新乡十中2023-2024学年下学期七年级数学期中试卷
亲爱的同学们，时间过得真快啊！学期己过半，相信在你的刻苦努力下，在原有的基础上又收获了许多新的数学知识与能力，更加懂得应用数学来解决问题了．请认真审题，规范作答，成功将属于你，加油！
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 64立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
2. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，位于A处的1班与相距的B处的2班，共同做一次联谊活动，用方向和距离描述1班相对于2班的位置（ ）
A. 南偏东处 B. 南偏西处 C. 北偏西处 D. 北偏东处
5. 已知方程组的解满足，求的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图，下列条件中：①；②；③；④．能判定的条件个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知m是整数部分，n是的小数部分，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
8. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
②有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④图形平移前后，对应点连线平行且相等；
⑤同旁内角互补；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
10. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，…，根据规律，第2024个整数点坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）．
11. 把二元一次方程3x﹣y＋5＝0写成用含x的代数式表示y的形式为____________
12. 已知，是两个连续整数，且，则__________．
13. 如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到三角形，，，则图中阴影部分的面积为__________．
14. 母亲节前，某花店的账目记录显示，5月8日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元；5月12号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，则收入为__________．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，点．若轴，且，则n的值为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）．
16. 计算：
（1）
（2）
17. 解下列的二元一次方程组：
（1）；
（2）
18. 如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
（2）把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，且点A，B，C对应点分别为A′，B′，C′，请你在图中画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
20. 高空坠物极可能造成人身伤害，我国的《民法典》和《刑法》中都有相关的条款，所以高空抛物不仅是违反道德的行为，更是违法行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）已知小明家住15层，每层高度为，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；
（2）已知高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），质量为的物体经过后落在地上，这个物体产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：杀伤无防护人体只需要的动能）
21. 如图， 平分，点F在上，点E在上，与相交于点P，已知．求证：．
证明：（已知），
（ ），
（ ）．
（ ）
_____（ ）
平分（已知），
_____（ ）
（ ）．
22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元．
（1）求，两种型号汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；
（3）若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．
23. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点在同一直线上，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则__________，__________．
（2）现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数；
（3）将（2）中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与射线首次重合的过程中，当与的一边平行时，请直接写出符合条件t的值．新乡十中2023-2024学年下学期七年级数学期中试卷
亲爱的同学们，时间过得真快啊！学期己过半，相信在你的刻苦努力下，在原有的基础上又收获了许多新的数学知识与能力，更加懂得应用数学来解决问题了．请认真审题，规范作答，成功将属于你，加油！
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．
1. 64的立方根是（ ）
A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵43=64，∴64的立方根是4，
故选A
考点：立方根．
2. 如图，小手盖住点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角坐标系内各象限点的坐标特征判断．
【详解】解：第三象限内点坐标，横坐标为负，纵坐标为负，
故选：C．
【点睛】本题考查直角坐标系内点坐标，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键．
3. 下列各式中运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的立方根和算术平方根，根据立方根的定义可判定A；根据算术平方根的定义可判断B；根据实数的运算法则可判断C；根据实数的性质可判断D．
【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
4. 如图，位于A处的1班与相距的B处的2班，共同做一次联谊活动，用方向和距离描述1班相对于2班的位置（ ）
A. 南偏东处 B. 南偏西处 C. 北偏西处 D. 北偏东处
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了方位角的实际应用，1班和2班的距离为，且1班在2班北偏东方向上，据此可得答案．
【详解】解：由题意得，1班相对于2班的位置北偏东处，
故选：D．
5. 已知方程组的解满足，求的值为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的意义和解二元一次方程组，先将已知方程组中不含字母k的方程与组成方程组求出x、y的值，再把x、y的值代入含k的方程求即可．
【详解】解：由题意得：
，解得：，
把代入得：
解之得：，
故选C．
6. 如图，下列条件中：①；②；③；④．能判定的条件个数有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．
【详解】解：①由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到；
②由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不可以得到；
③由，可以根据内错角相等，两直线平行得到；
④由，可以根据内错角相等，两直线平行得到；
故选：C．
7. 已知m是的整数部分，n是的小数部分，则的值为（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出，进而得到，据此代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵m是的整数部分，n是的小数部分，
∴，
∴，
故选：B．
8. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；
②有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
④图形平移前后，对应点连线平行且相等；
⑤同旁内角互补；
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，点到直线的距离的定义，平行线的性质，垂线的定义，对顶角的定义，平移的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：①从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；
②有公共顶点且角的两边互为延长线的两个角叫对顶角，原命题是假命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题；
④图形平移前后，对应点连线平行且相等，原命题真命题；
⑤两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；
∴真命题有2个，
故选：B．
9. 现代办公纸张通常以等标记来表示纸张的幅面规格，一张纸可截成2张纸或4张纸，现计划将100张纸裁成纸和纸，两者共计300张，设可裁成纸张，纸张，根据题意，可列方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是找到等量关系列出方程组．根据一张纸可裁成2张纸或4张纸，可以得出张纸由张纸裁剪而成，张纸由张纸裁剪而成，根据纸100张，得出；再根据纸和纸共计300张，得出即可．
【详解】解：根据题意得：，
故选：D
10. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐标依次为，…，根据规律，第2024个整数点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，故可得当为奇数时，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可．
【详解】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，
如：第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
第个点的坐标为，
……
当为奇数时，第个点的坐标为，
当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，
∵，为奇数，
∴第个点的坐标为，
∴退1个点，得到第个点是．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）．
11. 把二元一次方程3x﹣y＋5＝0写成用含x的代数式表示y的形式为____________
【答案】y=3x+5
【解析】
【分析】把x看成已知数求出y即可．
【详解】解：方程3x﹣y＋5＝0可化为y=3x+5，
故答案为：y=3x+5．
【点睛】本题考查解二元一次方程，解题关键是将x看成已知数求出y．
12. 已知，是两个连续整数，且，则__________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据为连续整数， 即可求得的值，再代入代数式求解即可
【详解】为连续的整数，
即
故答案为：9
【点睛】本题考查了估计无理数的大小．
13. 如图，将直角三角形沿方向平移4个单位长度得到三角形，，，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】26
【解析】
【分析】由平移性质得阴影部分面积等于梯形的面积，求出此梯形面积即可．
【详解】解：∵直角三角形沿方向平移4个单位长度得到三角形，
∴，，
∴，，
而，
∴阴影部分面积为26．
故答案为：26．
【点睛】本题考查了平移的性质，利用平移性质把阴影部分面积转化梯形面积是本题的关键．
14. 母亲节前，某花店的账目记录显示，5月8日卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元；5月12号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，则收入为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了代数式求值，设康乃馨和百合花的单价分别为x元，y元， 根据卖出39枝康乃馨和21枝百合花，收入396元可得，再由进行求解即可．
【详解】解：设康乃馨和百合花的单价分别为x元，y元，
由题意得，，
∴，
∴，
∴5月12号以同样的价格卖出同样的52枝康乃馨和28枝百合花，则收入为元，
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，已知点，点．若轴，且，则n的值为__________．
【答案】2或4##4或2
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据平行于y轴的直线上的点横坐标相等得到，再由，得到，据此求出m的值，进而求出n的值即可．
【详解】解：∵点，点，轴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：2或4．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）．
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算：
（1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先计算立方根和绝对值，再根据实数的运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解下列的二元一次方程组：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程，再利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：
整理得
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为．
18. 如图，直线，相交于点O，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义．
（1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解；
（2）设，则，，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴．
19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
（2）把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，且点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′，请你在图中画出三角形A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）求三角形ABC的面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）△ABC的面积为5．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据A点坐标，将坐标轴在A点平移到原点即可；（2）按平移方式进行平移后再作出三角形即可；（3）利用矩形面积减去周围三角形面积得出即可．
解：（1）如图所示：平面直角坐标系即为所求；
（2）如图所示：△A′B′C′即为所求，A′（1，2），B′（4，﹣2），C′（5，0）；
（3）△ABC的面积为：4×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×3×4=5．
20. 高空坠物极可能造成人身伤害，我国的《民法典》和《刑法》中都有相关的条款，所以高空抛物不仅是违反道德的行为，更是违法行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）已知小明家住15层，每层的高度为，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；
（2）已知高空抛物动能（焦）物体质量（千克）高度（米），质量为的物体经过后落在地上，这个物体产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：杀伤无防护人体只需要的动能）
【答案】（1）
（2）这个物体产生的动能会伤害到楼下的行人，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的应用：
（1）直接根据楼层的高度代入公式计算即可；
（2）先根据公式求出高度，进而求出物体的动能即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，，
答：该物品落地的时间为；
【小问2详解】
解：这个物体产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：
∵，
∴，
∴该物体的动能为，
∴这个物体产生的动能会伤害到楼下的行人．
21. 如图， 平分，点F在上，点E在上，与相交于点P，已知．求证：．
证明：（已知），
（ ），
（ ）．
（ ）
_____（ ）
平分（已知），
_____（ ）
（ ）．
【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行； ； 两直线平行，同位角相等；；角平分线定义；等量代换
【解析】
【分析】先根据邻补角的定义得出，故可得出，由内错角相等，两直线平行得出，根据平行线的性质及角平分线的定义即可得出结论．
【详解】证明： ( 已知),
( 邻补角定义),
( 同角的补角相等)．
( 内错角相等,两直线平行)
( 两直线平行,同位角相等)．
平分（已知),
(角平分线定义)．
( 等量代换)．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理和性质是解题关键．
22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元．
（1）求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你写出所有购买方案；
（3）若该公司销售1辆型汽车可获利1．8万元，销售1辆型汽车可获利1．1万元，在第（2）问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大，最大利润是多少元．
【答案】（1）型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元
（2）共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆
（3）方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用：
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据2辆型汽车和3辆型汽车的进价共计120万元；3辆型汽车和4辆型汽车的进价共计170万元列出方程组求解即可；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，由题意得，解方程即可得到答案；
（3）根据（2）所求分别求出三种方案的利润即可得到答案．
【小问1详解】
解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：，
答：型汽车每辆的进价为30万元，型汽车每辆的进价为20万元；
【小问2详解】
解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
化简，得：，
，均为正整数或或；
共3种购买方案：方案一：购进型车2辆，型车7辆；方案二：购进型车4辆，型车4辆；方案三：购进型车6辆，型车1辆；
【小问3详解】
解：方案一获得利润：（万元）；
方案二获得利润：（万元）；
方案三获得利润：（万元）；
，
方案三购进型车6辆，型车1辆获利最大，最大利润是11．9万元．
23. 将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，点在同一直线上，，．
（1）若三角板如图1摆放时，则__________，__________．
（2）现固定位置不变，将沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数；
（3）将（2）中固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至与射线首次重合的过程中，当与的一边平行时，请直接写出符合条件t的值．
【答案】（1）15；135
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质：
（1）过E作，证明，进而求解即可；
（2）根据（1）证明，利用角平分线的定义求出，，可得结论；
（3）分两种情况画出对应的图形，利用平行线的性质求出的度数即可得到答案．
【小问1详解】
解：过E作，如图1，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15；135．
【小问2详解】
解：同（1）可证，，
，
，
，
，
，
分别平分和，
，
．
【小问3详解】
解：当时，如图3，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，当时，
∴，
∴
∴；
由于三点共线，则与不可能平行，
综上所述， 或．
