第一章 二次根式章末总复习十三大题型
【浙教版】
题型一：判断二次根式及二次根式的值
【例题1-1】下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【例题1-2】当时，代数式的值是 ．
【答案】0
【详解】解：将代入得，
，
故答案为：0．
【变式训练1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、没有意义，故A不符合题意；
B、不是二次根式，故B不符合题意；
C、是二次根式，故C符合题意；
D、当时，是二次根式，当时，没有意义，故D不符合题意；
故选C．
【变式训练1-2】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、的被开方数，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、，∵，∴，是二次根式，故本选项符合题意；
C、的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当时，，∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-3】当时，二次根式的值是 ．
【答案】2
【详解】解：当时，，
故答案为：2．
【变式训练1-4】当时，求二次根式的值．
【答案】1
【详解】解：当时，
．
【变式训练1-5】若求的值．
【答案】
【详解】解：，
，
解得，
．
题型二：求二次根式中的参数
【例题2】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为2，
故选：A．
【变式训练2-1】已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式训练2-2】若是一个整数，则最小正整数的值是 ．
【答案】6
【详解】解：，
当，6，时，都可以开方，
是最小正整数，
时，被开方数开得尽，结果为整数，故．
故答案为：6．
【变式训练2-3】已知a为整数，且满足，则a的值为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
又∵为整数，
．
故答案为：25．
【变式训练2-4】已知m，n为实数，且，则 ．
【答案】
【详解】解：由二次根式的定义得：，
解得，
将代入得：，
则，
故答案为：．
【变式训练2-5】已知有理数满足，则的值是 .
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b为有理数，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
题型三：二次根式有意义的条件
【例题3】能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意知，，，
解得，，
故选：C．
【变式训练3-1】已知，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
，，
解得：，
a的值可以是，
故选：C．
【变式训练3-2】要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【详解】解：由题意可得，，，
∴且，
故选：．
【变式训练3-3】若实数m满足，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：由题意可知：，
解得：，
故答案为：．
【变式训练3-4】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【变式训练3-5】函数的自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：，
解得：，
故答案为：．
题型四：利用二次根式的性质化简
【例题4】化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
故选：C．
【变式训练4-1】已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，
和异号，
∵，
∴，，
∴，
故选：C．
【变式训练4-2】化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：且，
，
，
故选：D．
【变式训练4-3】化简：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵有意义，
∴，且
∴
∴．
故选：B．
【变式训练4-4】当时，化简的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【变式训练4-5】若，则化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】∵
∴， 则
∴
故选：C．
题型五：最简二次根式及其求值
【例题5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A、为最简二次根式，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：A．
【变式训练5-1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【详解】解：，
最简二次根式与可以合并，
最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故选：C．
【变式训练5-2】在下列根式：，，，中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：，，，中，最简二次根式有，，共2个；
故选B．
【变式训练5-3】最简二次根式和最简二次根式的和为最简二次根式，则 ， ．
【答案】 3 14
【详解】解：由题意得，最简二次根式于最简二次根式是同类二次根式，
∴,
解得，
当时，，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；
当时，，原二次根式是最简二次根式，
∴，
∴,
故答案为： 3；14．
【变式训练5-4】最简二次根式与可以合并，则 ．
【答案】4
【详解】解：最简二次根式与可以合并，
．
．
故答案为：4．
【变式训练5-5】若最简二次根式与的和是一个单项式，那么 ．
【答案】0
【详解】解：由题意，得：最简二次根式与为同类二次根式，
∴，
∴；
故答案为：0．
【变式训练5-6】若和都是最简二次根式，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
解得：
∴
故答案为：
题型六：同类二次根式及其求值
【例题6】下列二次根式化简后与的被开方数相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A. ，被开方数不同，不符合题意；
B. ，被开方数相同，符合题意；
C. ，被开方数不同，不符合题意；
D. ，被开方数不同，不符合题意；
故选B．
【变式训练6-1】下列说法正确的是（ ）
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
【答案】C
【详解】解：A、，选项A不正确；
B、依题意有，所以，选项B不正确；
C、，所以与时同类二次根式，选项C正确；
D、当时，没有意义，当时，，选项D不正确．
故选：C．
【变式训练6-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
【答案】1
【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，是整数，不符合题意；
综上所述，的值是1．
故答案为：1
【变式训练6-3】已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
【答案】3
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：3．
【变式训练6-4】若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是 ．
【答案】
【详解】解：由题意，得：，解得：，
∴的平方根为；
故答案为：．
【变式训练6-5】已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：最简二次根式与可以合并，，
且、，
则①，②，③，
将①、②代入③，得：，
解得：，
、，
．
题型七：二次根式的乘除运算
【例题7】计算：．
【答案】
【详解】解：
．
【变式训练7-1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)15(2)4(3)(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【变式训练7-2】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
（2）
【变式训练7-3】化简计算．
【答案】
【详解】解：
．
【变式训练7-4】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)(2)1(3)(4)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【变式训练7-5】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
题型八：二次根式的加减乘除混合运算
【例题8】（1）计算：；
（2）
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）
．
（2）
．
【变式训练8-1】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)2(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练8-2】计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
【变式训练8-3】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
；
（2）
．
【变式训练8-4】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练8-5】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
题型九：二次根式的分母有理化化简求值
【例题9】求值：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，，求的值；
【答案】(1)(2)15
【详解】（1）解：（1）
，
当，时，原式；
（2）解：，，
，，
原式．
【变式训练9-1】已知，，求的值．
【答案】；1
【详解】解：，
，
把，代入得：
原式．
【变式训练9-2】已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)194(2)
【详解】（1）解：，
，
，
（2）解：由（1）可知：，
，
【变式训练9-3】已知实数x，y满足关系式，求的值．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴且，
∴，
∴，
∴原式
，
．
【变式训练9-4】（1）已知，求的值．
（2），．求值：．
【答案】（1）14；（2）3
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴．
【变式训练9-5】已知．
(1)若，计算M的值；
(2)若M的值为整数，求正整数a的最小值．
【答案】(1)(2)4
【详解】（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：由（1）得，
∵M的值为整数，a是正整数，
∴是正整数，即是为正的完全平方数，
∴a得最小值为4．
题型十：二次根式的分母有理化
【例题10】阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简；
(2)下面是甲、乙两个同学对分母有理化的过程：
甲：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
【答案】(1)见解析(2)A(3)
【详解】（1）方法一：；
方法二：；
（2）甲,乙同学计算均都正确，
故选：A；
（3）∵
．
【变式训练10-1】（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）2
【详解】解∶（1）∵，，
∴，，
；
（2）根据题意得且，
∴，
∴，
∴．
【变式训练10-2】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)14(2)
【详解】（1），
，，
；
（2）解：
，，
，
．
【变式训练10-3】已知 ．
(1)求的值；
(2)化简并求值：．
【答案】(1)3(2)
【详解】（1）解： ，
；
（2），
，
，
，
，
将代入得：原式
．
【变式训练10-4】小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
(1)请观察上面的解题过程，直接写出下列各式的结果．
①______；
②（为正整数）______．
(2)求的值．
【答案】(1)① ②(2)
【详解】（1）解：①；
②
（2）
．
【变式训练10-5】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题，已知，求的值，他是这样解答的：
，，
，即，
．．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)________
(2)化简
(3)若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，
故答案为：
（2）
（3）∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
【变式训练10-6】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出______；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出的值．
【答案】(1)(2)5(3)
【详解】（1）解：
；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵
∴，即，
∴，，
∴
题型十一：二次根式的应用
【例题11】已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【答案】(1)
(2)8，长方形周长大
【详解】（1）解：长方形的周长；
（2）解：长方形的面积，
与长方形等面积的正方形的边长，
与长方形等面积的正方形的周长，
，，，
，
长方形的周长大．
【变式训练11-1】古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴
【变式训练11-2】如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形．
(1)若，求甲盒子的侧面积；
(2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，，
①______（填“>”“=”“<”）
②说明①的理由．
【答案】(1)(2)①；②见解析
【详解】（1）解长方体体积相同，高相同，
甲、乙底面积相同．
．
，
．
．
甲盒子的侧面积；
（2）解：①由②可知，
故答案为：；
②由题意，，
，
均为非负数，，
，
即，
．
，
，
．
【变式训练11-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和，
∴大正方形的边长；
（2）解：∵大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【变式训练11-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间．
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【答案】(1)(2)；严禁高空抛物
【详解】（1）∵，,
∴．
（2）∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
对人构成伤害，
故严禁高空抛物．
【变式训练11-4】交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【答案】(1)
(2)没有超速，理由见解析
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：∵肇事汽车的速度为
∴肇事汽车没有超速．
题型十二：二次根式比较大小
【例题12】阅读下面计算过程：
；
；
.
解答下列问题．
(1)仿照上面的解题过程化简：
(2)请直接写出的化简结果： ．
(3)利用上面的规律，请化简 ．
(4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)(4)
【详解】（1）解：，
故答案为：，．
（2）解：由题目计算过程可得：，
故答案为：；
（3）解：原式
．
（4）解：∵理由如下，
根据（2）中的规律可得：，，
∵，
∴，
∴．
【变式训练12-1】阅读理解题：
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知，，试比较，，的大小．
【答案】(1)①；②；(2)(3)
【详解】（1）解：①；
②，
（2）
；
（3），
同理：，
，
∵，
∴．
【变式训练12-2】材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2(2)，理由见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，且，
∴．
【变式训练12-3】观察下列等式：
①；
②；
③；……
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：
①
②
(2)计算___________（为正整数）．
(3)计算：___________；
(4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”）
【答案】(1)①；②(2)(3)(4)
【详解】（1）解：①；
②；
（2），
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）∵，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练12-4】我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）；
（3）；；
，
．
【变式训练12-5】阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，(2)(3)
(4)，理由见解析
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
题型十三：双重二次根式
【例题13】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）
，
，
故答案为：，；
（2）．
【变式训练13-1】阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解：
．
【变式训练13-2】观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简：______，______．
(2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【答案】(1)，
(2)；理由见解析
【详解】（1）解：；
；
故答案为：，；
（2）∵，
∴
即，
∴
【变式训练13-3】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：；
（2）；
（3）∵，
∴，，
∴
又∵、n为正整数，
∴，或者，
∴当时，；
当时，．
∴a的值为：或．
【变式训练13-4】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）解：
，
故答案为：，，；
（2），
，
，
，
，
．
【变式训练13-5】先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【答案】(1)④，(2)①；②
【详解】（1）解：①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 ④步出现了错误，
故答案为：④，；
（2）解：①原式
；
②原式
．
【变式训练13-6】阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可
变为，即变成，从而使得．
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简；
(2)化简；
(3)若，求a的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，则．
题型梳理
知识点1
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。
可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。即：若 ，则 叫做的平方根，记作 。其中叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。注意事项：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；
一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中，叫做被开方数。
知识点2
1. 非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即。因为是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数，它的二次根式是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，，，，等等。
知识点3
如果一个二次根式符合下列两个条件：
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
注意：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
知识点4
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
知识点5
二次根式的运算法则主要包括乘法、除法、加减法，以及有理化根式。
具体如下：乘法法则。当两个二次根式相乘时，结果是两个根式中被开方数的乘积，根指数保持不变。
除法法则。两个二次根式相除，结果是两个根式中被开方数相除的结果，根指数不变。加减法法则。先将要进行运算的二次根式化为最简形式，再合并相同被开方数的项。
有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，则这两个代数式被称为有理化根式或有理化因式。
在进行二次根式的运算时，应遵循与实数相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，则先计算括号内的内容。
二次根式的分母有理化，又称有理化分母，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。这个过程会使根式的运算简便。
有理化因式确定方法如下：
单项二次根式：利用来确定，如与互为有理化因式。
两项二次根式：利用平方差公式来确定。
分母有理化的方法与步骤如下：
先将分子、分母化成最简二次根式。
将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式。
具体方法包括自乘法和公式法：
自乘法：利用。
公式法：利用平方差(a+b)(a-b)=a -b 。
知识点6
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第一章 二次根式章末总复习十三大题型
【浙教版】
题型一：判断二次根式及二次根式的值
【例题1-1】下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【例题1-2】当时，代数式的值是 ．
【变式训练1-1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】当时，二次根式的值是 ．
【变式训练1-4】当时，求二次根式的值．
【变式训练1-5】若求的值．
题型二：求二次根式中的参数
【例题2】已知是正整数，是整数，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2-1】已知x，y为实数，若满足，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【变式训练2-2】若是一个整数，则最小正整数的值是 ．
【变式训练2-3】已知a为整数，且满足，则a的值为 ．
【变式训练2-4】已知m，n为实数，且，则 ．
【变式训练2-5】已知有理数满足，则的值是 .
题型三：二次根式有意义的条件
【例题3】能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】已知，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】要使代数式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【变式训练3-3】若实数m满足，则m的取值范围是 ．
【变式训练3-4】若式子有意义，则x的取值范围是 ．
【变式训练3-5】函数的自变量x的取值范围是 ．
题型四：利用二次根式的性质化简
【例题4】化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】化简二次根式的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】化简：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】当时，化简的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
【变式训练4-5】若，则化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
题型五：最简二次根式及其求值
【例题5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【变式训练5-2】在下列根式：，，，中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练5-3】最简二次根式和最简二次根式的和为最简二次根式，则 ， ．
【变式训练5-4】最简二次根式与可以合并，则 ．
【变式训练5-5】若最简二次根式与的和是一个单项式，那么 ．
【变式训练5-6】若和都是最简二次根式，则 ．
题型六：同类二次根式及其求值
【例题6】下列二次根式化简后与的被开方数相同的二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】下列说法正确的是（ ）
A．化简的结果是
B．要使在实数范围内有意义，则
C．与是同类二次根式
D．是最简二次根式
【变式训练6-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
【变式训练6-3】已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ．
【变式训练6-4】若最简根式和是同类二次根式，则的平方根是 ．
【变式训练6-5】已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．
题型七：二次根式的乘除运算
【例题7】计算：．
【变式训练7-1】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练7-2】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练7-3】化简计算．
【变式训练7-4】计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式训练7-5】计算：
(1)；
(2)．
题型八：二次根式的加减乘除混合运算
【例题8】（1）计算：；
（2）
【变式训练8-1】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练8-2】计算
(1)；
(2)．
【变式训练8-3】计算：
(1)
(2)
【变式训练8-4】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式训练8-5】计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型九：二次根式的分母有理化化简求值
【例题9】求值：
(1)已知，，求的值；
(2)已知，，求的值；
【变式训练9-1】已知，，求的值．
【变式训练9-2】已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式训练9-3】已知实数x，y满足关系式，求的值．
【变式训练9-4】（1）已知，求的值．
（2），．求值：．
【变式训练9-5】已知．
(1)若，计算M的值；
(2)若M的值为整数，求正整数a的最小值．
题型十：二次根式的分母有理化
【例题10】阅读材料：在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
方法一：
方法二：
这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．
解决问题：
(1)选择你喜欢的一种方法化简；
(2)下面是甲、乙两个同学对分母有理化的过程：
甲：
请你判断，甲、乙两个同学的化简过程（ ）
A．甲、乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲、乙都错
(3)化简：
【变式训练10-1】（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【变式训练10-2】已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式训练10-3】已知 ．
(1)求的值；
(2)化简并求值：．
【变式训练10-4】小明在探究二次根式时发现了两个有趣的变形：一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
(1)请观察上面的解题过程，直接写出下列各式的结果．
①______；
②（为正整数）______．
(2)求的值．
【变式训练10-5】在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题，已知，求的值，他是这样解答的：
，，
，即，
．．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1)________
(2)化简
(3)若，求的值．
【变式训练10-6】小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，．
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)观察上面解答过程，请写出______；
(2)化简；
(3)若，请按照小明的方法求出的值．
题型十一：二次根式的应用
【例题11】已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【变式训练11-1】古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．
【变式训练11-2】如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形．
(1)若，求甲盒子的侧面积；
(2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，，
①______（填“>”“=”“<”）
②说明①的理由．
【变式训练11-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
【变式训练11-3】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．
(1)求物体从的高空落到地面的时间．
(2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量×高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量）
【变式训练11-4】交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）
(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
题型十二：二次根式比较大小
【例题12】阅读下面计算过程：
；
；
.
解答下列问题．
(1)仿照上面的解题过程化简：
(2)请直接写出的化简结果： ．
(3)利用上面的规律，请化简 ．
(4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由．
【变式训练12-1】阅读理解题：
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：①______，②______；
(2)计算：；
(3)已知，，试比较，，的大小．
【变式训练12-2】材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【变式训练12-3】观察下列等式：
①；
②；
③；……
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
(1)化简：
①
②
(2)计算___________（为正整数）．
(3)计算：___________；
(4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”）
【变式训练12-4】我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【变式训练12-5】阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
题型十三：双重二次根式
【例题13】先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，
即，
(1)填空：______，______；
(2)化简求值．
【变式训练13-1】阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简．
解：．
依据上述计算，填空：
(1) ， ；
(2)根据上述方法求值：．
【变式训练13-2】观察、思考、解答：
反之
(1)仿上例，化简：______，______．
(2)若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由；
【变式训练13-3】像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：
(2)化简：
(3)若，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式训练13-4】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且，
．
(1)填上适当的数：______；
(2)当时，化简．
【变式训练13-5】先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【变式训练13-6】阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可
变为，即变成，从而使得．
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简；
(2)化简；
(3)若，求a的值．
题型梳理
知识点1
如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根。
可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。即：若 ，则 叫做的平方根，记作 。其中叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。注意事项：被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数；
一般地，形如的代数式叫做二次根式，其中，叫做被开方数。
知识点2
1. 非负性：二次根式的被开方数必须是非负实数，即。因为是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。
2. 唯一性：对于给定的非负实数，它的二次根式是唯一确定的。这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。
例如，，，，等等。
知识点3
如果一个二次根式符合下列两个条件：
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
2、被开方数的因数是整数，因式是整式。那么，这个根式叫做最简二次根式。
注意：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
知识点4
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
知识点5
二次根式的运算法则主要包括乘法、除法、加减法，以及有理化根式。
具体如下：乘法法则。当两个二次根式相乘时，结果是两个根式中被开方数的乘积，根指数保持不变。
除法法则。两个二次根式相除，结果是两个根式中被开方数相除的结果，根指数不变。加减法法则。先将要进行运算的二次根式化为最简形式，再合并相同被开方数的项。
有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，则这两个代数式被称为有理化根式或有理化因式。
在进行二次根式的运算时，应遵循与实数相同的运算顺序，即先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，则先计算括号内的内容。
二次根式的分母有理化，又称有理化分母，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。这个过程会使根式的运算简便。
有理化因式确定方法如下：
单项二次根式：利用来确定，如与互为有理化因式。
两项二次根式：利用平方差公式来确定。
分母有理化的方法与步骤如下：
先将分子、分母化成最简二次根式。
将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式。
具体方法包括自乘法和公式法：
自乘法：利用。
公式法：利用平方差(a+b)(a-b)=a -b 。
知识点6
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