2023—2024学年第二学期期中考试初一数学试题
一、选择题（在每个小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，能用∠1、∠EOF、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A. B. C. D.
3. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法中，正确有（ ）个．
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③；
④过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形是九边形
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，观察图形，下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 射线和射线是同一条射线
C. 直线和直线同一条直线 D. 图中有条线段
7. 现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（ ）
A. B. C. D.
8. 王明与李丽约定周日下午3点30分时到敬老院看望老人．3点30分时，时钟时针与分针所夹的锐角是（ ）
A. 70° B. 75° C. 80° D. 90°
9. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ）
A. 36 B. 27 C. 18 D. 9
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 如图，在灯塔处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么_________．
12. 若是一个完全平方式，则________．
13. 如图，在半径为1的圆中，扇形AOB的面积为，则这个扇形的圆心角的度数为__________．
14. 如果，展开式中，不含项，那么________．
15. 观察下列各式：
；
；
；
请根据上面算式的规律直接写出下面式子的结果．
________．
三、解答题（本题7个大题，共55分）
16. 计算
（1）
（2）
17. 先化简，再求值：已知，求的值．
18. 作图题：
如图，已知线段，，，用尺规作线段，使．
要求：保留作图痕迹，不必写出作图过程，标注字母和的位置．
19. 如图，OE为的平分线，求： 的大小.
20. 已知，，．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）字母a，b，c之间的数量关系为________．
21. 如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度；
（3）在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长．
22. 通常，用两种不同方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形长和宽分别为与，且，求长方形的面积？2023—2024学年第二学期期中考试初一数学试题
一、选择题（在每个小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每题3分，共30分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方,根据完全平方公式，同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方法则逐项分析即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
2. 如图，能用∠1、∠EOF、∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可．
【详解】解：A、不能用∠1，∠EOF，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误；
B、不能用∠1，∠EOF，∠O三种方法表示同一个角，故B选项错误；
C、不能用∠1，∠EOF，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误；
D、能用∠1，∠EOF，∠O三种方法表示同一个角，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．
3. “春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握表示方法是解题关键．
4. 下列说法中，正确的有（ ）个．
①过两点有且只有一条直线；
②连接两点的线段叫做两点间的距离；
③；
④过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形是九边形
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了度分秒的进制，两点间的距离，直线的性质，线段的性质，多边形对角线的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据度分秒的进制，两点间的距离，直线的性质，线段的性质，多边形对角线的性质，逐一判断即可解答．
【详解】解：过两点有且只有一条直线，故正确；
连接两点线段的长度叫做两点间的距离，故不正确；
，故不正确；
过多边形的一个顶点最多可以作出该多边形的6条对角线，则这个多边形是九边形，故正确；
所以，上列说法中正确的有2个，
故选：B．
5. 已知，，，那么a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据零指数幂 ，负整数指数幂 分别计算，在比较即可．
【详解】；
；
，
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的含义，解题的关键是熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的含义．
6. 如图，观察图形，下列结论中不正确的是（ ）
A. B. 射线和射线是同一条射线
C. 直线和直线是同一条直线 D. 图中有条线段
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了三角形的三边关系，直线、射线、线段的定义，根据三角形的三边关系及直线、射线、线段的定义依次判断即可求解，掌握三角形的三边关系及直线、射线、线段的定义是解题的关键．
【详解】解：、，该选项正确，不合题意；
、射线和射线是同一条射线，该选项正确，不合题意；
、直线和直线是同一条直线，该选项正确，不合题意；
、图中有共条线段，该选项错误，不合题意；
故选：．
7. 现定义运算“”，对于任意有理数，，都有．例如：，由此可知等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义运算法则，整体代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
=
=
=．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解题的关键是准确理解新定义并能熟练应用．
8. 王明与李丽约定周日下午3点30分时到敬老院看望老人．3点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是（ ）
A. 70° B. 75° C. 80° D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】先求出此时时针与分针相距的格数，根据每个格的度数是30°即可求出答案.
【详解】3点30分时时针与分针相距个格，
∴3点30分时，时钟的时针与分针所夹的锐角是，
故选：B.
【点睛】此题考查钟面角，确定某时刻钟面上时针与分针的位置是解题的关键.
9. 在下列计算中，不能用平方差公式计算是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式进行逐一判断即可；
【详解】解：A、对于可以令，则原式可以化为符合平方差公式，故此选项不符合题意；
B、可以令，则原式可以化为符合平方差公式，故此选项不符合题意；
C、，符合平方差公式，故此选项不符合题意；
D、，不符合平方差公式，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
10. 如图，两个正方形的边长分别为a, b,如果a+b=ab=9,则阴影部分的面积为（ ）
A. 36 B. 27 C. 18 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可．
【详解】解：∵a+b=ab=9，
∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27．
故选B．
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 如图，在灯塔处观测到轮船A位于北偏东的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么_________．
【答案】##107度
【解析】
【分析】根据题意可得，，从而即可解答．
【详解】
如图，∵在灯塔处观测到轮船A位于北偏东的方向，
∴，
∵轮船B在灯塔南偏东的方向，
∴，
∴．
故答案：
【点睛】此题主要考查了方向角，根据题意找出图中对应角的度数是解题的关键．
12. 若是一个完全平方式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．
完全平方式：的特点是首平方，尾平方，首尾底数积的两倍在中央，先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方式的二倍项即可求解．
【详解】∵是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：．
13. 如图，在半径为1的圆中，扇形AOB的面积为，则这个扇形的圆心角的度数为__________．
【答案】60°
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可得到答案.
【详解】由题意得： ，
解得n=60，即圆心角是60°，
故答案为：60°.
【点睛】此题考查扇形面积的计算公式，熟记公式是解题的关键.
14. 如果，展开式中，不含项，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式，熟练计算同底数幂的乘法和多项式与多项式相乘是解题的关键．
根据算出n的值，根据展开式中不含项，即项的系数为0算出m的值，将m、n的值代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴，解得，
∵展开式中不含项，
∴
解得，
∴．
故答案为：．
15. 观察下列各式：
；
；
；
请根据上面算式的规律直接写出下面式子的结果．
________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律探究，根据所给算式找出规律，然后根据规律计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
…，
∴，
∴
，
故答案为：．
三、解答题（本题7个大题，共55分）
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方法则计算，再合并同类项；
（2）先算括号里，再算除法即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
17. 先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】，2019
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，最后一项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求值．
【详解】
∵
∴
∴原式．
18. 作图题：
如图，已知线段，，，用尺规作线段，使．
要求：保留作图痕迹，不必写出作图过程，标注字母和的位置．
【答案】图见解析
【解析】
【分析】利用基本作图（作一条线段等于已知线段），在射线上依次截取，，，再在线段上截取，则线段即为所求．
【详解】解：如图所示：线段即为所求；
【点睛】本题考查基本作图—线段．熟练掌握作一条线段等于已知线段的方法，是解题的关键．
19. 如图，OE为的平分线，求： 的大小.
【答案】108
【解析】
【分析】由可求得,根据角平分线的性质，从而求得答案.
【详解】∵，
∴，
∴,
∵OE为的平分线，
∴
【点睛】本题考查了角平分线的定义，利用了角平分线的性质求角的和差．根据题目中的几何语言列出等式，是解题的关键
20. 已知，，．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）字母a，b，c之间的数量关系为________．
【答案】（1）25 （2）100
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
（1）根据幂的乘方可进行求解；
（2）根据同底数幂的乘除法可进行求解；
（3）由题意得，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴；
【小问3详解】
解：，，，
∴，
∴；
故答案为．
21. 如图所示，线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点．
（1）如图①，求线段的长；
（2）如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度；
（3）在（2）的条件下，点M是线段上的一点，且，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或8
【解析】
【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键．
（1）根据线段中点的性质求得，的长，进而根据求解即可；
（2）设，则，根据题意得到，，得到进而求解即可；
（3）根据题意分点M在点C左边和点M在点C右边两种情况讨论，然后分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵点是线段的中点，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
；
小问2详解】
∵
∴设，则
∵
∴
解得
∴，
∴；
【小问3详解】
①当点M在点C左边时，
∵，
∴；
②当点M在点C右边时，
∵，
∴．
22. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）观察图②，请你写出、、之间的等量关系是_______；
（2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值；
（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为与，且，求长方形的面积？
【答案】（1）
（2）25 （3）8
【解析】
【分析】本题考查乘法公式的几何背景，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
（1）根据大正方形的面积等于中间小正方形的面积加上四个长方形的面积求解即可；
（2）利用（1）中的公式得到，结合平方根的定义求解即可；
（3）设，，则，，再用完全平方公式变形求解即可．
【小问1详解】
图②中，大正方形的面积，
大正方形的面积小正方形的面积个矩形的面积，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得：，
∵，，
∴，
解得：；
【小问3详解】
设，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理，得，
即长方形的面积是8．
