数列求和之并项求和、奇偶求和、倒序相加
常见考点
考点一 并项求和
典例1．设数列的首项，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设且前项和为，求．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知变形得出，即可证得结论成立；
（2）计算，利用并项求和法可求得.
(1)证明：对任意的，，则，且，
故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.
(2)解：，
所以，，
因此，.
变式1-1．在正项等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1) 设等差数列的公差为d，由题意结合等差数列的通项公式可求得d，从而得出通项公式，由等差数列的前项和公式得出前项和.
(2) 由题意，相邻的奇数项与偶数项之间的和为定值，再分为奇数，偶数分别求解，即可得出答案.
(1)设等差数列的公差为d．依题意得
，即，
结合可化简得，解得（负值舍去）
∴．
(2)
当n为偶数时，
当n为奇数时，为偶数，
综上所述，
变式1-2．已知等差数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设数列公差为，利用等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式即可求解.
（2）根据分组求和法可得，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
解:设公差为，依题意得
解得
所以.
，
.
变式1-3．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列{bn}的前100项的和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用得到等比数列，求出通项公式；（2）结合第一问利用等比数列求和公式及分组求和进行求解.
(1)由，得，
两式相减得，即，
又当n=1时，，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；
(2)由（1）可知，
所以是首项为，公比为的等比数列，共有50项，所以．
考点二 奇偶求和
典例2．设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，， ．
(1)求和的通项公式．
(2)设数列满足，求．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求出公差和公比，进而求得等差数列和等比数列的通项公式．
（2）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果．
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,则.
由题意,得,解得：,
故,
.
(2)
，
记①，
则 ②
②-①得
所以
变式2-1．已知数列满足，．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明见解析；，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得，求出即可得证，并求出通项公式.
(2)由(1)求出，再按奇偶分组求和即可计算作答.
(1)依题意，，
而，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，，.
(2)由(1)知，，则有，
又，则，
于是有，
因此，，
所以.
【点睛】
思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，有的可借助累加、
累乘求通项的方法分析、探讨项间关系，有的可利用奇偶分析逐步计算探求项间关系而解决问题.
变式2-2．设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)设等差数列公差d，正项等比数列公比q，根据给定条件列出方程组求解即可作答.
(2)利用分组求和方法分别求出等差数列前11个奇数项的和，等比数列前10个偶数项的和即可计算作答.
(1)设等差数列公差为d，正项等比数列公比为q(q>0)，依题意，，解得，
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.
(2)由(1)知，，数列是等差数列，首项为2，公差为4，
，数列是等比数列，首项为4，公比为4，
而，数列的前21项的和：
，
所以数列的前21项的和为.
变式2-3．已知为等差数列，为等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最小值；
(3)设求数列的前2n项和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，然后由已知条件列方程求出，从而可求出和的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用对勾函数的单调性可求得结果，
（3）分别由为奇数和为偶数求和，然后再相加即可
(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，，，
所以，，
解得，，
所以，
(2)由（1）可得，
则，
因为函数在上递减，在是递增，又因为，
所以当时，取得最小值，
(3)当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有
，
所以
，
所以
，
所以数列的前2n项和为
考点三 倒序相加
典例3．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
(1)
因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
(2)
因为，所以，
所以.
(3)
由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
变式3-1．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在，．
【解析】
【分析】
（1）利用求得，利用倒序相加法求得.
（2）利用错位相减求和法求得，由分离常数，结合基本不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），，
，
时满足上式，故（），
∵，∴，
∵ ①
∴ ②
∴①+②，得，∴.
（2）∵，∴，
∴ ①
②
得，
即，
要使得不等式恒成立，恒成立，
∴对于一切的恒成立，即，
令（），则，
，
当且仅当时等号成立，故，所以为所求．
变式3-2．已知函数，设数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得到，然后变形为，利用等差数列的定义求解.
（2）由（1）得到，由，利用倒序相加法求解.
【详解】
（1）因为，所以由得，
所以，，
所以是首项为2，公差为2的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
则，
，
，
所以，
，
，
两式相加，得：
，
所以.
【点睛】
本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.
变式3-3．数列的前项和为
（1）若为等差数列，求证：；
（2）若，求证：为等差数列.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用倒序相加法即可证明.
（2）利用与的关系分别求出与，然后作差，化简即可证明其满足，即可证明为等差数列.
【详解】
（1）证明：已知数列为等差数列，设其公差为，有
则
于是……①
又……②
由①②相加有即
（2）证明：由，有当时，，
所以， ③
， ④
④－③并整理，得，即
所以数列是等差数列．
【点睛】
主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.
巩固练习
练习一 并项求和
1．已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
【分析】
(1)根据，令n＝1，2，3即可求出前三项；
(2)利用与的关系得到{}的递推公式，从而可以证明，其中k为常数；
(3)根据(2)求出，从而求出，根据通项公式的特征，分n为奇数和偶数两种情况进行求和，求和时采用分组求和法与错误相减法.
(1)
当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
(2)
由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
(3)
由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，
=
令，
①
②
则①②得
，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
2．各项都为正数的数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）直接利用数列的递推关系式，结合等差数列的定义，即可求得数列的通项公式；
（2）化简，结合裂项相消法求出数列的和；
（3）利用分组法求得，结合，即可求得的最小值.
(1)
解：因为各项都为正数的数列的前项和为，且满足，
当时，解得；
当时，；
两式相减可得，整理得（常数），
故数列是以2为首项，2为公差的等差数列；
所以.
(2)
解：由，可得，所以，
所以.
(3)
解：由，可得，
所以当为偶数时，，
因为，且为偶数，所以的最小值为48；
当为奇数时，，不存在最小的值，
故当为48时，满足条件.
3．已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1).
(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意首先求得数列的前n项和，然后由前n项和与通项公式的关系即可求得数列的通项公式；
(2)首先确定数列的通项公式，即可求得数列的前项和.
(1)
解：∵数列是公差为2的等差数列，且，∴，
，
∴当时，.
∵符合，
∴.
(2)
解：由（1）得.
因为为偶数时，所以，
所以，.
4．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．记数列的前n项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得的首项和公差，由此求得的通项公式.
（2）利用并项求和法，结合三角函数的知识求得.
(1)
设等差数列的首项为，公差为，
则，
结合可解得，所以.
(2)
，
，
，
，
，
，
，……以此类推，
的最小正周期，
，
所以.
练习二 奇偶求和
5．定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，两式作差可得出的表达式，然后就是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.
(1)
解：因为，所以.
当时，．
当时，由得．
上述两个等式作差得，即，
又因为满足，所以.
(2)
解：因为，所以.
所以，
所以．
所以，即．
6．已知数列满足，.
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)求的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)利用给定的递推公式分段计算、推导作答.
(2)由(1)求出数列的通项公式及前n项和，再由已知可得，借助并项求和法计算作答.
(1)
依题意，因，则，
于是得，而，则，
所以是首项为6，公比为2的等比数列.
(2)
由(1)知，，则，记数列的前n项和为，
则，
因，则，从而有
因此，，
所以的前项和.
7．在①，②，③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记______，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)选①：；选②：；选③：.
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，构造出新数列是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求出数列的通项公式；
（2）选①：用错位相减求和法即可求出数列的前项和；
选②：用分组求和法即可求出数列的前项和；
选③：用裂项相消求和法即可求出数列的前项和.
(1)
因为，所以，
又因为，所以，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
所以，即.
(2)
若选条件①：，
所以，
，
两式相减，得，
所以.
若选条件②：，
所以
.
若选条件③：
所以.
8．设，数列满足，数列的通项公式为.
(1)已知，求k的值；
(2)若，设，求数列最大项及相应的序数；
(3)若，设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)最大项为，相应的序数为57或58.
(3)
【解析】
【分析】
（1）由已知代入即可求解；
（2）由题，计算，分类讨论n的取值，判断与的大小即可得解；
（3）分类讨论n为奇数和n为偶数，利用分组求和结合等差数列求和及等比数列求和公式可得解.
(1)
因为数列满足，
，解得
(2)
由题知
显然，令，得
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
，且
所以数列的最大项为，相应的序数为57或58.
(3)
由已知，即
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
【点睛】
方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
练习三 倒序相加
9．已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列满足,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【解析】
【分析】
(1)由题意结合函数解析式的特征倒序相加即可求得的值；
(2)由题意结合递推关系式，证得后项与前项作差为常数即可证得题中的结论；
(3)结合(2)中的通项公式错位相减可得数列的前n项和.
【详解】
(1)因为.
所以设S=…………（1）
S=. ………（2）
(1)+(2)得:
,
所以S=.
(2)由两边同减去1,得.
所以,
所以,
是以2为公差以为首项的等差数列.
（3）因为.
因为，所以
（3）
（4）
由（3）-（4）得
=
所以=.
【点睛】
本题主要考查等差数列的证明，错位相减求和的方法，倒序相加求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10．函数对任意x∈R都有.
（1）求的值.
（2）数列满足:,数列是等差数列吗 如果是请给予证明，不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）在给出的等式中，取x＝，整理后即可得到答案；
（2）在给出等式中取x＝，得到，把倒序后两式相加求出，然后判断是否为常数．
【详解】
（1）由f（x）+f（1﹣x）＝，令，得
（2）数列{}是等差数列．事实上，令x＝，得，
即，
又，
两式相加得：，
∴，则．
故数列{}是等差数列．
【点睛】
本题考查了等差数列的确定，考查了数列的函数特性，关键是利用倒序相加法求得，属于中档题．
11．设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）计算的值，然后用倒序相加法计算；
（2）由裂项相消法求得，注意分类，，时可转化为求函数（数列）的最大值．
【详解】
（1）；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
（2），
，，，即，，
时，，
，
，即，
，
，，所以即时，取得最大值，，
综上，．
【点睛】
本题考查对数的运算，考查倒序相加法求和，考查数列不等式恒成立问题．注意一个和满足首尾两项的和与到尾两项等距离的两项的和相等时，可用倒序相加法求和，在函数式的计算中也常用到这种方法．数列不等式恒成立问题，需把不等式化简，能求和的求和，不能求和的用放缩法放缩后求和，然后还可能结合函数的知识求解，但要注意此函数的定义域是正整数集合．
12．设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
【答案】解：（1），；（2）是等差数列.
【解析】
【分析】
（1）根据，且f（x）是奇函数，将代入，可求的值，再结合奇函数得到．令，即可求得结论；
（2）利用倒序相加法结合第一问的结论，求出Sn，进而求出数列{an}的通项公式，再根据定义即可证得数列{an}是等差数列．
【详解】
解：（1）∵，且f（x）是奇函数
∴
∴，故
因为，所以．
令，得，即．
（2）令
又
两式相加．
所以，
故，
又．故数列{an}是等差数列．
【点睛】
本题主要考查数列与不等式的综合问题，考查奇函数性质的应用，考查倒序相加求和，属于中档题.数列求和之并项求和、奇偶求和、倒序相加
常见考点
考点一 并项求和
典例1．设数列的首项，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设且前项和为，求．
变式1-1．在正项等差数列中，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式及前n项和；
(2)记，求数列的前n项和．
变式1-2．已知等差数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）若数列满足，求数列的前项和.
变式1-3．已知数列的前n项和为，满足，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列{bn}的前100项的和．
考点二 奇偶求和
典例2．设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，， ．
(1)求和的通项公式．
(2)设数列满足，求．
变式2-1．已知数列满足，．
(1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求数列的前2n项和．
变式2-2．设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）
变式2-3．已知为等差数列，为等比数列，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最小值；
(3)设求数列的前2n项和.
考点三 倒序相加
典例3．已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
变式3-1．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足．
（1）分别求数列、的通项公式；
（2）若数列满足，是数列的前n项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请指出的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
变式3-2．已知函数，设数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若记，2，3，，，求数列的前项和.
变式3-3．数列的前项和为
（1）若为等差数列，求证：；
（2）若，求证：为等差数列.
巩固练习
练习一 并项求和
1．已知数列{}的前n项和满足：．
(1)求数列{}的前3项；
(2)求证：数列是等比数列；
(3)求数列的前n项和．
2．各项都为正数的数列的前项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求；
(3)设，数列的前项和为，求使成立的的最小值.
3．已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
4．已知数列是公差不为0的等差数列，且，，成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设．记数列的前n项和为，求．
练习二 奇偶求和
5．定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
6．已知数列满足，.
(1)记，求证：数列为等比数列；
(2)求的前项和.
7．在①，②，③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记______，求数列的前项和.
8．设，数列满足，数列的通项公式为.
(1)已知，求k的值；
(2)若，设，求数列最大项及相应的序数；
(3)若，设，求数列的前n项和.
练习三 倒序相加
9．已知函数
（1）求的值；
（2）已知数列满足,求证数列是等差数列；
（3）已知，求数列的前n项和.
10．函数对任意x∈R都有.
（1）求的值.
（2）数列满足:,数列是等差数列吗 如果是请给予证明，不是，请说明理由.
11．设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
12．设奇函数对任意都有
求和的值；
数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；
