阶段性复习训练（考查范围：第四章、第五章）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，若关于的方程至少有两个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
5．陪伴是最好的亲情．某地政府倡议年轻人平时多陪伴父母，多措并举，创造就业机会，尽量让年轻人在家附近工作．一年后，该地政府对在家附近工作的年轻人进行了调查，得到他们一年能在家陪伴父母的天数，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则样本中位数为（ ）
A．150.5 B．152.5 C．154.5 D．156.5
6．已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据的平均数与标准差分别为（ ）
A． B． C． D．
7．样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（ ）
A．16 B．17 C．23 D．24
8．2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加
B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元
C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低
D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%
二、多选题
9．下列结论正确的有（ ）
A．函数与函数表示同一个函数
B．函数在定义域上单调递减
C．函数的图象可由的图象向左平移得到
D．若函数的值域是，则函数的值域是
10．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
11．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16．则（ ）
A．图中
B．样本容量
C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分
D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分
12．2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（ ）
A．2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加
B．2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元
C．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为
D．2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的分位数为
三、填空题
13．已知函数，则 ．
14．已知函数（其中为自然对数的底数），若方程有三个根，则的取值范围是 .
15．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为，若女生的平均身高为，则男生的平均身高为 .
16．一次知识竞赛中，共有五个题，参赛人每次从中抽出一个题回答（抽后不放回）. 已知参赛人甲A题答对的概率为，B题答对的概率为，题答对的概率均为，则甲前3个题全答对的概率为 .
四、解答题
17．已知（且）是指数函数．
(1)求关于x的不等式的解集；
(2)函数在区间上的值域．
18．已知函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求不等式的解集．
19．已知函数，.
(1)当时，用单调性定义证明：在区间上单调递减；
(2)若在区间内有2个零点，求实数的取值范围.
20．为了解一个鱼塘中养殖的鱼的生长情况，从这个鱼塘中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：kg），并将所得数据分组（每组包含左端值，不包含右端值），画出频率分布直方图，如图所示．
(1)根据直方图作频率分布表；
(2)估计数据落在中的概率为多少；
(3)将上面捕捞的100条鱼分别做一记号后再放回鱼塘，几天后再从鱼塘的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该鱼塘中鱼的总条数．
21．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在的平均成绩是61，方差是7，落在的平均成绩为70，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.
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参考答案：
1．B
【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案.
【详解】因为函数，，，都是增函数，
所以函数，，均为增函数，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
因为，
所以函数的零点在上，即，
综上，．
故选：B．
2．D
【分析】作出函数的图象，由题意可得的图象与至少有两个不同的交点，从而得，结合图象可得，求解即可．
【详解】因为，
作出函数的图象，如图所示：
由此可知函数在和上单调递减，在上单调递增，
且，，
又因为关于的方程至少有两个不同的实数根，
所以至少有两个不同的实数根，
即的图象与至少有两个不同的交点，所以，
又因为当时，，令，可得；
当时，，令，解得，
又因为，所以，解得．
故选:D．
3．A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由，
所以
故选：A
4．A
【分析】利用偶函数和0处函数值列方程求解即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
5．B
【分析】先根据频率之和为1求出未知数，再找到频率之和为0.5所在的区间即可根据频率分布直方图进行求解中位数.
【详解】由条件可得，故.
因为，，
所以样本中位数为.
故选：B.
6．A
【分析】根据样本数据同加上一个数和同乘以一个数后的新数据的平均值和方差的性质即可求解.
【详解】由题意知，样本数据的标准差为，
所以样本数据的方差为16，
因为样本数据的平均数为和方差为，
所以的平均数为，
的方差为，
所以的标准差为，
故选：A.
7．C
【分析】先将数据排序后结合百分位数公式计算即可.
【详解】由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，
，所以分位数为.
故选：C．
8．C
【分析】根据给定的条形图和折线图，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，观察条形图知，2017年至2022年该省年生产总量逐年增加，A正确；
对于B，2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3（亿元），B正确；
对于C，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度逐年降低，
而2021年该省年生产总量的增长速度比2020年该省年生产总量的增长速度高，C错误；
对于D，2017年至2020年该省年生产总量的增长速度由小到大排列为：，
因此增长速度的中位数为，D正确.
故选：C
9．ACD
【分析】由函数的定义域和对应关系相同可判断A正确；由函数图象可得B错误；由对数的运算性质和函数图象的平移可得C正确；利用换元法和对勾函数的单调性可得D正确.
【详解】A：在函数中，令，解得，
所以函数的定义域为，
则函数可化简为，故这两个函数表示同一个函数，故A正确；
B：结合函数的图象，
可知其在定义域内不是单调减函数，故B错误；
C：函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，符合左加右减的性质，故C正确；
D：函数的值域是，从而得函数的值域为，
函数变为，，
由对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增，
当时，；而当时，；当时，，即；
所以原函数值域是，故D正确．
故选：ACD.
10．ACD
【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，
于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，而，此时，选项B错误.
故选：ACD.
11．AD
【分析】根据频率之和等于1，即可判断A；根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意算出分位数，再根据频率分布直方图的性质，即可判断D．
【详解】对于A，因为，解得，故A正确；
对于B，因为成绩落在区间内的人数为16，
所以样本容量，故B不正确；
对于C，学生成绩平均分为，故C不正确；
对于D，设授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为，
由于的频率为，的频率为，的频率为，
则，所以，
则，解得，
所以大约成绩至少为 77.25 的学生能得到此称号，故D正确．
故选：AD．
12．ABC
【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及分位数的意义判断即得.
【详解】对于A，2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确；
对于B，2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为（亿元），B正确；
对于C，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为，C正确；
对于D，2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：
，而，所以该组数据的分位数为，D错误.
故选：ABC
13．
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】，，
，
故答案为：
14．
【分析】画出函数图象，数形结合，利用图象确定的范围，再结合对数的运算得到正确结果即可.
【详解】作出函数的图象，如下：
由图像可知，，
由，且，所以，
因为，所以，则，
又，所以，
所以取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于分段函数求方程根的个数问题，可采用数形结合，画出图象后，从图象上确定所求根的大致范围，再结合对数的运算求解.
15．
【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.
【详解】设男生的平均身高为，则根据题目条件知，
即，所以.
故答案为：.
16．
【分析】根据题意可知，甲抽中的前三题按题型概率不同有四种组合，可用组合数依次计算每种组合的概率，然后根据每种组合中每题是否答对为独立事件，,可依次计算每种组合下全部答对的概率，最后相加即可.
【详解】甲抽中前三题按题型概率不同有四种组合：
抽中，剩余一题为三题中的任意一题，且全部答对，则概率为：
；
抽中，且全部答对，则概率为：
；
抽中A，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：
；
抽中B，剩余两题为中的任意两题，且全部答对，则概率为：
.
所以甲前3个题全答对的概率为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由指数函数的定义求出，再利用指数函数单调性解不等式.
（2）由求出函数解析式，换元转化成二次函数，可求定义区间内的值域.
【详解】（1）由指数函数定义，得，而且且，
解得，则，
不等式，即，
而函数在R上递增，因此，即，
则，解得，所以原不等式的解集为.
（2），
当，令，则，所以，，
由二次函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
，，
函数在区间上的值域为.
18．(1)；
(2)递减区间是，递增区间是；
(3).
【分析】（1）利用对数函数的定义列出不等式，求解即得.
（2）利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出单调区间.
（3）判断函数的奇偶性，借助奇偶性、单调性脱去法则求解不等式.
【详解】（1）函数中，由，解得，
所以的定义域为.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减，
所以的递减区间是，递增区间是.
（3）由，得函数为偶函数，
由（2）知，在上单调递增，则，
因此，即，解得，
所以原不等式的解集是．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先有，其次利用单调性的定义结合作差法即可得证；
（2）首先，其次由题意可得，且，解不等式组即可求解.
【详解】（1）当时，，
任取，且，
则
，
因为，
所以，
所以，
即，
由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.
（2）因为，
所以函数必有一个零点
又因为在区间内有2个零点，
所以，且，
解得，且，
所以实数的取值范围为
20．(1)答案见解析
(2)0.47
(3)2000
【分析】（1）根据小矩形面积为各组频率求出频率列表即可；
（2）数据落在中的概率即为之间矩形面积之和；
（3）根据分层抽样的比例关系即可得到答案.
【详解】（1）根据频率分布直方图可知，频率=组距（频率/组距），故可得下表
分组 频率
0.05
0.20
0.28
0.30
0.15
0.02
（2），所以数据落在中的概率约为0.47.
（3）设水库中鱼的总条数约为条，则，
即，所以水库中鱼的总条数约为2000条.
21．(1)；
(2)84；
(3)，.
【分析】（1）利用每组小矩形的面积之和为1即可求得a的值.
（2）利用频率分布直方图结合第75百分位数的求法即可求得答案.
（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；根据由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差.
【详解】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，
所以.
（2）成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
显然第75百分位数，由，解得，
所以第75百分位数为84.
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以；
由样本方差计算总体方差公式，得总方差为.
答案第1页，共2页
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