(共24张PPT)
第四章 图形的性质 第24节直角三角形
中考一轮复习 通用版
知识梳理
知识梳理
知识梳理
知识梳理
知识梳理
a2+b2=c2;
∠A+∠B=90°;
知识梳理
知识梳理
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
【考点】解直角三角形.
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状,再利用三角形的边角间关系得结论.
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
考点突破
完成【备考2024】数学中考一轮复习配套练习第22节 直角三角形与解直角三角形
27世纪教音
HKKSIEO3XE80
【备考2024】数学中考一轮复习配套练习第22节
直角三角形与解直角三角形
姓名:__________班级:__________考号:__________总分__________
1 、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
(2023年天津市)的值等于( )
A.1 B. C. D.2
(2023年江苏省扬州市)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是( )
A.1 B.2 C.6 D.8
(2022年河北省)题目:“如图,∠B=45°,BC=2,在射线BM上取一点A,设AC=d,若对于d的一个数值,只能作出唯一一个△ABC,求d的取值范围.”对于其答案,甲答:d≥2,乙答:d=1.6,丙答:d=,则正确的是( )
A.只有甲答的对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.甲、乙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整
(2023年山东省济宁市)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°﹣α B.180°﹣2α C.90°+α D.90°+2α
(2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,则BD的长为( )
A. B. C. D.
(2023年湖南省益阳市)如图,在平面直角坐标系xOy中,有三点A(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC=( )
A. B. C. D.
(2023年四川省泸州市)《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25
(2023年北京市)如图,点A,B,C在同一条直线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线AC同侧,AB<BC,∠A=∠C=90°,△EAB≌△BCD,连接DE.设AB=a,BC=b,DE=c,给出下面三个结论:
①a+b<c,
②a+b>,
③(a+b)>c.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
(2023年内蒙古呼和浩特市)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,,点P为AC边上的中点,PM交AB的延长线于点M,PN交BC的延长线于点N,且PM⊥PN.若BM=1,则△PMN的面积为( )
A.13 B. C.8 D.
(2023年辽宁省盘锦市)如图,四边形ABCD是矩形,AB=,AD=4,点P是边AD上一点(不与点A,D重合),连接PB,PC,点M,N分别是PB,PC的中点,连接MN,AM,DN,点E在边AD上,ME∥DN,则AM+ME的最小值是( )
A.2 B.3 C.3 D.4
1 、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)
(2023年山东省菏泽市)计算:|﹣2|+2sin60°﹣20230= .
(2022年湖南省郴州市)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AB,AC于D,E两点,分别以点D,E为圆心,以大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P,作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8cm,则△BFG的周长等于 cm.
(2023年吉林省)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC<AC.点D,E分别在边AB,BC上,连接DE,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点B′,若点B′刚好落在边AC上,∠CB'E=30°,CE=3,则BC的长为 .
(2023年湖北省荆州市)如图,CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= .
(2023年江苏省扬州市)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c,若b﹣a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 .
(2023年江苏省南通市)勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,a=m2﹣,,m是大于1的奇数,则b= (用含m的式子表示).
(2023年四川省凉山州)如图,在Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,将△ACD沿CD折叠,当点A落在点A′处时,恰好CA′⊥AB,若BC=2,则CA′= .
(2023年四川省德阳市)如图,在底面为正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=2,AA1=2,点M为AC的中点,一只小虫从B1沿三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面爬行到M处,则小虫爬行的最短路程等于 .
1 、解答题(本大题共8小题,共78分)
(2023年四川省内江市)计算:(﹣1)2023+()﹣2+3tan30°﹣(3﹣π)0+|﹣2|.
(2023年甘肃省兰州市)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造,如巨龙腾空,气势如虹,屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动,具体过程如下,如图2,“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上,在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°,∠BAD=53°,AB=18m.求“龙”字雕塑CD的高度,(B,C,D三点共线,BD⊥AB,结果精确到0.1m)(参考数据:sin38°=0.62,cos38°=0.79,tan38°=0.78,sin53°=080,cos53°=0.60,tan53°=1.33)
(2023年黑龙江省牡丹江市)在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,BC=2,D为AB的中点,以CD为直角边作含30°角的Rt△CDE,∠DCE=90°,且点E与点A在CD的同侧,请用尺规或三角板作出符合条件的图形,并直接写出线段AE的长.
(2023年浙江省温州市)如图,在2×4的方格纸ABCD中,每个小方格的边长为1.已知格点P,请按要求画格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图1中画一个等腰三角形PEF,使底边长为,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形,
(2)在图2中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形.
(2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市)暑假期间,小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600m高的山峰,由山底A处先步行300m到达B处,再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处.已知点A,B,D,E,F在同一平面内,山坡AB的坡角为30°,缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计).
(1)求登山缆车上升的高度DE,
(2)若步行速度为30m/min,登山缆车的速度为60m/min,求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min).
(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
(2023年浙江省金华市)如图,为制作角度尺,将长为10,宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格,在该矩形边上取点P,来表示∠POA的度数,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法(如图) 结论
①在CB上取点P1,使CP1=4. ∠P1OA=45°,点P1表示45°.
②以O为圆心,8为半径作弧,与BC交于点P2. ∠P2OA=30°,点P2表示30°.
③分别以O,P2为圆心,大于OP2长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,连接EF与BC相交于点P3. …
④以P2为圆心,OP2的长为半径作弧,与射线CB交于点D,连结OD交AB于点P4. …
(1)分别求点P3,P4表示的度数.
(2)用直尺和圆规在该矩形的边上作点P5,使该点表示37.5°(保留作图痕迹,不写作法).
(2023年山东省青岛市)太阳能路灯的使用,既方便了人们夜间出行,又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图,太阳能电池板宽为AB,点O是AB的中点,OC是灯杆.地面上三点D,E与C在一条直线上,DE=1.5m,EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°,在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点A.B与E在一条直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.(结果精确到0.1m.参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,≈1.41)
(2023年广东省)综合与实践
主题:制作无盖正方体形纸盒.
素材:一张正方形纸板.
步骤1:如图1,将正方形纸板的边长三等分,画出九个相同的小正方形,并剪去四个角上的小正方形,
步骤2:如图2,把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒.
猜想与证明:(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A1B1C1的大小关系,
(2)证明(1)中你发现的结论.
答案解析
1 、选择题
【考点】实数的运算,特殊角的三角函数值.
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可.
解:原式=+
=,
故选:B.
【点评】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数,其相关运算法则是基础且重要知识点,必须熟练掌握.
【考点】解直角三角形,三角形的高,三角形三边关系.
【分析】作△ABC的高AD、CE.根据锐角三角形的三条高均在三角形的内部得出BC>BD,AB>BE.解直角三角形求出2<BC<8,即可求解.
解:如图,作△ABC的高AD、CE.
∵△ABC是锐角三角形,
∴AD、CE在△ABC的内部,即BC>BD,AB>BE.
∵在直角△ABD中,∠B=60°,AB=4,
∴BD=AB cosB=4×=2,
∴BC>2,
又∵BC=<==8,
∴2<BC<8,
∴综观各选项,BC可以为6.
故选:C.
【点评】本题考查了解直角三角形,三角形的高,三角形的三边关系,得出BC的范围是解题的关键.
【考点】等腰直角三角形;三角形三边关系.
【分析】由题意知,当CA⊥BA或CA>BC时,能作出唯一一个△ABC,分这两种情况求解即可.
解:由题意知,当CA⊥BA或CA>BC时,能作出唯一一个△ABC,
①当CA⊥BA时,
∵∠B=45°,BC=2,
∴AC=BC sin45°=2×=,
即此时d=,
②当CA=BC时,
∵∠B=45°,BC=2,
∴此时AC=2,
即d≥2,
综上,当d=或d≥2时能作出唯一一个△ABC,
故选:B.
【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识,熟练掌握等腰直角三角形的性质及三角形的三边关系是解题的关键.
【考点】勾股定理的逆定理,勾股定理.
【分析】过B点作BG∥CD,连接EG,根据平行线的性质得出∠ABG=∠CFB=α.根据勾股定理求出BG2=17,BE2=17,EG2=34,那么BG2+BE2=EG2,根据勾股定理的逆定理得出∠GBE=90°,进而求出∠ABE的度数.
解:如图,过B点作BG∥CD,连接EG,
∵BG∥CD,
∴∠ABG=∠CFB=α.
∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,
∴BG2+BE2=EG2,
∴△BEG是直角三角形,
∴∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.
故选:C.
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理,平行线的性质,准确作出辅助线是解题的关键.
【考点】作图—基本作图,角平分线的性质,勾股定理.
【分析】由角平分线的性质定理推出CD=MD,由勾股定理求出AC的长,由△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积,得到AC BC=AC CD+AB MD,因此4×3=4CD+5CD,即可求出CD的长,得到DB的长.
解:作DM⊥AB于M,
由题意知AD平分∠BAC,
∵DC⊥AC,
∴CD=DM,
∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC==4,
∵△ABC的面积=△ACD的面积+△ABD的面积,
∴AC BC=AC CD+AB MD,
∴4×3=4CD+5CD,
∴CD=,
∴BD=BC﹣CD=3﹣=.
故选:D.
【点评】本题考查勾股定理,角平分线的性质,作图—基本作图,三角形的面积,关键是由角平分线的性质得到CD=MD,由三角形面积公式得到AC BC=AC CD+AB MD.
【考点】解直角三角形,坐标与图形性质.
【分析】过C作CD⊥AB交AB延长线于D,计算出CD、AC的长,根据正弦计算方法计算即可.
解:过C作CD⊥AB交AB延长线于D,
∵A(0,1),B(4,1),C(5,6),
∴D(5,1),
∴CD=6﹣1=5,AD=5,
∴AC=5,
∴sin∠BAC==,
故选:C.
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,平面直角坐标系,关键是构造直角三角形.
【考点】勾股数.
【分析】根据题目要求逐一代入符合条件的m,n进行验证、辨别.
解:∵当m=3,n=1时,
a=(m2﹣n2)=(32﹣12)=4,b=mn=3×1=3,c=(m2+n2)=×(32+12)=5,
∴选项A不符合题意,
∵当m=5,n=1时,
a=(m2﹣n2)=(52﹣12)=12,b=mn=5×1=5,c=(m2+n2)=×(52+12)=13,
∴选项B不符合题意,
∵当m=7,n=1时,
a=(m2﹣n2)=(72﹣12)=24,b=mn=7×1=7,c=(m2+n2)=×(72+12)=25,
∴选项D不符合题意,
∵没有符合条件的m,n使a,b,c各为6,8,10,
∴选项C符合题意,
故选:C.
【点评】此题考查了整式乘法运算和勾股数的应用能力,关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算.
【考点】三角形三边的关系,全等三角形的性质,勾股定理
【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可,
②在三角形中,两边之和大于第三边,据此可解答,
③将c用a和b表示出来,再进行比较.
解:①过点D作DF∥AC,交AE于点F,过点B作BG⊥FD,交FD于点G.
∵DF∥AC,AC⊥AE,
∴DF⊥AE.
又∵BG⊥FD,
∴BG∥AE,
∴四边形ABGF为矩形.
同理可得,四边形BCDG也为矩形.
∴FD=FG+GD=a+b.
∴在Rt△EFD中,斜边c>直角边a+b.
故①正确.
②∵△EAB≌△BCD,
∴AE=BC=b,
∴在Rt△EAB中,BE==.
∵AB+AE>BE,
∴a+b>.
故②正确.
③∵△EAB≌△BCD,
∴∠AEB=∠CBD,
又∵∠AEB+∠ABE=90°,
∴∠CBD+∠ABE=90°,
∴∠EBD=90°.
∵BE=BD,
∴∠BED=∠BDE=45°,
∴BE==c sin45°=c.
∴c=.
∵=2(a2+2ab+b2)=2(a2+b2)+4ab>2(a2+b2),
∴>,
∴>c.
故③正确.
故选:D.
【点评】本题考查全等三角形的性质.虽然是选择题,但计算量不小,比较繁琐,需要细心、耐心.
【考点】全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,勾股定理
【分析】依据题意,连接BP,然后先证明△BMP≌△CNP,从而CN=BP=1,又由等腰Rt△ABC可得BC=4,从而在Rt△MBN中可以求得MN,又MP=NP,从而可得MN的值,进而可以得解.
解:如图连接BP.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∵AB=BC,点P为AC边上的中点,
∴BP⊥AC,∠CBP=∠ABP=∠ABC=45°,∠BCA=45°,BP=CP=AC=2.
∴∠MBP=∠NCP=180°﹣45°=135°.
∵BP⊥AC,PM⊥PN,
∴∠BPM+∠MPC=90°,∠CPN+∠MPC=90°.
∴∠BPM=∠CPN.
又BP=CP,∠MBP=∠NCP,
∴△BMP≌△CNP(ASA).
∴BM=CN=1,MP=NP.
在Rt△BPC中,BC==4.
∴在Rt△MBN中,MN===.
又在Rt△MPN中,MP=NP,
∴MP2+NP2=MN2.
∴MP=NP=.
∴S△PMN=MP NP=.
故选:D.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质,解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.
【考点】轴对称﹣最短路线问题,三角形中位线定理,矩形的性质.
【分析】根据三角形的中位线可得AM=BP,DN=,转化所求最值为(PB+PC)再依据将军饮马模型解答即可.
解:∵点M,N分别是PB,PC的中点,
∴AM=BP,DN=PC,MN∥BC,
∵ME∥DN,
∴四边形DEMN是平行四边形,
∴ME=ND,
∴AM+ME=AM+DN=(BP+PC),
∴AM+ME的最小值就是(BP+PC)的最小值.
找到点C关于直线AD对称点M,连接PM、BM.
BP+PC=BP+PM,
当点BPM三点共线时,BP+PM的最小值就是BM,
在Rt△BCM中,BC=AD=4,MC=2CD=2,
BM===6,
∴AM+ME的最小值=BM=3,
故选:C.
【点评】本题考查了轴对称最短路径问题以及三角形中位线性质,转化所求最值是本题的关键.
1 、填空题
【考点】实数的运算,零指数幂,特殊角的三角函数值.
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,然后计算乘法,最后从左向右依次计算,求出算式的值即可.
解:|﹣2|+2sin60°﹣20230
=2﹣+2×﹣1
=2﹣+﹣1
=1.
故答案为:1.
【点评】此题主要考查了实数的运算,解答此题的关键是要明确:在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.
【考点】作图—基本作图,角平分线的性质,等腰直角三角形.
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出AC=AG,即可得出答案.
解:在△ABC中,
∵∠C=90°,
∴FC⊥AC,
∵FG⊥AB,
由作图方法可得:AF平分∠BAC,
∴∠BAF=∠CAF,FC=FG,
在Rt△ACF和Rt△AGF中,
,
∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL),
∴AC=AG,
∵AC=BC,
∴AG=BC,
∴△BFG的周长=GF+BF+BG=CF+BF+BG=BC+BG=AG+BG=AB=8cm.
故答案为:8.
【点评】此题主要考查了作图﹣基本作图以及全等三角形的判定与性质,正确理解基本作图方法是解题关键.
【考点】翻折变换(折叠问题),含30°角的直角三角形的性质
【分析】根据折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出B'E=BE,=2CE=6即可求解.
解:∵将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点B′,若点B′刚好落在边AC上,
在Rt△ABC中,∠C=90°,BC<AC,∠CB'E=30°,CE=3,
∴B'E=BE=2CE=6,
∴BC=CE+BE=3+6=9.
故答案为:9.
【点评】本题考查了折叠的性质,含30°角的直角三角形的性质熟练掌握以上性质是解题关键.
【考点】直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形中位线定理
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到AB=2CD=10,根据勾股定理得到BC==6,根据三角形中位线定理即可得到结论.
解:∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线,CD=5,
∴AB=2CD=10,
∵∠ACB=90°,AC=8,
∴BC==6,
∵E为AC的中点,
∴AE=CE,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=3,
故答案为:3.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形中位线定理,熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
【考点】勾股定理的证明.
【分析】根据勾股定理可知a2+b2=c2,再根据b﹣a=4,c=20,即可得到a、b的值,然后即可计算出每个直角三角形的面积.
解:由图可得,
a2+b2=c2,
∴且a、b均大于0,
解得,
∴每个直角三角形的面积为ab=×12×10=60,
故答案为:60.
【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形,解答本题的关键是明确题意,求出a、b的值.
【考点】勾股数.
【分析】根据勾股数的定义解答即可.
解:∵a,b,c是勾股数,其中a,b均小于c,a=m2﹣,,
∴b2=c2﹣a2
=(m2+)2﹣(m2﹣)2
=m4++m2﹣(m4+﹣m2)
=m4++m2﹣m4﹣+m2
=m2,
∵m是大于1的奇数,
∴b=m.
故答案为:m.
【点评】本题考查的是勾股数,熟知满足a2+b2=c2 的三个正整数,称为勾股数是解题的关键.
【考点】翻折变换(折叠问题),直角三角形斜边上的中线.
【分析】由∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,可得∠A=∠ACD,由翻折的性质可知∠ACD=∠A'CD,AC=CA',故∠A=∠ACD=∠A'CD,而A'C⊥AB,即得∠A=∠ACD=∠A'CD=30°,在Rt△ABC中,tan30°=,可解得AC,从而可得答案.
解:设CA'交AB于O,如图:
∵∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,
∴CD=AD=DB,
∴∠A=∠ACD,
由翻折的性质可知∠ACD=∠A'CD,AC=CA',
∴∠A=∠ACD=∠A'CD,
∵A'C⊥AB,
∴∠AOC=90°,
∴∠A'CD+∠ACD+∠A=90°,
∴∠A=∠ACD=∠A'CD=30°,
在Rt△ABC中,tanA=,
∴tan30°=,
∴AC=2,
∴CA'=2,
故答案为:2.
【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题,解题的关键是掌握翻折的性质,熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系.
【考点】平面展开﹣最短路径问题,等边三角形的性质,勾股定理.
【分析】利用平面展开图可总结为3种情况,画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可.
解:如图1,将三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内,连接MB1,
∵M是AC的中点,△ABC和△A1B1C1是等边三角形,
∴CM=AC==,
∴BM=CM+BC=3,
在Rt△MBB1中,由勾股定理得:
B1M==,
如图2,把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内,连接MB1,过点M作MF⊥A1B1于点F,交AB于点E,
则四边形AEFA1是矩形,ME⊥AB,
在Rt△AME中,∠MAE=60°,
∴ME=AM sin60°=×=,
AE=AM cos60°=,
∴MF=ME+EF=+2=,
B1F=A1B1﹣A1F=,
在Rt△MFB1中,由勾股定理得:
B1M==,
如图3,连接B1M,交A1C1于点N,则B1M⊥AC,B1N⊥A1C1,
在Rt△A1NB1中,∠NA1B1=60°,
∴NB1=A1B1 sin60°=3,
∴B1M=NB1+MN=5,
∵<5<,
∴小虫爬行的最短路程为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查了立体图形的展开图,两点之间距离最短,关键是正确画出立体图形的平面展开图并进行分类讨论.
1 、解答题
【考点】实数的运算,零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值.
【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简,进而得出答案.
解:原式=﹣1+4+3×﹣1+2﹣
=﹣1+4+﹣1+2﹣
=4.
【点评】此题主要考查了实数的运算,正确化简各数是解题关键.
【考点】解直角三角形的应用.
【分析】先在Rt△ABC中由AB=18m,∠BAC=38°得BC=AB tan∠BAC=14.04(m),再在Rt△ABD中由AB=18m,∠BAD=53°得BD=AB tan∠BAD=23.94m,然后由CD=BD﹣BC即可得出答案.
解:在Rt△ABC中,AB=18m,∠BAC=38°,
∵,
∴BC=AB tan∠BAC=18tan38°=18×0.78=14.04(m),
在Rt△ABD中,AB=18m,∠BAD=53°,
∵,
∴BD=AB tan∠BAD=18tan53°=18×1.33=23.94(m),
∴CD=BD﹣BC=13.94﹣14.04=9.9(m).
答:“龙”字雕塑CD的高度约为9.9m.
【点评】此题主要考查了解直角三角形,解答此题的关键是理解题意,熟练掌握锐角三角函数的定义.
【考点】作图—复杂作图,含30度角的直角三角形,直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据等边三角形的性质作图,再根据勾股定理求解.
解:如图:Rt△CDE即为所求,
∵∠C=90°,∠B=60°,BC=2,
∴AC=2,
∵△ACE是等边三角形,
∴AE=AC=2.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图,掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键.
【考点】作图﹣旋转变换,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,勾股定理,作图﹣平移变换.
【分析】(1)跟进一下作出图形即可,
(2)作等腰直角三角形PQR,可得结论.
解:(1)图形如图1所示(答案不唯一),
(2)图形如图2所示.
【点评】本题考查作图﹣旋转变换,平移变换等知识,解题的关键是掌握在旋转变换,平移变换的性质,属于中考常考题型.
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM,进而求出DE即可,
(2)利用直角三角形的边角关系,求出BD的长,再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.
解:(1)如图,过点B作BM⊥AF于点M,由题意可知,∠A=30°,∠DBE=53°,DF=600m,AB=300m,
在Rt△ABM中,∠A=30°,AB=300m,
∴BM=AB=150m=EF,
∴DE=DF﹣EF=600﹣150=450(m),
答:登山缆车上升的高度DE为450m,
(2)在Rt△BDE中,∠DBE=53°,DE=450m,
∴BD=
≈
=562.5(m),
∴需要的时间t=t步行+t缆车
=+
≈19.4(min),
答:从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.
【考点】勾股定理的逆定理,勾股定理.
【分析】(1)根据矩形的性质可求出∠OP2C 度数,根据线段垂直平分线的性质∠P2OP3度数,即可求出∠P3OA的度数,从而知道P3点表示度数,利用半径相等即可求出∠P2OD=∠P2DO,再根据平行线的性质即可求出∠P2OD=∠DOA,从而得P3表示度数,
(2)利用角平分线的性质作图即可求出答案.
解:①∵四边形OABC是矩形,
∴BC∥OA,
∴∠OP2C=∠P2OA=30°,
由作图可知,EF是 OP2 的中垂线,
∴OP3=P3P2,
∴∠P3OP2=∠P3P2O=30°,
∴∠P3OA=∠P3OP2+∠P2OA=60°,
∴点 P3 表示 60°,
②作图可知,P2D=P2O,
∴∠P2OD=∠P2DO,
∵CB∥OA,
∴∠P2DO=∠DOA,
∴,
∴点P4表示 15°,
答:点P3表示60°,点P4表示15°,
(2)作∠P3OP4 的角平分线交BC于P5,点P5即为所求作的点,如图:
∵点P3表示 60°,点P4表示 15°,
∴∠P3OP4=60°﹣15°=45°,
∴∠P3OP4+∠P4OA=22.5°+15°=37.5°,
∴P5 表示37.5°.
【点评】本题考查的是尺规作图的应用,涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质,解题的关键需要正确理解题意,掌握用到的相关知识点.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】过点B作BH⊥DC于点H,过点B作BF⊥OC于点F,先证△BEH和△OEC均为等腰直角三角形,四边形BHCF为矩形,△OBF为等腰直角三角形,设BF=xm,则OF=CH=xm,EH=BH=(5﹣x) m,DH=(6.5﹣x) m,然后在Rt△BDH中,利用tan∠BDH=BH/DH得,由此解出x=0.5,再利用勾股定理求出OB即可得AB的长.
解:过点B作BH⊥DC于点H,过点B作BF⊥OC于点F,如图,
依题意得:OC⊥DC,∠BDH=37°,∠NEH=45°,
又BH⊥DC
∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形,
∴EH=BH,EC=OC,
∵DE=1.5m,EC=5m,
∴OC=EC=5m,
∵BH⊥DC,BF⊥OC,OC⊥DC,
∴四边形BHCF为矩形,
∴BF=CH,BH=CF,BF∥CH,
∴∠OBF=∠NEH=45°,
∴△OBF为等腰直角三角形,
∴BF=OF=CH,
设BF=xm,则OF=CH=xm,
∴EH=BH=EC﹣CH=(5﹣x) m,
∴DH=DE+EH=1.5+5﹣x=(6.5﹣x) m,
在Rt△BDH中,tan∠BDH=,
即:tan37°=,
∴,
解得:x=0.5,
检验后知道x=0.5是原方程得根.
∴BF=OF=0.5(m),
在等腰Rt△OBF中,由勾股定理得:OB=≈0.5×≈0.5×1.41=0.705(m),
∵点O为AB的中点,
∴AB=2OB≈2×0.705≈1.4(m),
答:太阳能电池板宽AB的长度约为1.4m.
【点评】此题主要考查了解直角三角形,理解题意,正确的作出辅助线构造直角三角形的,灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键.
【考点】正方形的性质,展开图折叠成几何体,勾股定理,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定与性质
【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质即可求解,
(2)根据勾股定理和勾股定理的逆定理和正方形的性质即可求解.
解:(1)∠ABC=∠A1B1C1,
(2)∵A1C1为正方形对角线,
∴∠A1B1C1=45°,
设每个方格的边长为1,
则AB==,
AC=BC==,
∵AC2+BC2=AB2,
∴由勾股定理的逆定理得△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴∠ABC=∠A1B1C1.
【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理和勾股定理的逆定理,等腰直角三角形的判定与性质,得到△ABC是等腰直角三角形是解题的关键.
精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
HYPERLINK "()
" ()