的纵坐标为时，求的值；
（3）当为锐角，且时，求的取值范围；
（4）已知点，点，以、为邻边作．当抛物线在内部部分的函数值随的增大而增大或随的增大而减少时，抛物线与的边的交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．九年级数学模拟练习
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 昭通是历史上中原文化进入云南的重要通道，是中国“南丝绸之路”的要冲，气候宜人．今年1月某日的最高气温为，最低气温为，则该日的最大温差为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了有理数的减法，根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
则该日的最大温差为．
故选：C．
2. 高考“吉”时：央广网长春6月6日消息，2023年吉林省高考考生约有126800余人，数字126800用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：D．
3. 下列几何体的三视图中没有圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该几何体的三视图都是圆，故不符合题意；
B．该几何体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是三角形，故符合题意；
C．该几何体的俯视图是圆，故不符合题意；
D．该几何体的俯视图是一个有圆心的圆，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左边看到的图形是左视图．
4. 已知，下列结论中成立的是（ ）
A. B.
C. D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析进行分析即可．
【详解】因为a
B选项：-3a>-3b，故错误；
C选项：,,故正确；
D选项：如果，那么，故错误；
故选：C.
【点睛】考查了不等式的基本性质，解题关键是注意不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则可以为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.
【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了六次，
且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，
所以每次旋转相同角度 .
故选：B.
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．
6. 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案.
【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，
由题意可得，，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.
7. 如图，小明分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，作直线分别交弦和劣弧于点．小明量得．则劣弧所在圆的半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据作图即可得到直线是的垂直平分线，再利用垂径定理及勾股定理即可解答．
【详解】解：∵直线是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴设，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴圆的半径为，
故答案为．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
8. 如图，是等边三角形，点A和B点在x轴上，点C在y轴上，，垂足为点D，反比例函数的图象经过点D，若的面积为8，则k值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】过点D分别作轴，轴，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形，先证明，可得，从而得到，然后根据反比例函数的比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：如图，过点D分别作轴，轴，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形，
∵是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵的面积为8，
∴，
∵反比例函数图象经过点D，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：_______.
【答案】．
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可
【详解】解：，
故答案为：．
10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，得出，建立关于的不等式，求出的取值范围即可．解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是___________．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据点到直线的距离垂线段最短进行求解即可
【详解】解：由点到直线的距离，垂线段最短可知，铺设垂直于排水渠的管道时，点A到上任意一点（不与B重合）的距离都大于的长，即此时用料最节约，
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题的关键．
12. 如图摆放着正五边形和正，其中点在同一直线上，，则的度数是______．
【答案】144°
【解析】
【分析】利用平行线的性质求出，可得结论．
【详解】解：在正五边形中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. 如图，平行四边形的对角线交于点且以为圆心长为半径画弧交对角线于点以为圆心，长为半径画弧交对角线于点．若则图中阴影部分的面积为_____________（结果保留）
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的性质得到，然后得到，最后利用阴影部分的面积为代入求解即可．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
由平行四边形的对称性可得，阴影的面积和阴影的面积相等，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积、平行四边形性质及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键．
14. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在点正上方的处发出一球，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度与水平距离之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用．将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可得，即可求解．
【详解】解：乙原地起跳可接球的最大高度为米，
若乙因接球高度不够而失球，当时，羽毛球飞行的高度，
当时，，
解得：或舍去，
网离点水平距离为米，
，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键．
【详解】解：
．
16. 在三胎奖励政策的鼓励下，李明夫妇有了生三胎的打算，请用树状图分析生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用树状图法求概率．用树状图法表示所有等可能出现的结果，再由概率的定义进行计算即可．列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．
【详解】解：用树状图表示三胎后所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中男女的有种，
∴三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率为，
答：生完第三胎之后，家里有两男孩一女孩的概率为．
17. 随着疫情防控形式不断好转，学校陆续开始组织学生进行春游，某校计划到离学校有公里的生态园春游，队伍先从学校出发，李老师因有事情，半小时后从学校自驾小车以大巴倍的速度追赶，与大巴车同时到达生态园．求大巴车与小车的平均速度．
【答案】大巴车的平均速度为公里时，小车的平均速度为公里时．
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的应用，设大巴车的平均速度为公里时，则小车的平均速度为公里时，根据某校计划到离学校有公里的生态园春游，队伍先从学校出发，李老师因有事情，半小时后从学校自驾小车以大巴倍的速度迫赶，与大巴车同时到达生态园，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为公里时，则小车的平均速度为公里时，
根据题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：大巴车的平均速度为公里时，小车的平均速度为公里/时．
18. 在的正方形网格中，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，按要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，作边上的高线；
（2）在图②中，在边上画出点，使得；
（3）在图③中，在的内部（不包含边界）找一点，使得．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形的高，相似三角形的性质与判定；
（1）根据网格的特点，先找出的垂线，再作平行线即可；
（2）根据相似三角形的性质即可作图；
（3）先求出的面积，即可求出的面积为即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即可为所求．
，，
．
【小问2详解】
如图所示，点即为所求；
根据相似三角形的性质，构造相似比为的两个相似三角形即可．
【小问3详解】
如图所示，点即为所求；
的面积为，
的面积为即可，
以为底，则高为，
点符合题意．
19. 如图，在中，E为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连结．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求四边形的周长为______．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）由翻折得，，，，然后根据平行四边形的性质即可解决问题；
（2）由平行四边形的性质和菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，，，的长度，即可求四边形的周长．
【小问1详解】
证明：由翻折得，，，，
在中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：，
，
，
由(1)知四边形是菱形，
∴，
∵，
是等边三角形，
，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
20. 为了增强市民法律意识，某社区组织了一次关于“学法、懂法、用法”的问卷调查，随机抽取了名居民在线参与，对他们的得分数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
．名社区居民得分(单位：分)的不完整扇形统计图如图①(数据分成组：：；：；：；：；：)；
．社区居民得分在组的成绩是：，，，，，，，，，，，，，；
．名社区居民的年龄和问卷得分情况统计图如图②；
．社区居民甲的问卷得分为分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为 度，组所占百分比为 ．
（2）社区居民甲的得分在抽取的 名社区居民得分中从高到低排名第 名．
（3）下列推断合理的是 ．(填序号)
①相比于图①中A组的几位社区居民，居民甲的得分略高一些，说明青年人一定比老年人法律知识掌握得更好一些．
②法律知识得分在分以上的社区居民主要集中在中青年，说明这部分群体的法律知识掌握更全面，可以多向身边的老年人宣传法律相关内容．
【答案】（1），
（2）
（3）②
【解析】
【分析】本题考查了扇形图，散点图等知识；
（1）用乘以即可求出组所对应扇形的圆心角度数，先求组的百分比，即可求出组所占百分比；
（2）根据的人数有人，根据组的成绩可知只有一个比高的，即可判断，
（3）利用图2中信息判断即可．
【小问1详解】
解： 组所对应扇形的圆心角度数为，
组所占百分比为，
组所占百分比为．
故答案为：，．
【小问2详解】
的人数有人，
根据组的成绩可知只有一个比高的，
分是第名，
故答案为：．
【小问3详解】
观察图象可知：法律知识得分在分以上的社区居民年龄主要集中在岁到岁之间，说明青年人法律知识掌握更为全面，他们可以向身边的老年人多宣传法律相关内容．
故②正确．
故答案为：②．
21. 某文具店自疫情以来网络销量不断增大，为了节省快递费用，与快递公司协商后达成协议，协议部分内容如下：
①同城快递发货费用每件价格固定，但低于外市快递每件发货价格． ②外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算，超过30件时超过的部分每件发货价格有一定的优惠． （注：文具店单件货品不超过标准重量，外市快递不包含偏远地区）
文具店每日同城快递和外市快递各自发货所花金额y（元）与各自发货件数x（件）之间的函数关系如图所示：
（1）求同城快递每件发货价格．
（2）求外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式
（3）文具店某日发货50件（同城和外市均有销量），共花费304元，求这一天文具店同城快递发货件数．
【答案】（1）每件5元；
（2）
（3）这一天文具店同城快递发货件数为件；
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，理解题意，分别确定相应的函数关系式是解本题的关键；
（1）根据函数图象直接利用总价除以数量可得单价；
（2）分两种情况：当，当，再求解函数解析式即可；
（3）设文具店某日发货50件中有件外市的，则同城有件，再分两种情况建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意可得：同城快递所花金额y（元）与发货件数x（件）之间的函数关系为正比例函数，
∴同城快递每件发货价格为（元）；
【小问2详解】
∵外市快递每日发货不超过30件附，发货价格按每件8元计算，
∴当时，
，
当时，，
当时，设关系式为，
∴，
解得：，
∴，
∴外市快递发货费用y与外市发货件数x的函数关系式为：
；
【小问3详解】
由（1）可得：同城快递发货所花金额y（元）与发货件数x（件）之间的函数关系为：
，
设文具店某日发货50件中有件外市的，则同城有件，
当时，
，
解得：，符合题意，
∴这一天文具店同城快递发货件数为件；
当时，
，
解得：，不符合题意，舍去；
综上：这一天文具店同城快递发货件数为件；
22. 在菱形中，是对角线上一点．
【感知】如图①，过点作交于点，作交于点，易证．（不需要证明）
【应用】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，则面积最小值时，与的面积之比为______．
【拓展】如图②，，，的两边分别交边、于点、（、不与荾形顶点重合），连结，当，，且时，线段的长为______．
【答案】[应用]（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；[拓展]
【解析】
【分析】[应用]（1）可推出点、、、共圆，从而，∠，即可判断的形状；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得出结果；
[拓展]证明，进而得出，解，作于，作于，进一步得出结果．
【详解】解：[应用]
（1）是等边三角形，理由如下：
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴，
∴点、、、共圆，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）当时，的边长最小，的面积最小，
此时，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
[拓展]如图，
由（1）可得：是等边三角形，
∵四边形是菱形，，，，
∴，，，，
∴，是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
作于，
∴，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，掌握四点共圆，相似三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键．
23. 如图，为的直径，，点在直线的下方且将平分，动点在上且位于直线上方，连结.作点关于直线的对称点，连结．
（1）当点与点重合时，______．
（2）当时，求扇形的面积．
（3）当时，求的长．
（4）当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，进而根据轴对称的性质即可求解；
（2）连接，，则，由轴对称的性质可得，则，得出，根据扇形面积公式即可求解；
（3）分当在直线下方时，当在直线上方时，分别求得，进而根据弧长公式，即可求解；
（4）分优弧时与劣弧时，两种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：为的直径，，点在直线的下方且将平分，
，
、关于对称，
当与点重合时，，
的大小为度，
故答案为：；
【小问2详解】
如图所示，连接，则，
，
，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
【小问3详解】
解：如图所示，当在直线下方时，连接，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
当在直线上方时，如图所示，
同理可得
∴
综上所述，的长为或；
【小问4详解】
解：如图所示，连接交于点，
，且，
，，
，
，
在中，
，
，
如图所示，连接交的延长线于点，同理可得，则．
在中，
综上所述，线段的长为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，求弧长，扇形的面积等，正确的作出辅助线是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点为抛物线上轴右侧一动点．其横坐标为.当点不与该抛物线顶点重合时，过点作轴垂线交该抛物线于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若此抛物线在点右侧部分(包括点)的最低点的纵坐标为时，求的值；
（3）当为锐角，且时，求的取值范围；
（4）已知点，点，以、为邻边作．当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大或随的增大而减少时，抛物线与的边的交点的纵坐标之差为时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）的值或
（3）或
（4）或或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法把点、的坐标代入，即可求得答案；
（2）利用配方法可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况：当时，当时，分别建立方程求解即可；
（3）设与轴交于点，由可知，即，由点的坐标可建立不等式，代入即可得出结论；
（4）分四种情况：当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时；当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时；当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时；当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时；分别建立方程求解即可．
小问1详解】
解：抛物线经过点，
，
解得：，
该抛物线对应的函数表达式为．
【小问2详解】
，
对称轴为直线，顶点坐标为，，，
当时，，
解得，
当时，，
解得： 舍去， ；
综上所述，的值为或；
【小问3详解】
如图，设与轴交于点，
当时，，不符合题意，
当时，有，
，
，
，即，
解得或 或 (舍)，
综上，当为锐角，且时，的取值范围或；
【小问4详解】
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时，如图，
则，
解得：；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时，
则，
解得：或 舍去，
；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时，如图，
则，
解得：；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时，如图，
联立得：，
解得：舍去或，
，
则，
解得：舍去或；
综上所述，的值为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的应用，正切的定义，平行四边形的性质，运用分类讨论思想，数形结合思想思考解决问题是解题的关键．
