2024年中考数学复习探究性试题汇编之代数式
一．解答题（共15小题）
1．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
2．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52…，容易知道a1＝8，a2＝16，a3＝24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以a1，a2，a3都能被8整除．
（1）试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数．
3．数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐．
（1）图1中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示 的点对齐，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示 的点对齐；
（2）如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐；
（3）若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示 的点对齐．（用代数式表示）
4．若一个两位数的十位和个位上的数学分别为x，y，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
[甚础尝试]
（1）填空：
如果要用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是 ；最小的三位数是 ．
[问题探究]
（2）若一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除．
[拓展运用]
（3）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：
①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则972﹣279＝693），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减…这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；
②任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如a a a），所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加…如此重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ ，我们称它为数字黑洞，T为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘!
5．某商店钢笔每支25元，笔记本每本5元．该商店为促销制定了两种优惠方法：甲：买钢笔一支送笔记本一本；乙：按购买总额的90%付款．我校七年级某班需购买这种钢笔若干支，这种笔记本60本．（钢笔数少于笔记本数）
（1）若需要钢笔10支，则甲，乙两种优惠方法谁更省钱？请计算说明．
（2）若购钢笔a支，则甲，乙两种优惠方法各需付款多少元？（用含a的代数式表示）
（3）有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法更省钱？若有，请直接举例一个a的值．
6．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：
（1）每本课本的厚度为 cm；
（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；
（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换．
（1）平移运动：
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 ．
A．（+4）+（+1）＝+5
B．（+4）+（﹣1）＝+3
C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5
D．（﹣4）+（+1）＝﹣3
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
（2）翻折变换：
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是 ，B点表示的数是 ；
③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝2，求点C表示的数．
8．将整数1，2，3…2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“╳”框出任意的5个数（如图），如果用a、b、c、d、m（m处于斜十字中心）表示类似“╳”形框中的5个数．
（1）记S＝a+b+c+d+m，若S最小，那么m＝ 若S最大，那么m＝ ．
（2）用等式表示a，b，c，d，m这5个数之间的关系并说明理由．
（3）若a+b+c+d＝240．求m的值．
（4）框出的五个数中，a，b，c，d的和能等于588吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
9．将整数1，2，3，…2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“×”框出任意的5个数，如果用a，b，c，d，m表示类似“×”形框中的5个数．其中a＜b＜c＜d＜m．
（1）直接用等式表示a，b，c，d，m这5个数之间的关系；
（2）若a+b+c+d＝240．求m的值；
（3）框出的五个数中，a，b，c，d的和能否等于580吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
10．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）的关系如下表：
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
①观察上表，气温每升高5℃，音速如何变化？
②求出y与x之间的表达式；
③气温x＝22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到响声，那么此人与烟花燃放处的距离多远？
11．某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．该学校要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）若该学校按方案一购买，需付款 元；若该学校按方案二购买，需付款 元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算；
（3）若x＝30，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由．
12．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④；…；如此下去．
（1）按图示规律填写下表：
图 ① ② ③ ④ ⑤ …
正方形个数 1 4 7
…
（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形．
（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形．
（4）按照这种方式剪下去，求第几个图中有2017个正方形．
13．，如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字
（1）摆第一个图形用 枚围棋子，摆第二个图形用 枚围棋子，摆第三个图形用 枚围棋子．
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图形用 枚围棋子．
（3）当摆放502枚围棋子时是第几个“山”字？
14．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
15．某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同．甲的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费10元，每超过1千米则另外收费1.2元（不足1千米按1千米收费）；乙的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费8元，每超过1千米则另外收费1.7元（不足1千米按1千米收费）．某人到该市出差，需要乘坐的路程为x千米．
（1）当x＝5时，请分别求出乘坐甲、乙两种出租车的费用；
（2）若某人乘坐的路程大于3千米，试解答下列问题：
①计算此人分别乘坐甲、乙出租车所需要的费用（用含x的式子表示）；
②请帮他规划一下乘坐哪种车较合算？
2024年中考数学复习探究性试题汇编之代数式
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
（1）请你按照上述等式规律写出第5个等式；
（2）根据上述等式规律写出第n个等式；
（3）证明（2）中你所写等式的正确性．
【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算．
【专题】计算题；推理能力．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据前几个等式，可得第5个等式：；
（2）第n个等式：；
（3）证明等式左边等于等式右边即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）∵左边右边，
∴等式成立．
【点评】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出数字的变化规律是解题的关键．
2．设a1＝32﹣12，a2＝52﹣32，a3＝72﹣52…，容易知道a1＝8，a2＝16，a3＝24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以a1，a2，a3都能被8整除．
（1）试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数．
【考点】规律型：数字的变化类；平方差公式；有理数的乘方．
【专题】综合题；新定义；猜想归纳；整式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由题意，an是相邻俩奇数2n+1、2n﹣1的平方差，化简结果是8的倍数，可整除；
（2）由an＝8n找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．
【解答】解：（1）由题意得：
∴an能被8整除．
（2）由（1）知an＝8n，
当n＝2时，；
当n＝8时，；
当n＝18时，；
当n＝32时，．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由a2、a8、a18、a32四个完全平方数可知n＝2×m2，
所以n为一个完全平方数两倍时，an是完全平方数．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，利用代数式来表示一般规律，利用已总结的规律进一步探索、发现、归纳得出下一步结论是本题难点．
3．数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴A和数轴B模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴A上表示2的点与数轴B上表示3的点恰好对齐．
（1）图1中，数轴B上表示9的点与数轴A上表示 6 的点对齐，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示 ﹣12 的点对齐；
（2）如图2，将图中的数轴B向左移动，使得数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示 的点对齐，数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示 6或﹣10 的点对齐；
（3）若数轴A上表示2n的点与数轴B表示3m的点对齐，则数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示 3m+9 的点对齐，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示 2n+8或2n﹣4m﹣8 的点对齐．（用代数式表示）
【考点】列代数式；数轴．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】（1）6，﹣12；
（2）；6或﹣10；
（3）3m+9；2n+8或2n﹣4m﹣8．
【分析】（1）根据两个数轴单位长度的比值进行计算即可；
（2）根据两个数轴单位长度的比值以及两条数轴原点的“差值”进行计算即可；
（3）根据3m+（2n+6﹣2n）3m+9，由此可得数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示3m+9的点对齐，距离原点3m+12的点有两个，需要分类讨论，再根据上述算式即可．
【解答】解：（1）根据图形知：数轴A与数轴B 的单位长度的比值为3：2，即数值比为2：3，
数轴B上表示9的点与数轴A上表示的数为9÷3×2＝6，数轴A上表示﹣8的点与数轴B上表示的数为﹣8÷2×3＝﹣12，
故答案为：6，﹣12；
（2）数轴B的原点与数轴A表示﹣2的点对齐，则数轴A上表示5的点与数轴B上表示的数为（5+2）÷2×3，
数轴B上距离原点12个单位长度的点与数轴A上表示的数有两种情况，
即①数轴B上表示12的点与数轴A上表示的数为12÷3×2﹣2＝6，
②数轴B上表示﹣12的点与数轴A上表示的数为﹣12÷3×2﹣2＝﹣10，
故答案为：，6或﹣10；
（3）∵3m+（2n+6﹣2n）3m+9，
∴数轴A上表示2n+6的点与数轴B上表示3m+9的点对齐；
数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点在数轴B上表示的数为3m+12或﹣3m﹣12，
∴数轴B上表示3m+12的点在A轴上表示的数为2n+（3m+12﹣3m）2n+8，
数轴B上表示﹣3m﹣12的点在A轴上表示的数为（﹣3m﹣12﹣3m ）2n＝2n﹣4m﹣8，
综上所述，数轴B上距离原点（3m+12）个单位长度的点与数轴A上表示2n+8或2n﹣4m﹣8的点对齐：
故答案为：3m+9；2n+8或2n﹣4m﹣8．
【点评】本题考查了列代数式，数轴，主要考查数轴上两点之间的距离，理解数轴A与数轴B的对应关系是解题关键．
4．若一个两位数的十位和个位上的数学分别为x，y，我们可将这个两位数记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如．
[甚础尝试]
（1）填空：
如果要用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同），那么组成的数中最大的三位数是 963 ；最小的三位数是 369 ．
[问题探究]
（2）若一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0．那么请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除．
[拓展运用]
（3）黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：
①任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同（计算中0可放在百位），把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如：若选的数为729，则972﹣279＝693），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减…这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．该“卡普雷卡尔黑洞数”为 495 ；
②任意找一个能够被3整除的正整数，先把这个数的每一个数位上的数字都自乘三次（如a a a），所得的值再相加，得到一个新数；然后把这个新数的每一个数位上的数字再自乘三次，所得的值再相加…如此重复运算下去，就能得到一个固定的数T＝ 153 ，我们称它为数字黑洞，T为何具有如此魅力，通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘!
【考点】规律型：数字的变化类；整式的加减；因式分解的应用；有理数的混合运算．
【专题】计算题；阅读型；实数；整式；运算能力．
【答案】（1）963，369；
（2）见答案；
（3）①495；②153．
【分析】（1）根据题意写出即可；
（2）由题意得：组成的最大三位数为：100a+10b+c，最小三位数为：100c+10b+a，用最大的数减去最小的数，去括号、合并同类项，再因式分解即可；
（3）①选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可；
②选取满足题干的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可．
【解答】解：（1）∵9＞6＞3，
∴用数字3，6，9组成一个三位数（各数位上的数不同）中，最大的三位数是963，最小的三位数是369，
故答案为：963；369；
（2）证明：设一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0，
则所组成的最大三位数为：100a+10b+c，最小三位数为：100c+10b+a，
所组成的最大三位数与最小三位数之差为：
（100a+10b+c）﹣（100c+10b+a）
＝100a+10b+c﹣100c﹣10b﹣a
＝99a﹣99c
＝99（a﹣c），
∵a，c为正整数，
∴组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除；
（3）①若选的数为729，则用972﹣279＝693，以下按照上述规则继续计算：
963﹣369＝594，
954﹣459＝495，
954﹣459＝495，
．
故答案为：495；
②当任选的正整数为3时，
33＝27，
23+73＝351，
33+53+13＝153，
13+53+33＝153，
．
∴能得到一个固定的数T＝153．
故答案为：153．
【点评】此题是阅读类题型，主要考查有理数的混合运算，整式的加减，数字的变化规律等，此题综合性强，难度较大，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．
5．某商店钢笔每支25元，笔记本每本5元．该商店为促销制定了两种优惠方法：甲：买钢笔一支送笔记本一本；乙：按购买总额的90%付款．我校七年级某班需购买这种钢笔若干支，这种笔记本60本．（钢笔数少于笔记本数）
（1）若需要钢笔10支，则甲，乙两种优惠方法谁更省钱？请计算说明．
（2）若购钢笔a支，则甲，乙两种优惠方法各需付款多少元？（用含a的代数式表示）
（3）有没有可能甲种优惠方法比乙种优惠方法更省钱？若有，请直接举例一个a的值．
【考点】列代数式；代数式求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别根据两种促销优惠方法求出购物付款，比较即可；
（2）根据两种优惠方法列式整理即可．
（3）12＜a＜60的任意整数均可以．
【解答】解：（1）甲方法需付款：
25×10+（60﹣10）×5＝500（元），
乙方法需付款：
（25×10+60×5）×0.9＝495（元），
乙方法省钱；
（2）甲方法需付款：25×a+（60﹣a）×5＝（20a+300）（元），
乙方法需付款：25×a+60×5）×0.9＝（22.5a+270）（元），
（3）甲种优惠方法比乙种优惠方法省钱是有可能的，如a＝15（答案不唯一，只要是大于12的任一正整数均可）．
【点评】本题考查了列代数式，读懂题目信息，理解两种优惠方法的付款方法是解题的关键．
6．如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：
（1）每本课本的厚度为 0.5 cm；
（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；
（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．
【考点】列代数式；代数式求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用提供数据88﹣86.5等于3本书的高度，即可求出一本课本的厚度，进而得出课桌的高度；
（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；
（3）把x＝56﹣14代入（2）得到的代数式求值即可．
【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；
故答案为：0.5；
（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，
∴高出地面的距离为85+0.5x；
（3）当x＝56﹣14＝42时，85+0.5x＝106．
答：余下的课本的顶部距离地面的高度106cm．
【点评】考查列代数式及代数式求值问题；得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的突破点．
7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换．
（1）平移运动：
①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是 D ．
A．（+4）+（+1）＝+5
B．（+4）+（﹣1）＝+3
C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5
D．（﹣4）+（+1）＝﹣3
②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是 1011 ．
（2）翻折变换：
①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示 ﹣2021 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为2023（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是 ﹣1010.5 ，B点表示的数是 1012.5 ；
③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且A′B＝2，求点C表示的数．
【考点】规律型：图形的变化类；数轴；有理数的加减混合运算．
【专题】规律型；数形结合；平移、旋转与对称；符号意识；创新意识．
【答案】（1）①D；
②﹣1012；
（2）①﹣2021；
②A：﹣1010.5，B：1012.5；
（3）﹣4.5．
【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列算式计算；
②读懂题意，根据跳动过程列算式，再算式中发现规律，利用规律计算即可；
（2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找与2023重合的点表示的数；
②先根据①得到的折痕处的点表示的数，两点间的距离，确定两点表示的数；
③先根据题意找到A'点表示的数，再根据AA'线段长，确定AA'的中点表示的数．
【解答】解：（1）①根据移动过程可得：（﹣4）+（+1）＝﹣3，
故选：D．
②如果向左为“﹣”，向右为“+”，
机器人跳动过程可以用算式表示为：
﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣...﹣2021+2022﹣2023
＝﹣1012，
∴当机器人跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是﹣1012；
故答案为：﹣1012；
（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
∴折痕处的点表示的数为1，
∴表示2023的点与表示﹣2021；
故答案为：﹣2021；
②∵数轴上A、B两点之间的距离为2023，
A、B两点到折痕1处的距离都是1011.5，
∴B点表示数为1012.5，A点表示的数为﹣1010.5；
故答案为：﹣1010.5，1012.5；
③根据题意可知A'点表示的数为8+2＝10，
∵点A、A'表示的数分别是﹣19、10，点C为折点，
∴点C表示的数：104.5．
【点评】本题考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握数轴知识，折叠对称，有理数的加减混合运算．
8．将整数1，2，3…2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“╳”框出任意的5个数（如图），如果用a、b、c、d、m（m处于斜十字中心）表示类似“╳”形框中的5个数．
（1）记S＝a+b+c+d+m，若S最小，那么m＝ 9 若S最大，那么m＝ 2001 ．
（2）用等式表示a，b，c，d，m这5个数之间的关系并说明理由．
（3）若a+b+c+d＝240．求m的值．
（4）框出的五个数中，a，b，c，d的和能等于588吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【考点】列代数式．
【专题】规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）当a＝1，S取最小值，m＝9；当d＝2009时S取得最大值，m＝2001．
（2）根据图中关系，可知a＝m﹣8，b＝m﹣6，c＝m+6，d＝m+8，则a+b+c+d＝4m；
（3）由（2）题可知S＝5m，当S＝240，求m的值即可．
（4）同（3）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数．
【解答】解：（1）由图中关系可得：当a＝1，S取最小值，m＝9；当d＝2009时S取得最大值，m＝2001．
（2）根据图中关系，可知a＝m﹣8，b＝m﹣6，c＝m+6，d＝m+8．
故a+b+c+d＝m﹣8+m﹣6+m+6+m+8＝4m
（3）由（2）题可知S＝4m，当S＝240，m＝60．
（4）不能；设和等于588时，4m＝588，解得m＝147，
因为m为7的倍数时在最右列，故不符合要求，所以四数的和不能为588．
【点评】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目．
9．将整数1，2，3，…2009按下列方式排列成数表，用斜十字框“×”框出任意的5个数，如果用a，b，c，d，m表示类似“×”形框中的5个数．其中a＜b＜c＜d＜m．
（1）直接用等式表示a，b，c，d，m这5个数之间的关系；
（2）若a+b+c+d＝240．求m的值；
（3）框出的五个数中，a，b，c，d的和能否等于580吗？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】（1）a+b+c+d＝4m﹣40；（2）70．（3）四数的和不能为580．
【分析】（1）根据图中关系，可知a＝m﹣16，b＝m﹣14，c＝m﹣8，d＝m﹣2，则a+b+c+d＝4m﹣40；
（2）由（1）题可知S＝5m，当S＝240，求m的值即可．
（3）同（2）理解得m的值，注意m不能为四个边上的任一数．
【解答】解：（1）根据图中关系，可知a＝m﹣16，b＝m﹣14，c＝m﹣8，d＝m﹣2，
故a+b+c+d＝m﹣16+m﹣14+m﹣8+m﹣2＝4m﹣40；
（2）由（1）题可知S＝4m﹣40，当S＝240，m＝70．
（3）不能；设和等于580时，4m﹣40＝580，解得m＝155，155＝7×22+1．
故不符合要求，所以四数的和不能为580．
【点评】本题考查了列代数式的应用，并考查了学生的阅读理解及总结规律的能力，是一道综合性的题目．
10．声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）的关系如下表：
气温x（℃） 0 5 10 15 20
音速y（米/秒） 331 334 337 340 343
①观察上表，气温每升高5℃，音速如何变化？
②求出y与x之间的表达式；
③气温x＝22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到响声，那么此人与烟花燃放处的距离多远？
【考点】列代数式；代数式求值．
【答案】见试题解答内容
【分析】①由表可知，温度每上升5℃，音速增加3m/s；
②根据音速＝起始速度+因温度升高而增加的速度，列式即可；
③先求出当x＝22时，音速y，再根据路程＝速度×时间计算即可．
【解答】解：①由表可知，温度每上升5℃，音速增加3m/s；
②根据题意，y＝331x，即y＝0.6x+331；
③当x＝22时，y＝0.6×22+331＝344.2（m/s），
距离为：344.2×5＝1721米，
故此人与烟花燃放处的距离1721米．
【点评】此题主要考查了根据题意列代数式及代数式求值能力，根据表格数据得出变化规律是解题关键．
11．某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价80元，乒乓球每盒定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的90%付款．该学校要到该商场购买乒乓球拍20副，乒乓球x盒（x＞20，x为整数）．
（1）若该学校按方案一购买，需付款 （20x+1200） 元；若该学校按方案二购买，需付款 （18x+1440） 元（用含x的代数式表示）；
（2）若x＝30，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算；
（3）若x＝30，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案应付的钱数；如果不能，请说明理由．
【考点】代数式求值；列代数式．
【专题】计算题；整式；运算能力；应用意识．
【答案】（1）（20x+1200），（18x+1440）元；
（2）选择方案一比较合算；理由见解答；
（3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，应付钱数：1780元．
【分析】（1）认真读懂题意，按照两种付费方案列代数式；
（2）由（1）得代数式，代入数据求值，再比较即可；
（3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，计算出应付钱数．
【解答】解：（1）方案一需付款：80×20+（x﹣20）×20＝（20x+1200）元，
方案二需付款：（80×20+20x）×90%＝（18x+1440）元；
故答案为：（20x+1200），（18x+1440）元；
（2）当x＝30时，
方案一需付款：20x+1200＝20×30+1200＝1800元，
方案二需付款：18x+1440＝18×30+1440＝1980元，
∵1980＞1800，
∴选择方案一比较合算；
（3）购买20副球拍和20盒乒乓球采用第一种方案，10盒乒乓球采用第二种方案，
∴应付钱数：20×80+（30﹣20）×20×90%＝1780（元）．
【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式．
12．将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形；将图②中一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中一个正方形剪开得到图④；…；如此下去．
（1）按图示规律填写下表：
图 ① ② ③ ④ ⑤ …
正方形个数 1 4 7
10
13
…
（2）按照这种方式剪下去，求第n个图中有多少个正方形．
（3）按照这种方式剪下去，求第200个图中有多少个正方形．
（4）按照这种方式剪下去，求第几个图中有2017个正方形．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；数与式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察图形可知，每剪开一次多出3个正方形，然后写出前4个图形中正方形的个数，进而得出答案；
（2）根据（1）中规律写出第n个图形中的正方形的个数的表达式；
（3）将n＝200，代入求得问题即可；
（4）求出3n﹣2＝2017时n的值，即可得．
【解答】解：（1）按图示规律填写下表：
图 1 2 3 4 5 …
正方形个数 1 4 7 10 13 …
故答案为：10、13；
（2）第1个图形有正方形1个，
第2个图形有正方形4个，
第3个图形有正方形7个，
第4个图形有正方形10个，
…，
第n个图形有正方形（3n﹣2）个．
（3）第200个图中共有正方形的个数为3×200﹣2＝598．
（4）当3n﹣2＝2017可得n＝673，
∴第673个图中有2017个正方形．
【点评】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．
13．，如图是用围棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字
（1）摆第一个图形用 7 枚围棋子，摆第二个图形用 12 枚围棋子，摆第三个图形用 17 枚围棋子．
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图形用 5n+2 枚围棋子．
（3）当摆放502枚围棋子时是第几个“山”字？
【考点】规律型：图形的变化类．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）图①中，棋子的个数是2×3+1；图2中，棋子的个数是3×3+3；图③中，棋子的个数是4×3+5；
（2）依此类推即可得到规律；
（3）代入502求解n值即可．
【解答】解：（1）第1个“山”字中的棋子个数是7；第2个“山”字中的棋子个数是12；第3个“山”字中的棋子个数是17；
（2）结合图形，发现：
第n个“山”字中的棋子个数是3（n+1）+2n﹣1＝5n+2．
（3）5n+2＝502时，
解得：n＝100，
所以当摆放502枚围棋子时是第100个“山”字；
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
14．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠办法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 九折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠
（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 530 元．
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 0.9x 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 （0.8x+50） 元．（用含x的代数式表示）．
（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？
【考点】列代数式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的100按8折付款即可；
（2）等量关系为：购物款×9折；500×9折+超过500的购物款×8折；
（3）两次购物王老师实际付款＝第一次购物款×9折+500×9折+（总购物款﹣第一次购物款﹣第二次购物款500）×8折，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8＝530；
（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8＝0.8x+50；
（3）0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450＝0.1a+706．
【点评】解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．
15．某市有甲、乙两种出租车，他们的服务质量相同．甲的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费10元，每超过1千米则另外收费1.2元（不足1千米按1千米收费）；乙的计价方式为：当行驶路程不超过3千米时收费8元，每超过1千米则另外收费1.7元（不足1千米按1千米收费）．某人到该市出差，需要乘坐的路程为x千米．
（1）当x＝5时，请分别求出乘坐甲、乙两种出租车的费用；
（2）若某人乘坐的路程大于3千米，试解答下列问题：
①计算此人分别乘坐甲、乙出租车所需要的费用（用含x的式子表示）；
②请帮他规划一下乘坐哪种车较合算？
【考点】代数式求值；列代数式．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别利用两种计费方式计算得出答案；
（2）①根据题意直接得出代数式进而得出答案；
②利用①中代数式得出相等时x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）当x＝5时，
乘坐甲出租车的费用＝10+（5﹣3）×1.2＝10+2.4＝12.4（元），
乘坐乙出租车的费用＝8+（5﹣3）×1.7＝8+3.4＝11.4（元），
答：乘坐甲、乙两种出租车的费用分别为12.4元，11.4元．
（2）①乘坐甲出租车的费用为：10+1.2（x﹣3），
＝（1.2x+6.4）元，
乘坐乙出租车的费用为：8+1.7（x﹣3）
＝（1.7x+2.9）元；
②∵此人乘坐的路程大于3千米，
若1.2x+6.4＝1.7x+2.9时，
∴x＝7，
则当x＝7时，他乘坐两种出租车所需要的费用一样多；
由（1）知，当他乘坐的路程在大于3千米而小于7千米时，坐乙出租车较为合算；
取x＝8，则乘坐甲出租车所需费用为：1.2×8+6.4＝16（元），乘坐乙出租车所需费用为：
1.7×8+2.9＝16.5（元），当他乘坐的路程大于7千米时，坐甲出租车较为合算．
故当他乘坐的路程在大于3千米而小于7千米时，坐乙出租车较为合算；
当他乘坐的路程为7千米时，坐两种出租车所需要的费用一样多；当他乘坐的路程大于7千米时，坐甲出租车较为合算．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确得出两种计费代数式是解题关键．
考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．有理数的加减混合运算
（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法．
（2）方法指引：
①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式．
②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．
3．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
4．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
5．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
6．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
7．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
8．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
9．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
10．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
11．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
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