2024 年惠阳区初中毕业学业水平模拟考试（一）
数学
说明：本试卷共 6页，答题卡共 4页，满分 120 分，考试时间：120 分钟
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分）
1. 2024 的相反数是（ ）
1 1
A.2024 B.-2024 C. D.
2024 2024
2. 如下左图，是由四个大小相同的小正方体拼成的几何体，则这个几何体的左视图
是（ ）
3. 2024 年 3月 30 日，中国散裂中子源二期工程在广东东莞启动建设，二期工程将在
原装备基础上增设科研设备，建成后装备研究能力将大幅提升。当前，全球建成的散
裂中子源装备仅有 4个，中国散裂中子源被誉为探索物质材料微观结构的“超级显微
镜”，能够为探索科学前沿，解决国家重大需求和产业发展中的关键科学问题提供科技
利器。已知中子的半径约为 0.0 000 000 000 000 016m，将 0.0 000 000 000 000
016m 用科学记数法表示为（ ）
A.16 10 14 B.1.6 10 14 C.1.6 10 15 D.0.16 10 14
x
4. 若分式 有意义，则 x的取值范围是（ ）
x 1
A.x≠0 B.x≠-1 C.x≥1 D.x≠1
5. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植，某种植户为了
考察所种植的杂交水稻的长势，从稻田中随机抽取 7株水稻苗，测得苗高（单位：
cm）分别是 23,24,23,25,26,23,25。则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.24,25 B.23,23 C.23,24 D.24,24
6. 在平面直角坐标系中，点 P（-1，m2 +1）位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7. 如图，直线 l l ，CD⊥AB 于点 D，∠1=50°，则∠BCD 的度数为（ ） 1 2
A.40° B.45° C.50° D.30°
8. 如图，数轴上表示实数 3 的点可能是（ ）
A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 S
9. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直
角三角形，若正方形 A，B，C，D的面积分别是 3、5、2、3，则最大正方形 E的面积是
（ ）。
A.8 B.10 C.13 D.15
10. 二次函数 y = ax2 +bx+ c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，下列结
论：①abc<0；②方程：ax2 + bx + c = 0(a 0)必有一个根大于 2且小于 3；③若
3
(0, y1 )， , y2 是抛物线上的两点，那么 y y ；④11a+2c>0；⑤对于任意实数 m，1 2
2
都有 m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（ ）
A.②④⑤ B.①②④ C.②③④ D.②④
第 7 题图 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3 分，共 18 分）
11. 因式分解：9a2 9= 。
0
12. 计算： 4 (3 ) = 。
13. 一个多边形内角和为 720°，则这个多边形是 边形。
14. 对一个实数 x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数 x”
到“判断结果是否大于 190”为一次操作。若操作恰好进行一次停止，则 x的取值范围
是 。
15. 如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形，BC 是 O 的直径，连接 BD，若∠
DBC=30°，则∠BAD 的度数是 °。
k
16. 如图，已知一次函数 y = k x+b 与反比例函数 y = 2 的图象交于第一象限内的点1
x
1
A ,8 和 B（4，m），过点 A 作 AP⊥y 轴于点 P，过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q。若△
2
AOP 的面积记为 S1 ，△BOQ 的面积记为 S2 ，则 S1 S2 （填“>”、“<”或“=”）。
三、解答题（一）（本大题共 3小题，第 17题 8分，第 18题 6分，第 19 题 7分，共
21 分）
17. （1）解方程： x2 4x = 0
1 a
（2）先化简，再求值： +1 ，其中 a=-4.
a 1 a
2
1
18. 在植树节到来之际，为激发同学们爱护植物，保护生态环境的意识，我市某学校
组织七、八年级学生开展植树造林活动。已知七年级植树 90 棵与八年级植树 120 棵所
用的时间相同，两个年级平均每小时共植树 35 棵，求八年级平均每小时植树多少棵？
19. 如图，已知点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点 E，F 为垂足，且 BE=CF，
∠BDE=30°，求证：△ABC 是等边三角形。
四、解答题（二）（本大题共 3小题，每小题 9分，共 27 分）
20. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°。
（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①作∠ACB 的平分线，交斜边 AB 于点 D；
②过点 D 作 AC 的垂线，垂足为点 E；
（2）在（1）作出的图形中，若 CB=4,CA=6，求 DE 的长。
21. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，惠州市的非物质文
化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格。某学校为了让学生深入了解非物质文化遗
产，决定邀请 A 惠东盖子狮，B 龙门农民画，C 惠州剪纸，D 莫家拳，E 客家凉帽（竹
编技艺）的相关传承人进校园宣讲，现随机抽取若干名七年级学生进行投票，选择自
己喜欢的项目（假设每名学生只能选择一项），并将投票结果绘制成如下两幅不完整的
统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生共 人,补全统计图 1（要求在条形图上方注明人
数）；
（2）若七年级学生共有 1200 人，根据调查结果，试估计七年级喜欢“莫家拳”项目的
学生人数；
（3）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求
选中 B 龙门农民画和 C 惠州剪纸这两个项目的概率。
22. 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务
问题：你了解黄金矩形吗？
问题背景
素材一 矩形就是长方形，四个角都是90 ，两组对边平行且相等
宽与长的比是 5 1 （约为 0.618）的矩形叫做黄金
2
矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界
素材二
各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都
采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙．
2
我们在学习二次根式时．常遇到 这种分母含 例如：
3 +1
素材三 有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式
2 2( 3 1) 2( 3 1)
= = = 3 1
2 2
来进行化简．我们称之为“分母有理化”． 3 +1 ( 3 +1)( 3 1) ( 3) 1
素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图 2 所示
的方法折出一个正方形，然后把纸片展平
【第二步】如图 3，把这个正方形折成两个相等的
操作步 矩形，再把纸片展平．
骤 【第三步】折出内侧矩形的对角线 AB ，并把 AB 折
到图 4 中所示的 AD 处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点 D折出 DE ，
矩形 BCDE （图 5）就是黄金矩形．
解决问题
1
任务一 化简：
2 1
设 MN 为 x，请用含 x 的式子表示 AB，并证明矩形
任务二
BCDE 是黄金矩形
如图 5，若 MN=2，连接 MC，求点 E 到线段 MC
任务三
的距离（提示：等面积法）
五、解答题（三）（本大题共 2小题，每小题 12分，共 24分）
23. 如图，PB 是 O 的切线，切点为 B，点 A 在 O 上，且 PA=PB。连接 AO 并延长
交 O 于点 C。交直线 PB 于点 D，连接 OP。
（1）证明：PA 是 O 的切线；
（2）证明： DB2 = DC DA;
3
（3）若 BD=4，sin∠ADP= ，求线段 OP 的长。
5
24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = x2 +bx+ c 与 x 轴交于 A（-1,0），B
两点，与 y 轴交于点 C（0，-3），点 P 为 x 轴下方抛物线上一点。
（1）求抛物线的解析式；
9
（2）如图 1，当点 P 的横坐标为 2 时，D 为线段 AP 上一点，若△OBD 的面积为 ，
4
请求出 D 点坐标；
（3）如图 2，点 P 在 y 轴的右侧，直线 AP 与 y 轴交于点 M，直线 BM 与抛物线交于
PH
点 Q，连接 PQ 与 y 轴交于点 H，请问 的值是否为定值，如果是，请求出这个定
QH
值；如果不是，请说明理由。
