2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.10 分式的阅读类问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
(3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值．
2．请认真阅读并完成相应任务：
化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以为________．
以下是小颖同学进行求解的部分过程：
解： ……第一步 ……第二步 ……………………第三步． …………………………………………第四步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步是进行________运算，依据是________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出一个“”可以代表的式子为________．
3．阅读材料：
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 ．
②求证．
(2)已知，，且，求的值．
4．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知
(1)求的值．
(2)求的值．
5．阅读材料：
已知，求的值．
解：设，则，，．（第一步）
所以．（第二步）
(1)回答下列问题：
①第一步运用了_______的基本性质；
②第二步的解题过程运用了_____的方法，由得利用了______性质．
(2)模仿材料解题：已知，求的值．
6．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
7．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题
(1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式化为带分式的形式；
(3)如果分式的值为整数，求整数x的值．
8．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：知，所以，即．
所以；
故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：，求：
(1)的值；
(2)的值．
9．阅读材料：
分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：
(1)分式（）的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
10．阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
11．先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
12．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为： ；
(2)若在方程中，设，则原方程可化为： ；
(3)模仿上述换元法解方程：．
13．[阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”（即的关联因式是）．
例如：与，因为，
所以是的“关联分式”．
【解决问题】
（1）______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”是．则．
所以．所以，即的“关联分式”是．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
【拓展延伸】
（3）观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：______．
14．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解，
∴当时，，解得；
当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：．
15．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：已知，且，求的值．
解：令，则，，，
∴．
任务：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024年数学七年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.10 分式的阅读类问题专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．阅读材料：
在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，
如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
① ；② ；
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
(3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值．
【答案】(1)，；(2)3(3)18或12
【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①；
②．
故答案为：①；②
（2）解：，
，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当时，分母的值越大，分式的值越小，
当时，，
即当时，分式有最大值，最大值为3．
（3）解：，，，
，
、均为非零整数，
当时，，此时，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上所述，的值为18或12．
2．请认真阅读并完成相应任务：
化简的最终结果为整数，则“”代表的式子可以为________．
以下是小颖同学进行求解的部分过程：
解： ……第一步 ……第二步 ……………………第三步． …………………………………………第四步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第一步是进行________运算，依据是________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出一个“”可以代表的式子为________．
【答案】（1）任务一：①通分，分式的性质；②二，分子去括号，常数项没有乘2；任务二：
【详解】解：）任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是分子去括号，常数项没有乘2；
故答案为：①通分，分式的性质；②二，分子去括号，常数项没有乘2；
任务二：
．
∵是整数，
∴“”可以代表的式子为，
故答案为：．
3．阅读材料：
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式
问题解决：
(1)已知．
①代数式的值为 ．
②求证．
(2)已知，，且，求的值．
【答案】(1)①1；②见解析(2)0
【详解】（1）解：①∵，
∴
=
=
=
=1；
故答案为：1
②证明：∵，
∴，
∴
=
=
=
=
=1；
（2）解：，且，
，
，
同理可得：，，
．
4．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知
(1)求的值．
(2)求的值．
【答案】(1)5(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）对取倒数为，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
5．阅读材料：
已知，求的值．
解：设，则，，．（第一步）
所以．（第二步）
(1)回答下列问题：
①第一步运用了_______的基本性质；
②第二步的解题过程运用了_____的方法，由得利用了______性质．
(2)模仿材料解题：已知，求的值．
【答案】(1)等式，代入消元，分式；(2)；
【详解】（1）解：由题意可得，
第一步运用了等式的基本性质，第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由得利用了分式的性质，
故答案为：等式，代入消元，分式；
（2）解：设，则：，，，
∴．
6．阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”． 如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”．
(1)若分式，，判段Ａ与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”k．
(2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”．
①________（用含x的式子表示）；
②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于________．
(3)若分式，（a，b为整数且），E是F的“关联分式”，且“关联值”，求c的值．
【答案】(1)是，(2)①－3x－6；②1(3)6或22
【详解】（1）解：，，
，
与互为“关联分式”， “关联值”；
（2）解：①，，
，
与互为“关联分式”，且“关联值” ，
，
，
②，
分式的值为正整数．
或，此时的值为1或，
为正整数，
的值为1．
（3）解：∵，，E是F的“关联分式”，且“关联值”，
∴
∵
∴
∴
∴
∵a，b为整数
∴当时，
当时，则
∵a，b为整数
∴，或，，
∴．
综上，c的值为6或22．
7．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题
(1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
(2)把假分式化为带分式的形式；
(3)如果分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1)真(2)(3)，，，．
【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真．
（2）解：∵，
故答案为：．
（3）解：，
∵的值为整数，的值也是整数，
故的值为：，，，，
∴的值为：，，，．
故答案为：，，，．
8．阅读下面的解题过程：
已知：，求的值．
解：知，所以，即．
所以；
故的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：
已知：，求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由知
∴，即；
∴；
（2）解：∵
；
∴．
9．阅读材料：
分式（）的最大值是多少？
解：，
∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是．
∴的最大值是．∴（）的最大值是．
解决问题：
(1)分式（）的最大值是 ；
(2)求分式的最大值；
(3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值．
【答案】(1)9(2)7(3)4，6，8
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为8，
∴的最大值为9，
即：分式（）的最大值是9，
故答案为：9；
（2）由题意可知，，
∵，
∴，即：的最小值为1，
∴的最大值为3，
∴的最大值为7，
即：分式的最大值是7；
（3）由题意可知，，
∵分式（）的值为整数，且为整数，
∴的值为整数，，
∵，
∴的值为，1，3，
∴的值为4，6，8．
10．阅读下列材料，回答问题：爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知，，求证：．
证明：令，，其中，，
作差得：
∵，
∴，，
∴
所以：．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)已知，求证：；
(2)已知，试比较代数式与的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：令，，其中，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
11．先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
阅读材料二：
在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
(1)根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是________；
(2)根据材料二将分式分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式________________，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是________；
(3)利上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】（1）解：根据上面材料一的规律，可知 x的方程的解是，，
故答案为：，；
（2）根据材料二：
，
，即，
，，
，
故答案为：，；
（3），
，即，
，，
解得：．
12．阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
(1)若在方程中，设，则原方程可化为： ；
(2)若在方程中，设，则原方程可化为： ；
(3)模仿上述换元法解方程：．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：将代入原方程，则原方程化为；
故答案为：；
（2）将代入方程，则原方程可化为；
故答案为：；
（3）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘得：，
解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：；
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解为．
13．[阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”（即的关联因式是）．
例如：与，因为，
所以是的“关联分式”．
【解决问题】
（1）______的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）和谐小组成员在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
解：设的“关联分式”是．则．
所以．所以，即的“关联分式”是．
请你仿照和谐小组成员的方法求分式的“关联分式”．
【拓展延伸】
（3）观察（1）（2）的结果，寻找规律直接写出分式的“关联分式”：______．
【答案】（1）是；（2）；（3）
【详解】解：（1）∵，
，
∴是的“关联分式”．
故答案为：是；
（2）设的关联分式是N，则：
，
∴，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知：的关联分式为：．
故答案为：．
14．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解，
∴当时，，解得；
当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：．
【答案】(1) 或(2)
【详解】（1）解：设，则原方程可化为：，
方程两边同时乘以y得：， 解得：或，
经检验：或都是方程的解，
当时，，解得，
当时，，解得，
经检验：和都是原分式方程的解，
故答案为： 或；
（2）原方程化为：，
设， 则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解，
当时，，该方程无解，
当时，，解得，
经检验：是原分式方程的解，
原分式方程的解．
15．阅读与思考
阅读下列材料，并完成相应的任务：
在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，即，
∴，
∴．
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：已知，且，求的值．
解：令，则，，，
∴．
任务：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)4(2)8
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴，即．
∴．
（2）设．则，，，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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