2024年浙江省湖州市中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.，，，这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. D.
2.龙之梦景区在年全年接待游客约人次为读写方便，可将数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.第届亚运会女子排球决赛中，中国队战胜日本队，获得了冠军领奖台的示意图如图所示，则此领奖台的主视图是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. “明天下雨”是不可能事件
B. 为了解某型号车用电池的使用寿命，采用全面调查的方式
C. 某游戏做次中奖的概率是，那么该游戏连做次就一定会中奖
D. 一组数据，，，，，，的中位数是
5.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
6.甲煤场有煤吨，乙煤场有煤吨，为了使甲煤场存煤数是乙煤场的倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场？若设从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下列方程中，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长已知，的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短( )
A. B. C. D.
8.如图，小明想利用“，，”这些条件作他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是( )
A. B. C. D.
9.向高为的空花瓶形状如图中匀速注水，注满为止，则水面高度与注水时间的函数关系的大致图象是( )
A. B. C. D.
10.对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述：
当，，时，方程一定没有实数根；
当，，时，方程一定有实数根；
当，时，方程一定没有实数根；
当，，时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式： ______．
12.某校组织研学活动，计划从“太湖溇港景区”“荻港渔村”“东衡游子部落”“江南红村”“五峰山运动村”五个研学基地中随机选一个前往，则选中“太湖溇港景区”的概率是______．
13.已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为______．
14.已知是的一次函数，下表列出了部分对应值，则______．
15.古希腊一位庄园主把一边长为米的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加米，相邻的一边减少米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了______平方米．
16.如图，某兴趣小组运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，并过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长是______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：；
解不等式：．
18.本小题分
如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为．
求证：≌；
若平分，求的度数．
19.本小题分
已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
求关于的函数表达式．
若要求电流不超过，则该可变电阻应控制在什么范围？
20.本小题分
某校为增强学生身体素质，开展了为期一个月的跳绳系列活动为了解本次系列活动的效果，校体育组在活动之前随机抽取部分九年级学生进行了一分钟跳绳测试，根据一定的标准将测得的跳绳次数分成、、、、五个等级，五个等级的赋分依次为分、分、分、分、分，将测试结果整理后，绘制了统计图跳绳系列活动结束后，体育组再次对这部分学生进行跳绳测试，以相同标准进行分级和赋分，整理后绘制了统计图．
请根据以上信息，完成下列问题：
求被抽取的九年级学生人数，并补全统计图．
若全校名九年级学生全部参加了跳绳活动及一分钟跳绳测试，测试分级和赋分标准不变请通过计算，估计这名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过分含分有多少人？
选择一个适当的统计量，通过计算分析，对该校跳绳系列活动的效果进行合理评价．
21.本小题分
用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形，，该沙发与地面的空隙为矩形，，拖把杆为线段，长为，为的中点，与所成角的可变范围是，当大小固定时，若经过点，或点与点重合，则此时的长即为沙发底部可拖最大深度．
如图，当时，求沙发底部可拖最大深度的长结果保留根号
如图，为了能将沙发底部地面拖干净，将减小到，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度的长能否达到？
22.本小题分
甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形．
要求：直角三角形纸片的两条直角边长分别为和；
在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同；
将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大．
甲同学的方案 乙同学的方案
请根据以上信息，完成下列问题：
计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小；
请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长
23.本小题分
定义：对于关于的函数，函数在范围内的最大值，记作
如函数，在范围内，该函数的最大值是，即．
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数为常数．
若．
直接写出该函数的表达式，并求的值；
已知，求的值．
若该函数的图象经过点，且，求的值．
24.本小题分
如图，在 中，是锐角，，在射线上取一点，过作于点，过，，三点作．
当时，
如图，若与相切于点，连结，求的长；
如图，若经过点，求的半径长．
如图，已知与射线交于另一点，将沿所在的直线翻折，点的对应点记为，且恰好同时落在和边上，求此时的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：．
根据主视图是从几何体的正面观察得到的视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的特征是解题的关键，熟知主视图是从几何体的正面观察得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：、“明天下雨”是随机事件，故A不符合题意；
B、为了解某型号车用电池的使用寿命，采用抽样调查的方式，故B不符合题意；
C、某游戏做次中奖的概率是，那么该游戏连做次也不一定会中奖，故C不符合题意；
D、把这组数据从小到大排列为，，，，，，，中位数是，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义与中位数的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查了随机事件，概率的意义，概率公式以及中位数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，则不符合题意；
，则不符合题意；
，则符合题意；
，则不符合题意；
故选：．
利用合并同类项法则，同底数幂乘法及除法法则，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
故选：．
根据“从甲煤场运吨煤到乙煤场”，“甲煤场存煤数是乙煤场的倍”即可列出一元一次方程．
考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
7.【答案】
【解析】解：设与交于点，于交于点，如下图所示：
依题意得：四边形，四边形均为菱形，且，，，
，，，，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
即要使的长达到，那么的长需要缩短．
故选：．
设与交于点，于交于点，由菱形的性质得，，，，，，在中由勾股定理可求出，则，在中由勾股定理可求出，则，然后再求出即可．
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，，
，
，，
，
，
故选：．
过点作于点，根据含角的直角三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质、勾股定理求出，根据线段的和差求解即可．
此题考查了解直角三角形，根据题意作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：空花瓶的形状是底部和上部小，中间大，
随着时间的推移，水位先升得快；再慢；最后快，
故选：．
根据空花瓶的形状，得到开始的时候水位升得快；接着水位升得慢；最后随着时间的推移，水位快速到，进行观察图象即可得到答案．
本题考查了函数的图象，解题的关键是根据花瓶的形状和函数的图象来解答．
10.【答案】
【解析】解：当，，时，满足，，，
此时，即方程有两个不相等的实数根，
故错误；
，，
，，
，
，
，即方程有两个不相等的实数根，
故正确；
当，，时，满足，，
此时，即方程有两个不相等的实数根，
故错误；
，，，
，，
，即方程有两个相等的实数根，
故错误；
综上，正确的是，
故选：．
关于的一元二次方程的判别式为，若，则方程有两个不相等的实数根；，则方程有两个相等的实数根；，则方程无实数根，据此逐一判断即可．
本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：式子中含有公因数，
，
故答案为：．
根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果．
本题考查了提公因式法分解因式，用适当的方法分解因式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：五个研学基地中随机选一个前往共有种等可能结果，其中选中“太湖溇港景区”的只有种结果，
所以选中“太湖溇港景区”的概率是，
故答案为：．
五个研学基地中随机选一个前往共有种等可能结果，其中选中“太湖溇港景区”的只有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
13.【答案】
【解析】解：弧长为．
故答案为：．
直接利用弧长公式计算可得．
本题主要考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式．
14.【答案】
【解析】解：设该一次函数解析式为．
如图所示当时，；时，．
据此列出方程组，
求得，
一次函数的解析式，
然后把代入，得到，即
故填．
如图所示当时，；时，用待定系数法可求出函数关系式，然后把代入，得到的值．
本题考查待定系数法求函数解析式的知识，难度不大，要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数．
15.【答案】
【解析】解：
平方米，
土地面积其实减少了平方米．
故答案为：．
由长方形和正方形的面积公式，根据“减少的面积边长变化前的面积边长变化后的面积”，利用平方差公式计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式并灵活运用是本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接，
，，
．
设该圆的半径长是，则，，
在中，由勾股定理得，
解得．
该圆的半径长是，
故答案为：．
先求得，，利用垂径定理求得，在中，由勾股定理求解即可．
本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形．
17.【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解；
原不等式移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【解析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可；
利用移项，合并同类项，系数化为的步骤解不等式即可．
本题考查解分式方程及一元一次不等式，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：由平移可知，，，
为的中点，
是的中位线，
，，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
平分，
，
．
【解析】利用三角形中位线定理得出，进而利用证明≌即可；
根据全等三角形的性质得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明≌解答．
19.【答案】解：设，
图象经过，
，
；
，，
．
用电器可变电阻应控制在以上．
【解析】设，代入数据求解即可；
由题意列出不等式，，计算即可．
本题考查反比例函数的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
20.【答案】解：被抽取的九年级总人数：人，
活动结束后等级的人数：人，
补全的统计图如下：
人，
答：估计这名学生在跳绳活动结束后的测试中，赋分超过分含分有人；
用平均数分析，
活动前的赋分平均数：分，
活动结束后的赋分平均数：分，
活动结束后的赋分平均数比活动前的高，
该校跳绳系列活动的效果良好．
【解析】现根据活动前的九年级学生跳绳测试情况统计图得出总人数，再用总人数减去活动结束后其他等级的人数，即可得出等级的人数，从而补全统计图；
用样本估计总体求解即可；
可以从平均数这一角度分析求解答案不唯一，合理即可．
本题考查的是条形统计图和正数与负数，能计算出抽取的总学生人数是解题的关键．
21.【答案】解：设的延长线交于点．
四边形和四边形是矩形，，，
，，．
四边形是矩形．
，，．
，．
，
．
点是的中点，
．
．
．
答：沙发底部可拖最大深度的长为；
由得：，，．
，
．
．
，
此时沙发底部可拖最大深度的长不能达到．
【解析】设的延长线交于点易得的长度，根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度；
根据的正切值可得的长度，再加上的长度即为的长度，也就是的长度，即可判断沙发底部可拖最大深度的长能否达到．
本题考查解直角三角形的应用．把所给度数整理到直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：．
22.【答案】解：甲同学方案中拼成的正方形边长为．
对于同学，如图，由拼成条件可得，
记直角三角形为，根据勾股定理，得．
，，，
，，
，，
∽，∽，
，
设，则
，
解得，
乙同学方案中拼成的正方形边长为．
，
甲同学方案中拼成的正方形边长较大．
其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下：
边长计算如下：
如图，过点作于点，
，
，
根据拼接要求，为等腰直角三角形，，
，，
，
≌，
，，
设，则，，
，，
∽，
即，
解得．
根据勾股定理，得
，即满足要求的正方形边长为．
【解析】由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得证∽，∽，得，设，则，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为，进而比较即可得解．
根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解．
本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
23.【答案】解：，
．
，
．
当时，，取得最大值，
；
，
当时，函数取得最大值，
令，则，
或．
．
该函数的图象经过点，
，
．
当时，，
，
，
．
当时，．
，
当时，取得最大值为
，
，
不合题意，舍去或．
综上，的值为或．
【解析】将值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可；
令，求得值，再利用新定义的规定解答即可；
利用待定系数法求得值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于的方程解答即可．
本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．
24.【答案】解：，
，
为的直径，
与相切于点，
．
，
，
，
；
连接，，如图，
，
，
为的直径，
．
四边形为平行四边形，
，，，，
，，
．
，
，
．
，
的半径长为．
过点作，交的延长线于点，连接，，设与交于点，如图，
由题意得：，
，
．
，
．
，
，
为的直径，
，
为等腰直角三角形，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
．
为平行四边形的高，
，
为等腰直角三角形，
设，则，．
，
．
在中，
，
，
．
，
．
【解析】利用圆周角定理和切线的性质定理得到，利用直角三角形的边角关系定理得到，再利用勾股定理解答即可得出结论；
连接，，利用圆周角定理和平行四边形的性质得到，，，，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用勾股定理求得，，则结论可求；
过点作，交的延长线于点，连接，，设与交于点，利用轴对称的性质，圆周角定理和垂直的定义得到，则为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求得线段，，设，则，，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的有关性质和恰当的添加辅助线是解题的关键．
第1页，共1页
