2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.12 特殊平行四边形中动点问题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)若，则 ， ．
(2)经过多长时间，四边形是平行四边形？
(3)经过多长时间，四边形是矩形？
【答案】(1)，
(2)经过，四边形是平行四边形
(3)经过，四边形是矩形
【详解】（1）解：根据题意得：，，
∴；
故答案为：，
（2）解：设经过，四边形为平行四边形，此时，
所以，
解得：；
即经过，四边形是平行四边形
（3）解：设经过，四边形为矩形，此时，
所以，
解得：，
即经过，四边形是矩形．
2．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)6.5(2)6(3)不能．理由见解析
【详解】（1）根据题意得：，，
，，，
，，
在四边形中，，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：，
当时，四边形是矩形；
故答案为：6.5；
（2）在四边形中，，
当时，四边形是平行四边形，
根据（1）得：，
解得：，
当时，四边形是平行四边形；
（3）不能，理由如下：
若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，
根据（2）得：，
，
过点作于，
四边形是矩形，
，
，，
，
四边形不可能是菱形．
3．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒．
(1)当时，求的长；
(2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由；
(3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值．
【答案】(1)(2)是等腰直角三角形(3)2
【详解】（1）解：根据题意当时：，
正方形的边长为，
，，
在中，
；
（2）解：等腰直角三角形．理由如下：
如图1，在正方形中，，．
依题意得：．
在与中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：如图3，连接，，与交于，与交于点．
由（1）得，
又，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，得，
．
4．如图，为坐标原点，四边形为矩形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
(1)当________时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由：
(3)在点运动的过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值．
【答案】(1)6
(2)存在，点的坐标为或
(3)四边形的周长最小为
【详解】（1）由题意得：，则，
四边形是平行四边形，
，即，解得，
故答案为6；
（2）如图1，连接，过点作于点，
则，，
，
四边形是菱形，
，
即，解得或2，
故点的坐标为或，
当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置，
即点；
当点的坐标为时，点在点的左侧5个单位的位置，
即点，
故点的坐标为或；
（3）作点关于直线的对称点，将点向左平移5个单位得到点，
连接，交于点，点向右5个单位得到点，此时，四边形的周长最小，
理由：四边形的周长
为最小，
由点的坐标得，，
则四边形的周长最小为．
5．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
【答案】(1)
(2)或或
(3)四边形不能成为菱形，见解析，点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．
【详解】（1）∵，，
∴当时，四边形成为矩形，
由运动知，，，
∴，
∴，
解得．
∴当时，四边形成为矩形；
（2）①当时，，
此时，四边形是平行四边形；
②当时，，
此时，四边形是平行四边形时；
③当时，，
此时，四边形为平行四 边形；
综上所述，当或或时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．
（3）四边形不能成为菱形．理由如下：
∵，
∴当时，四边形能成为菱形．
由，得，
解得：，
当时，，，．
在中，，，
根据勾股定理得，，
∴四边形不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为时，能够使四边形在时刻为菱形，
由题意得，
解得：．
故点Q的速度为时，能够使四边形在这一时刻为菱形．
6．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．
(1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t；
(2)若的面积为8，请求出t的值；
(3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值．
【答案】(1)2(2),或(3)
【详解】（1）∵四边形为平行四边形，
∴，，，，
∴动点M应在线段上，N应在线段上，.
∵在平行四边形中，，，
∴．
由题意得t秒后，，．
∴．
∴．
（2）①当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
②当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
③当点M在上时，，
∵的面积为8，，
∴．
∴．
∴综上可知,或．
（3）如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,，
∴.，
∴当、、三点共线时有最小值．
∵，，
∴
∴有最小值．
7．如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)t为何值时，？为什么？
(2)当时，求t的值．
【答案】(1)，理由见解析(2)或
【详解】（1）
由题意知，，，，
当四边形为平行四边形时，，
，
，四边形为平行四边形，
，
解得：，
即当时，．
（2）
如图1，过作于，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在中，，，，
，
，
解得：，（舍弃）；
如图2，
过作于，
则四边形是矩形，
，，，
，
在中，，，，
，
，
解得：（舍弃），；
综上所述，满足条件的的值为或．
8．如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
【答案】(1)(2)或或2(3)当时，；当时，；当时，(4)的值为或或
【详解】（1）设秒后、相遇．
由题意，
秒，
秒后、相遇．
故答案为；
（2）∵正方形
∴，
当时，此时与重合，；
当时，此时与重合，；
当时，在的垂直平分线上，即为中点，此时；
综上所述，当或或2时，是等腰三角形；
（3）①如图2中，当，点在上时，．
②如图3中，当，点在上时，．
③如图4中，当，点在上时，．
综上所述，．
（4）如图5中，
①当时，，此时，；
②当时，，此时，；
③当时，，此时，；
④当时，，此时与重合，；
综上所述，为或或或时，当以点及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等．
9．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．
(1)直接写出点与点重合时的值．
(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(3)当时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
【答案】(1)5(2)(3)2或(4)4
【详解】（1）解：点Q与点C重合时，
由题意得：，
解得：，
即点Q与点C重合时，t的值为5；
（2）解：当点Q沿运动时，
由题意得：，
∴，
即的长为；
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
分两种情况：
点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
同①得：，
∴，解得：，
综上所述，当时，t的值为2或；
（4）解：分两种情况：
点Q沿运动时，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
当点Q沿运动时，
∵，
∴，
当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，
∴，
∴，
由（3）得：，
∴，解得：；
如图，当四边形是平行四边形时，则，
∴，
解得：；
综上所述，当时，t的值为4或或．
10．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．
(1)t为 时四边形是平行四边形；
(2)t为何值时四边形是矩形？
(3)t为 时四边形是等腰梯形．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，即，
，
解得；
（2）解：四边形是矩形，
，即，
，
解得；
（3）解：分别过点作，
是直角梯形，，，
四边形是矩形，
，
四边形是等腰梯形，
故，
，即，
．
11．综合与探究
如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．
(1)当运动停止时，的值为______．
(2)当为何值时，点重合？
(3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
当点到达点时，，解得：
∵当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动，
∴
故答案为：
（2）解：当点与点重合时，由，得
、（舍去）
所以时点与点重合．
（3）因为当点到达点时，，解得：
此时点和点还未相遇，所以点只能在点的左侧，
①如图1，当点在点的左侧时，由，解得（舍去），；
故当时四边形是平行四边形；
②如图2，当点在点的右侧时，由，解得或（舍去）；
故当时四边形是平行四边形；
综上：当或时四边形是平行四边形．
12．如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示）
(2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(3)若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形．
【答案】(1)，(2)经过时，，为等腰三角形(3)经过时，四边形是菱形
【详解】（1）解：∵点P、Q均以的速度移动，
∴．
故答案为 ，．
（2）解：如图：过点P作于点E，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴当时，，为等腰三角形．
（3）解：在矩形中，，依题知，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴，
解得：t＝
∴当时，四边形是菱形．
13．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．
(1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)当时，四边形能构成菱形，理由见解析
(2)当或时，为直角三角形．理由见解析
【详解】（1）解：由题意可知，，
，，
．
，，
．
，，
∴．
，，
∴四边形为平行四边形，
∴要使平行四边形为菱形，则需，
即，
解得，
∴当时，四边形为菱形；
（2）解：当时，如图①，
，，
，
四边形为矩形．
，即，
解得，；
当时，如图②，
，
，
∴．
，即，
解得，，
综上所述，当或时，为直角三角形．
14．如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
(3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
【答案】(1)48(2)当秒或秒(3)（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，点速度为每秒个单位长
【详解】（1）解：过点作于，如图1所示：则四边形为矩形．
∴，
∵，
∴的面积．
把代入得：的面积；
（2）∵，
当时，以，为顶点的四边形为平行四边形时，当点在点右侧时，
解得：，
当点在点左侧时，，
∴，
解得：；
综上所述，当秒或秒时，以为顶点的四边形为平行四边形；
（3）（2）中的平行四边形不会是菱形；
理由如下：
作于，如图2所示：
则四边形是矩形，
当时，（2）中的平行四边形是菱形，
由，则；
由，则；
∴（2）中的平行四边形不会是菱形；
当速度不变，设点速度为每秒个单位长，
则，
解得：，
即当速度不变，点速度为每秒个单位长时，（2）中的平行四边形是菱形．
15．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
【答案】(1)10(2)或(3)①不存在，理由见解析；②存在，(4)或2
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
故答案为：10；
（2）由题意得：，
当点在线段上时，；
当点在线段延长线上时，；
综上所述，线段的长为或；
（3）①不存在，理由如下：
如图1，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，，
，
解得：，不符合题意舍去；
②存在，理由如下：
如图2，连接、，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
，
，
解得：，
存在的值，使得与互相平分，的值为；
（4）分两种情况：
①当点关于直线对称的点恰好落在点下方时，如图3，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②当点关于直线对称的点恰好落在点上方时，如图4，
由对称的性质得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
综上所述，的值为或2．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题5.12 特殊平行四边形中动点问题专练（15道）
解答题（本卷共15道，总分60分）
1．如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)若，则 ， ．
(2)经过多长时间，四边形是平行四边形？
(3)经过多长时间，四边形是矩形？
2．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．
(1)当__________时，四边形是矩形．
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
3．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒．
(1)当时，求的长；
(2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由；
(3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值．
4．如图，为坐标原点，四边形为矩形，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点的坐标为，点的坐标为，动点在线段上以每秒1个单位长度的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒．
(1)当________时，四边形是平行四边形？
(2)在直线上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标，若不存在，请说明理由：
(3)在点运动的过程中，线段上有一点，且，求四边形的周长最小值．
5．在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形成为矩形？
(2)当t为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
(3)四边形是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形在某一时刻为菱形，求点Q的速度．
6．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）．
(1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t；
(2)若的面积为8，请求出t的值；
(3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值．
7．如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
(1)t为何值时，？为什么？
(2)当时，求t的值．
8．如图，在正方形中，，．动点以每秒1个单位长度的速度从点山发，沿线段方向运动，动点同时以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿正方形的边运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒．
(1)运动时间为 秒时，点与点相遇；
(2)求为何值时，是等腰三角形？
(3)用含的式子表示的面积，并写出相应的取值范围；
(4)连接，当以点及正方形的某两个顶点为顶点组成的三角形和全等时，直接写出的值（点与点重合时除外）．
9．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．
(1)直接写出点与点重合时的值．
(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．
(3)当时，求的值．
(4)当时，直接写出的值．
10．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．
(1)t为 时四边形是平行四边形；
(2)t为何值时四边形是矩形？
(3)t为 时四边形是等腰梯形．
11．综合与探究
如图，在矩形中，，点分别从点出发，沿，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，所有点停止运动．在相同时间内，若，则．
(1)当运动停止时，的值为______．
(2)当为何值时，点重合？
(3)当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？
12．如图，矩形中，，点P从点A出发沿向点B移动（不与点A、B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C、D重合）．运动时间设为t秒．
(1)若点P、Q均以的速度移动，则： ； ．（用含t的代数式表示）
(2)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？
(3)若点P、Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形．
13．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．
(1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
14．如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？
(3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？
15．如图，在中，，，，动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒（）．
(1)的长为______；
(2)用含的代数式表示线段的长；
(3)连接，
①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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