第4课时——平行线的判定与平移
知识点一：判定的判定：
1．同位角判定：
两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成 同位角相等，两直线平行
2．内错角判定：
两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成内错角相等，两直线平行
3．同旁内角判定：
两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成 同旁内角互补，两直线平行
4．平行公理判定：
平行于同一直线的两直线平行
5．垂直判定：
垂直于同一直线的两直线平行
【类型一：判定条件的确定】
1．如图，点在的延长线上，下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定的是( )
A． B． C． D．
3．如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，下列推理正确的是（ ）
A．因为∠1＝∠3，所以AB∥CD B．因为∠1＝∠3，所以AE∥CF
C．因为∠2＝∠4，所以AB∥CD D．因为∠4＝∠2，所以AE∥CF
5．如图，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【类型二：平行线的证明】
6．如图，点G在CD上，已知∠BAG＋∠AGD＝180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC，请说明//的理由．
解：因为∠BAG＋∠AGD＝180°（____________），
∠AGC＋∠AGD＝180°（____________），
所以∠BAG＝∠AGC（____________）．
因为AE平分∠BAG，
所以______（____________）．
因为GF平分∠AGC，
所以______，
得∠1＝∠2（____________），
所以//（____________）．
7．〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵ （ ）
∴ （ ）
∴ （ ）
∵
∴
∴ （ ）
8．如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．请填空．
证明：∵（已知）
∴（ ）
又∵（ ）
∴ （ ）
∴（ ）
∴（ ）
又∵ （平角的定义）
∴（ ）°
又∵（已知）
∴（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
9．完成下列推理过程：如图，已知，，求证：．
10．如图，点E、F分别是上的点，连接，分别交于点G、H，若，，求证：．
11．如图，直线分别交直线于点平分交于点G．若，求证：．
【类型三：平行线的判定与性质】
12．如图，，．
(1)求证：；
(2)若，，则的度数为______．
13．如图，已知．
(1)求证：；
(2)若平分，于点A，，求的度数．
14．如图，已知点D是中边上的一点，于点E，，．求证：
15．如图，点B，C在线段的异侧，点E，F分别是线段，上的点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的度数．
知识点二：平移：
1．平移的定义：
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的 平行移动 ，叫做平移变换，简称 平移 。平移前后的点叫做 对应点 ，平移前后的角叫做 对应角 ，平移前后的边叫做 对应边 。
2．平移要素：
平移 方向 与平移 距离 为平移要素
3．平移作图：
具体步骤：
①确定平移条件。即 平移方向 与 平移距离
②找出图中的关键点按照平移条件进行平移，得到平移前后的 对应点
③将平移后的对应点按照原图形进行连接
4．平移的性质：
①平移前后图形的形状大小 不变
②对应角 相等 ，对应边 平行且相等
③连接各组对应点的线段 平行且相等
【类型一：判断生活中的平移现象】
16．2022北京冬奥会吉祥物冰墩墩成了网红．通过平移左图吉祥物冰墩墩可以得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
17．下列生活现象中，属于平移的是（ ）
A．升降电梯的上下移动 B．荡秋千运动
C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动
18．下面生活现象中，物体的运动情况可以看成平移的是（ ）
A．时钟摆动的钟摆 B．在笔直的公路上行驶的汽车
C．体温计中水银柱的上升 D．汽车玻璃窗上雨刷的运动
19．下列运动属于平移的是（ ）
A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．投篮时的篮球运动
C．小华乘手扶电梯从一楼到二楼 D．随风飘动的树叶在空中的运动
【类型二：平移性质的应用】
20．如图，经过平移得到，连接，若cm，则点A与点A'之间的距离为 cm．
21．如图，经过水平向右平移得到，若，则平移距离是( )
A． B． C． D．
22．如图，沿直角边所在的直线向下平移得到，下列结论中不一定正确的（ ）
A． B． C． D．
23．如图，将沿斜边的方向平移到的位置，交于点G．若，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．18 B．15 C．13.5 D．12
24．如图，将长为5cm，宽为3cm的长方形先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
【类型二：平移作图】
25．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每一个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
(1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到，请在坐标系中作出；
(2)求四边形的面积．
26．已知在方格纸中，每个小格均为边长是1个单位长度的正方形，的位置如图所示，请按照要求完成下列各题：
(1)将先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到，请画出．
(2)连接，直接写出四边形的面积： ．
27．如图，在网格图中，平移使点A平移到点D．
(1)画出平移后的；
(2)在（1）的条件下，求线段扫过的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
B．根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
C．根据内错角相等，两直线平行可判定，无法判定，故此选项符合题意；
D．根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据平行线的判定方法，对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A．，，可判定，不符合题意；
B．，，∴，可判定，不符合题意；
C．，不能判定，符合题意；
D．，能判定，不符合题意．
故选：C
【点睛】此题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
3．A
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】A.∵，∴∠3=180 -∠2=62 =∠1，∴能判定，此选项正确；
B.∵，∴∠3=180 -∠4=52 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
D.∵，∴∠3=∠28 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
4．D
【分析】根据平行线的判定定理，四个选项中涉及两组角，和与和，和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，所以得不到平行；是同位角，可得出AE∥CF．
【详解】解：和既不是同位角、内错角，也不是同旁内角，所以得不到直线的平行关系，
∴A、B选项错误；
和是同位角关系，
∵
∴AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
∴C选项错误，D选项正确，
故选：D．
【点睛】题目主要考查平行线的判定定理，正确识别同位角、内错角、同旁内角是解题关键．
5．D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判断，选项错误；
B、，可以判断，不能判断，选项错误；
C、，可以判断，不能判断，选项错误；
D、，可以判断，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．
6．已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判定//．
【详解】因为∠BAG＋∠AGD＝180°（已知 ），
∠AGC＋∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．
因为AE平分∠BAG，
所以∠BAG（角平分线的定义）．
因为GF平分∠AGC，
所以∠AGC，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以//（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记内错角相等，两直线平行是解题的关键．
7．已知，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，，，，同旁内角互补，两直线平行
【分析】由内错角相等，两直线平行可判断，再由平行线的性质可得，最后由同旁内角互补，两直线平行判断即可．
【详解】证明：∵ （已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，，内错角相等，两直线平行，，两直线平行，同旁内角互补，，，，同旁内角互补，两直线平行
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的判定与性质定理的综合运用．
8．垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；等量代换；．
【分析】根据垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定填空即可．
【详解】证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
又∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换），
又∵（平角的定义），
∴90°，
又∵（已知），
∴（等式的性质），
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；等量代换；．
【点睛】本题考查了垂直的定义，平角的定义，等式的性质，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
9．证明见解析
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：，，，，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的判定，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
10．见解析
【分析】根据平行线的判定和性质进行解答即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等，熟练掌握同位角相等两直线平行，和内错角相等两直线平行，是解题的关键．
11．证明见解析
【分析】由角平分线的定义可得，由平角的定义结合可得，最后根据内错角相等两直线平行即可解答．
【详解】
证明：∵平分交于点G，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定、角平分线的定义等知识点，掌握“内错角相等两直线平行”是解答本题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得出，结合已知条件即可得出，又，等量代换得出，即可得证；
（2）根据得出，根据，得出，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质求角度，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解；
（2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵于E，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础．
14．证明见解析
【分析】根据平行线的判定方法可得，由平行线的性质即可得出，再根据，即可得到，进而判定．
【详解】
证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时要注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即可得解；
（3）根据平行线的性质和已知得出，最后根据平行线的性质即可求得．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
16．B
【分析】根据平移的性质即可得到答案．
【详解】解：
A．不是平移后的图形，不符合题意，
B．是平移后的图形，符合题意，
C．不是平移后的图形，不符合题意，
D．不是平移后的图形，不符合题意．
故选：B
【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形沿某一直线方向移动，得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，各个部分的方向不会改变．
17．A
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、升降电梯的上下移动符合平移的定义，属于平移，故本选项正确；
B、荡秋千运动，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
C、把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误；
D、钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而选择错误．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
18．B
【分析】根据平移的性质，对题目中的条件进行一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、时钟摆动的钟摆不是平移，错误，不符合题意；
B、在笔直的公路上行驶的汽车是平移，正确，符合题意；
C、体温计中水银柱的上升不是平移，错误，不符合题意；
D、汽车玻璃窗上雨刷的运动不是平移，错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】根据平移的性质，平移变换不改变图形的形状、大小和方向．注意联系实际生活进行解题．
19．C
【分析】在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离叫做平移．平移后图形的位置改变，形状、大小不变．根据平移的定义判断即可．
【详解】解：A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，不是平移，故选项不符合题意；
B．投篮时的篮球运动，不是平移，故选项不符合题意；
C．小华乘手扶电梯从一楼到二楼属于平移，，故选项正确，符合题意；
D．随风飘动的树叶在空中的运动，不是平移，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了平移，掌握其意义是解决此题的关键．
20．
【分析】利用平移的性质解题即可．
【详解】解：∵经过平移得到， cm,
∴cm,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21．B
【分析】根据平移的性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵
，
，
，
．
∴平移距离是
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
22．B
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：沿直线边所在的直线向下平移得到，
，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
23．B
【分析】由平移可得，AB=DE=6，BC=EF=9，AB∥DE，易证△ABC∽△DGC，求得DG，GC，GE的值，阴影部分是梯形，代入面积公式求得即可．
【详解】由平移可得，AB=DE=6，BC=EF=9，AB∥DE，∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DGC，
∴，
∵DC=2AD，
∴，
∴，
∴DG=4，GC=6，
∴GE=DE-DG=2，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定和性质，熟记各个性质和梯形面积公式是解题的关键．
24．6
【分析】根据平移的性质可知阴影部分是长方形，再求出其长和宽，结合长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由平移的性质可知阴影部分是长方形，且长为，宽为，
∴阴影部分的面积．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质判断出阴影部分是长方形，且能够正确求出其长和宽是解题关键．
25．(1)见解析
(2)9
【分析】(1)根据平移方式找到的对应点，顺次连接，即为所求；
(2)根据题意，连接，根据四边形的面积,结合网格，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）四边形的面积为：．
【点睛】本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）根据四边形的面积=得出答案．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）四边形的面积．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
27．(1)见解析
(2)28
【分析】（1）根据点A与点D的位置，即可得平移的方式，据此即可画出图形；
（2）用如图所示的长方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）
解：由图可知：把点A向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得点D，
故把向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得，
如图所示：
（2）解：线段扫过的面积为：
．
【点睛】本题考查了平移作图和求不规则图形的面积，熟练掌握和运用平移作图和求不规则图形的面积的方法是解决本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
