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第四章 图形的性质 第24节直角三角形
中考一轮复习 通用版
知识梳理
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a2＋b2＝c2；
∠A＋∠B＝90°；
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考点突破
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考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
【考点】解直角三角形．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用三角形的边角间关系得结论．
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
完成【备考2024】数学中考一轮复习配套练习第22节 直角三角形与解直角三角形
27世纪教音
HKKSIEO3XE80
【备考2024】数学中考一轮复习配套练习第22节
直角三角形与解直角三角形
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
（2023年天津市）的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
（2023年江苏省扬州市）在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是（ ）
A．1 B．2 C．6 D．8
（2022年河北省）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d＝，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．三人答案合在一起才完整
（2023年山东省济宁市）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（ ）
A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α
（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
（2023年湖南省益阳市）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（ ）
A． B． C． D．
（2023年四川省泸州市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
（2023年北京市）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c，
②a+b＞，
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
（2023年内蒙古呼和浩特市）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（ ）
A．13 B． C．8 D．
（2023年辽宁省盘锦市）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
1 、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
（2023年山东省菏泽市）计算：|﹣2|+2sin60°﹣20230＝ ．
（2022年湖南省郴州市）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点，分别以点D，E为圆心，以大于DE长为半径作弧，在∠BAC内两弧相交于点P，作射线AP交BC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G．若AB＝8cm，则△BFG的周长等于 cm．
（2023年吉林省）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC．点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 ．
（2023年湖北省荆州市）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD＝5，则DE＝ ．
（2023年江苏省扬州市）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为 ．
（2023年江苏省南通市）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，m是大于1的奇数，则b＝ （用含m的式子表示）．
（2023年四川省凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝ ．
（2023年四川省德阳市）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．
1 、解答题（本大题共8小题，共78分）
（2023年四川省内江市）计算：（﹣1）2023+（）﹣2+3tan30°﹣（3﹣π）0+|﹣2|．
（2023年甘肃省兰州市）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）
（2023年黑龙江省牡丹江市）在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，D为AB的中点，以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE，∠DCE＝90°，且点E与点A在CD的同侧，请用尺规或三角板作出符合条件的图形，并直接写出线段AE的长．
（2023年浙江省温州市）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形，
（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．
（2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE，
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（2023年浙江省金华市）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格，在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在CB上取点P1，使CP1＝4． ∠P1OA＝45°，点P1表示45°．
②以O为圆心，8为半径作弧，与BC交于点P2． ∠P2OA＝30°，点P2表示30°．
③分别以O，P2为圆心，大于OP2长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连接EF与BC相交于点P3． …
④以P2为圆心，OP2的长为半径作弧，与射线CB交于点D，连结OD交AB于点P4． …
（1）分别求点P3，P4表示的度数．
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5，使该点表示37.5°（保留作图痕迹，不写作法）．
（2023年山东省青岛市）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，DE＝1.5m，EC＝5m．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°．此时点A．B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽AB的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）
（2023年广东省）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒．
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形，
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：（1）直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系，
（2）证明（1）中你发现的结论．
答案解析
1 、选择题
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
解：原式＝+
＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【考点】解直角三角形，三角形的高，三角形三边关系．
【分析】作△ABC的高AD、CE．根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出BC＞BD，AB＞BE．解直角三角形求出2＜BC＜8，即可求解．
解：如图，作△ABC的高AD、CE．
∵△ABC是锐角三角形，
∴AD、CE在△ABC的内部，即BC＞BD，AB＞BE．
∵在直角△ABD中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BD＝AB cosB＝4×＝2，
∴BC＞2，
又∵BC＝＜＝＝8，
∴2＜BC＜8，
∴综观各选项，BC可以为6．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高，三角形的三边关系，得出BC的范围是解题的关键．
【考点】等腰直角三角形；三角形三边关系．
【分析】由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，分这两种情况求解即可．
解：由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC，
①当CA⊥BA时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴AC＝BC sin45°＝2×＝，
即此时d＝，
②当CA＝BC时，
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴此时AC＝2，
即d≥2，
综上，当d＝或d≥2时能作出唯一一个△ABC，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键．
【考点】勾股定理的逆定理，勾股定理．
【分析】过B点作BG∥CD，连接EG，根据平行线的性质得出∠ABG＝∠CFB＝α．根据勾股定理求出BG2＝17，BE2＝17，EG2＝34，那么BG2+BE2＝EG2，根据勾股定理的逆定理得出∠GBE＝90°，进而求出∠ABE的度数．
解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG，
∵BG∥CD，
∴∠ABG＝∠CFB＝α．
∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34，
∴BG2+BE2＝EG2，
∴△BEG是直角三角形，
∴∠GBE＝90°，
∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，平行线的性质，准确作出辅助线是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，角平分线的性质，勾股定理．
【分析】由角平分线的性质定理推出CD＝MD，由勾股定理求出AC的长，由△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，得到AC BC＝AC CD+AB MD，因此4×3＝4CD+5CD，即可求出CD的长，得到DB的长．
解：作DM⊥AB于M，
由题意知AD平分∠BAC，
∵DC⊥AC，
∴CD＝DM，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∵△ABC的面积＝△ACD的面积+△ABD的面积，
∴AC BC＝AC CD+AB MD，
∴4×3＝4CD+5CD，
∴CD＝，
∴BD＝BC﹣CD＝3﹣＝．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图—基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到CD＝MD，由三角形面积公式得到AC BC＝AC CD+AB MD．
【考点】解直角三角形，坐标与图形性质．
【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D，计算出CD、AC的长，根据正弦计算方法计算即可．
解：过C作CD⊥AB交AB延长线于D，
∵A（0，1），B（4，1），C（5，6），
∴D（5，1），
∴CD＝6﹣1＝5，AD＝5，
∴AC＝5，
∴sin∠BAC＝＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
【考点】勾股数．
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m，n进行验证、辨别．
解：∵当m＝3，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（32﹣12）＝4，b＝mn＝3×1＝3，c＝（m2+n2）＝×（32+12）＝5，
∴选项A不符合题意，
∵当m＝5，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（52﹣12）＝12，b＝mn＝5×1＝5，c＝（m2+n2）＝×（52+12）＝13，
∴选项B不符合题意，
∵当m＝7，n＝1时，
a＝（m2﹣n2）＝（72﹣12）＝24，b＝mn＝7×1＝7，c＝（m2+n2）＝×（72+12）＝25，
∴选项D不符合题意，
∵没有符合条件的m，n使a，b，c各为6，8，10，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
【考点】三角形三边的关系，全等三角形的性质，勾股定理
【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可，
②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答，
③将c用a和b表示出来，再进行比较．
解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F，过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理
【分析】依据题意，连接BP，然后先证明△BMP≌△CNP，从而CN＝BP＝1，又由等腰Rt△ABC可得BC＝4，从而在Rt△MBN中可以求得MN，又MP＝NP，从而可得MN的值，进而可以得解．
解：如图连接BP．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，点P为AC边上的中点，
∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP＝∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CP＝AC＝2．
∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°．
∵BP⊥AC，PM⊥PN，
∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°．
∴∠BPM＝∠CPN．
又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP，
∴△BMP≌△CNP（ASA）．
∴BM＝CN＝1，MP＝NP．
在Rt△BPC中，BC＝＝4．
∴在Rt△MBN中，MN＝＝＝．
又在Rt△MPN中，MP＝NP，
∴MP2+NP2＝MN2．
∴MP＝NP＝．
∴S△PMN＝MP NP＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
【考点】轴对称﹣最短路线问题，三角形中位线定理，矩形的性质．
【分析】根据三角形的中位线可得AM＝BP，DN＝，转化所求最值为（PB+PC）再依据将军饮马模型解答即可．
解：∵点M，N分别是PB，PC的中点，
∴AM＝BP，DN＝PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴ME＝ND，
∴AM+ME＝AM+DN＝（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值．
找到点C关于直线AD对称点M，连接PM、BM．
BP+PC＝BP+PM，
当点BPM三点共线时，BP+PM的最小值就是BM，
在Rt△BCM中，BC＝AD＝4，MC＝2CD＝2，
BM＝＝＝6，
∴AM+ME的最小值＝BM＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称最短路径问题以及三角形中位线性质，转化所求最值是本题的关键．
1 、填空题
【考点】实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：|﹣2|+2sin60°﹣20230
＝2﹣+2×﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【考点】作图—基本作图，角平分线的性质，等腰直角三角形．
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC＝AG，即可得出答案．
解：在△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴FC⊥AC，
∵FG⊥AB，
由作图方法可得：AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAF，FC＝FG，
在Rt△ACF和Rt△AGF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AG，
∵AC＝BC，
∴AG＝BC，
∴△BFG的周长＝GF+BF+BG＝CF+BF+BG＝BC+BG＝AG+BG＝AB＝8cm．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
【考点】翻折变换（折叠问题），含30°角的直角三角形的性质
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E＝BE，＝2CE＝6即可求解．
解：∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B′，若点B′刚好落在边AC上，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC，∠CB'E＝30°，CE＝3，
∴B'E＝BE＝2CE＝6，
∴BC＝CE+BE＝3+6＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键．
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB＝2CD＝10，根据勾股定理得到BC＝＝6，根据三角形中位线定理即可得到结论．
解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，
∴BC＝＝6，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【考点】勾股定理的证明．
【分析】根据勾股定理可知a2+b2＝c2，再根据b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可计算出每个直角三角形的面积．
解：由图可得，
a2+b2＝c2，
∴且a、b均大于0，
解得，
∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×10＝60，
故答案为：60．
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
【考点】勾股数．
【分析】根据勾股数的定义解答即可．
解：∵a，b，c是勾股数，其中a，b均小于c，a＝m2﹣，，
∴b2＝c2﹣a2
＝（m2+）2﹣（m2﹣）2
＝m4++m2﹣（m4+﹣m2）
＝m4++m2﹣m4﹣+m2
＝m2，
∵m是大于1的奇数，
∴b＝m．
故答案为：m．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
【考点】翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线．
【分析】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°＝，可解得AC，从而可得答案．
解：设CA'交AB于O，如图：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tan30°＝，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系．
【考点】平面展开﹣最短路径问题，等边三角形的性质，勾股定理．
【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．
解：如图1，将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，
∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，
∴CM＝AC＝＝，
∴BM＝CM+BC＝3，
在Rt△MBB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，
则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，
在Rt△AME中，∠MAE＝60°，
∴ME＝AM sin60°＝×＝，
AE＝AM cos60°＝，
∴MF＝ME+EF＝+2＝，
B1F＝A1B1﹣A1F＝，
在Rt△MFB1中，由勾股定理得：
B1M＝＝，
如图3，连接B1M，交A1C1于点N，则B1M⊥AC，B1N⊥A1C1，
在Rt△A1NB1中，∠NA1B1＝60°，
∴NB1＝A1B1 sin60°＝3，
∴B1M＝NB1+MN＝5，
∵＜5＜，
∴小虫爬行的最短路程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了立体图形的展开图，两点之间距离最短，关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论．
1 、解答题
【考点】实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣1+4+3×﹣1+2﹣
＝﹣1+4+﹣1+2﹣
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】先在Rt△ABC中由AB＝18m，∠BAC＝38°得BC＝AB tan∠BAC＝14.04（m），再在Rt△ABD中由AB＝18m，∠BAD＝53°得BD＝AB tan∠BAD＝23.94m，然后由CD＝BD﹣BC即可得出答案．
解：在Rt△ABC中，AB＝18m，∠BAC＝38°，
∵，
∴BC＝AB tan∠BAC＝18tan38°＝18×0.78＝14.04（m），
在Rt△ABD中，AB＝18m，∠BAD＝53°，
∵，
∴BD＝AB tan∠BAD＝18tan53°＝18×1.33＝23.94（m），
∴CD＝BD﹣BC＝13.94﹣14.04＝9.9（m）．
答：“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义．
【考点】作图—复杂作图，含30度角的直角三角形，直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据等边三角形的性质作图，再根据勾股定理求解．
解：如图：Rt△CDE即为所求，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，
∴AC＝2，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
【考点】作图﹣旋转变换，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，作图﹣平移变换．
【分析】（1）跟进一下作出图形即可，
（2）作等腰直角三角形PQR，可得结论．
解：（1）图形如图1所示（答案不唯一），
（2）图形如图2所示．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握在旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可，
（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m，
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.4（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
【考点】勾股定理的逆定理，勾股定理．
【分析】（1）根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数，根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数，即可求出∠P3OA的度数，从而知道P3点表示度数，利用半径相等即可求出∠P2OD＝∠P2DO，再根据平行线的性质即可求出∠P2OD＝∠DOA，从而得P3表示度数，
（2）利用角平分线的性质作图即可求出答案．
解：①∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠OP2C＝∠P2OA＝30°，
由作图可知，EF是 OP2 的中垂线，
∴OP3＝P3P2，
∴∠P3OP2＝∠P3P2O＝30°，
∴∠P3OA＝∠P3OP2+∠P2OA＝60°，
∴点 P3 表示 60°，
②作图可知，P2D＝P2O，
∴∠P2OD＝∠P2DO，
∵CB∥OA，
∴∠P2DO＝∠DOA，
∴，
∴点P4表示 15°，
答：点P3表示60°，点P4表示15°，
（2）作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5，点P5即为所求作的点，如图：
∵点P3表示 60°，点P4表示 15°，
∴∠P3OP4＝60°﹣15°＝45°，
∴∠P3OP4+∠P4OA＝22.5°+15°＝37.5°，
∴P5 表示37.5°．
【点评】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，掌握用到的相关知识点．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，先证△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，四边形BHCF为矩形，△OBF为等腰直角三角形，设BF＝xm，则OF＝CH＝xm，EH＝BH＝（5﹣x） m，DH＝（6.5﹣x） m，然后在Rt△BDH中，利用tan∠BDH＝BH/DH得，由此解出x＝0.5，再利用勾股定理求出OB即可得AB的长．
解：过点B作BH⊥DC于点H，过点B作BF⊥OC于点F，如图，
依题意得：OC⊥DC，∠BDH＝37°，∠NEH＝45°，
又BH⊥DC
∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形，
∴EH＝BH，EC＝OC，
∵DE＝1.5m，EC＝5m，
∴OC＝EC＝5m，
∵BH⊥DC，BF⊥OC，OC⊥DC，
∴四边形BHCF为矩形，
∴BF＝CH，BH＝CF，BF∥CH，
∴∠OBF＝∠NEH＝45°，
∴△OBF为等腰直角三角形，
∴BF＝OF＝CH，
设BF＝xm，则OF＝CH＝xm，
∴EH＝BH＝EC﹣CH＝（5﹣x） m，
∴DH＝DE+EH＝1.5+5﹣x＝（6.5﹣x） m，
在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，
即：tan37°＝，
∴，
解得：x＝0.5，
检验后知道x＝0.5是原方程得根．
∴BF＝OF＝0.5（m），
在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得：OB＝≈0.5×≈0.5×1.41＝0.705（m），
∵点O为AB的中点，
∴AB＝2OB≈2×0.705≈1.4（m），
答：太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
【考点】正方形的性质，展开图折叠成几何体，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解，
（2）根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解．
解：（1）∠ABC＝∠A1B1C1，
（2）∵A1C1为正方形对角线，
∴∠A1B1C1＝45°，
设每个方格的边长为1，
则AB＝＝，
AC＝BC＝＝，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠A1B1C1．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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