6.2 向量基本定理与向量的坐标同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量不能作为一个基底的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．已知向量不共线，则向量与共线时，实数（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．
5．如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．设直线的方向向量为，的法向量为，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知向量，，则与（ ）
A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行
二、多选题
9．如图，已知长方形中，，则（ ）
A．的最小值为2
B．当时，与的夹角余弦值为
C．当时，
D．对任意的
10．在平行四边形中，与交于点为的中点，与交于点，延长交于，则 （ ）
A．为三角形的外心 B．
C． D．
11．在中，，D为线段AB上靠近A端的三等分点，E为线段CD的中点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．与的夹角的余弦值为
C．的面积为6 D．
12．已知向量，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B．
C． D．与的夹角为
三、填空题
13．四边形ABCD中，，且，若，则 ．
14．在等腰梯形中，，，，，则 ．（用向量，表示）
15．已知平面向量，，若与共线，则实数 ．
16．向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 ．
四、解答题
17．已知点G为三条中线的交点．
(1)求证:
(2)若点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，求证:
(3)过G作直线与AB，AC两条边分别交于点M，N，设，，求的最小值．
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，．
(1)求的坐标；
(2)已知，且，求的值．
19．平面内给出三个向量，求解下列问题:
(1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标;
(2)设向量与向量夹角为，求的值;
(3)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围.
20．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标．
21．如图，在菱形中，，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求．
(3)若菱形的边长为6，求的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据向量坐标进行数量积、共线、垂直和模长计算即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
2．C
【分析】由基底的定义结合向量共线定理判断即可.
【详解】因为表示平面内所有向量的一个基底，即与不共线，
对于A：显然不存在实数使得，所以与不共线，故可以作为一组基底；
对于B：若，则，
显然方程无解，所以与不共线，
故可以作为一组基底；
对于C：因为，
所以与共线，故不能作为一组基底；
对于D：若，则，
显然方程无解，所以与不共线，故可以作为一组基底.
故选：C
3．B
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，列式计算即得.
【详解】由向量不共线，得向量，
由向量与共线，得，
于是，所以.
故选：B
4．C
【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.
【详解】由点是的重心，，，
故，
由、、三点共线，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：C.
5．A
【分析】先由三点共线得到，再由平行四边形定则结合图形关系得到边长关系，最后计算结果即可.
【详解】因为三点共线，且，
所以，
过作的平行线，分别交于，
则，
又，的平分线交于点，
所以，为正三角形，
所以，
故选：A.
6．D
【分析】利用向量的坐标表示求解即可.
【详解】∵,∴,解得,
∴点的坐标是.
故选：D.
7．A
【分析】利用向量的垂直关系，结合充分、必要条件即可求解
【详解】设直线的方向向量为，的法向量为，
则当时，，，所以；
当，则，解得或，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
8．C
【分析】根据平面向量的坐标关系得出，由此可得出结论.
【详解】向量，，，因此，与平行且反向.
故选：C.
【点睛】本题考查平面向量共线的判断，属于基础题.
9．AC
【分析】根据给定条件，以为坐标原点建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量的坐标运算逐项计算判断即得.
【详解】以为坐标原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则.
对于A，显然，
则，当，即时，取得最小值2，A正确；
对于B，当时，与的夹角余弦值为
，B错误；
对于C，当时，，而，C正确；
对于D，，当时，取得最小值，
当或1时，的值为1，所以对任意的，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】由与相似，为的中点，可知，所以点为三角形的重心，判断出A错误；由重心得到为的中点，所以，判断出B正确；由平面向量的基本定理判断出C，D正确.
【详解】在三角形中，为的中点，又与相似，
可得：，故点为三角形的重心，故A错误；
由于点为三角形的重心，延长交于，则为的中点，
所以，故B正确；
，，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD.
11．AD
【分析】利用向量线性运算直接判断A；建立坐标系，利用向量夹角的坐标运算求解判断B；计算的面积判断C；由向量数量积坐标运算计算判断D．
【详解】对于A，依题意，， A正确；
以A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则，
对于B，，则，
即与夹角的余弦值为，B错误；
对于C，的面积，C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：AD
12．ACD
【分析】根据投影向量的公式求出的值，再根据向量坐标运算逐项判断即可.
【详解】对于A，因为在上的投影向量为，即，
所以，即，解得，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，所以与的夹角为，故D正确.
故选：ACD.
13．2
【分析】由题设可得且，利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.
【详解】如图，由可得且，
易得,则有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案为：2.
14．
【分析】如图，由，即可得解.
【详解】
如图，
.
故答案为：
15．
【分析】先计算出两向量的坐标表示和，再根据它们共线解出的值.
【详解】由题意可得，因为与共线，所以，解得.
故答案为：.
16．.
【分析】利用平面向量基本定理将分别按照和为基底展开，对照系数列出方程组求解即得.
【详解】依题意， ①，
选择平面的基底为时，不妨设，则 ②，
将① 式与②式对照即得：，解得
即向量在基底下的坐标为.
故答案为：.
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论推理即得.
（2）利用（1）的结论，结合向量的减法法则推理即得.
（3）由（1）的信息，结合共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】（1）令分别为的边上的中线，则，
由点在上，得，显然，则，即，
又点共线，于是，解得，则，
因此，
所以.
（2）由（1）知，，而点为所在平面内任意一点(不与点G重合)，
因此，即，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，又点共线，则，即，
于是，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）根据两个向量平行，向量的模长公式，列出方程组求解；
（2）先判断出三点共线，然后根据（1）中的结果进行分类讨论求解.
【详解】（1）设，由可知，，
又，，由可得，
即，于是，解得或，
即或
（2）根据三角形的三边关系可知，若三点不共线，则和条件矛盾，
故三点共线，且在射线或上.
，
由（1）知，当时，根据三点共线可得，，
解得，此时，在线段上，不符题意；
当时，根据三点共线可得，，
解得，此时，在射线上，符合题意.
综上，
19．(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）根据投影向量坐标公式计算即可；
（2）根据向量夹角坐标公式计算即可；
（3）根据与的夹角为锐角，得到，且与不同向共线，然后列不等式求解即可.
【详解】（1）向量在向量方向上的投影向量为；
（2）由，
得 ，
所以；
（3）若向量与向量的夹角为锐角，
则，
，得，
若向量，则，得，
所以且
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三点共线，得，即可列等量关系求解，
（2）根据坐标运算即可求解，
（3）根据向量相等即可列方程求解.
【详解】（1）.
因为三点共线，所以存在实数，使得，
即，得.
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以解得
（2）
（3）因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以.
设，则，
因为，所以，
解得，即点的坐标为．
21．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）利用已知条件求出，然后求解，即可．
（2）利用已知向量，表示数量积的向量，然后求解即可．
（3）利用向量的数量积可得，结合三角函数的有界性，求解即可．
【详解】（1）因为，，
所以，又，
所以，，
故．
（2），
为菱形，
，即．
（3）
，，
的取值范围：．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
