解三角形中的外接圆与内切圆
常见考点
考点一 外接圆问题
典例1．△ABC的内角所对的边分别为.已知角成等差数列，且.
（1）求△ABC的外接圆直径；
（2）若△ABC的面积为，求的周长.
【答案】（1）2；（2）.
【分析】
（1）由条件先得出，由正弦定理可得答案.
（2）由三角形的面积公式可得，由余弦定理，可得，从而得出答案.
【详解】
（1）角成等差数列，得，
又，所以.
又，由正弦定理可得，
所以△ABC的外接圆直径为2.
（2），所以，
，即，所以，
所以△ABC的周长为.
【点睛】
关键点睛：本题考查正弦定理和余弦定理的应用，解答本题的关键是由正弦定理得出外接圆的直径，由余弦定理得出的值，属于中档题.
变式1-1．△ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若△ABC面积为，外接圆直径为4，求△ABC的周长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；
（2）根据三角形面积公式可得， 再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出结果.
【详解】
（1），
得，
∴.
（2）△ABC的面积，
由正弦定理可知，
由，
则，
∴的周长为.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
变式1-2．锐角中，角所对的边分别为，若且.
（1）求的外接圆直径；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得，从而求出，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；
（2）由正弦定理将变形为，然后利用三角函数即可求出取值范围.
【详解】
（1）因为，
由正弦定理可得，，
即，所以，
因为，故，
又，故，
由正弦定理得，即的外接圆直径为；
（2）由正弦定理可得，，
∴，
又由题意可得，解得，所以，
∴，∴.
【点睛】
本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.
变式1-3．在中，角，，所对的边分别为，，，，
（1）求证：；
（2）若，的外接圆面积为，求的周长．
【答案】(1)见证明；(2) .
【分析】
（1）由，利用诱导公式、两角和与差的正弦公式化简可得，从而可得结论；（2）利用圆的面积公式可求得三角形外接圆半径，利用同角三角函数的关系与正弦定理可得，结合（1），利用余弦定理列方程求得，从而可得结果.
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴在中，，
（2）设的外接圆半径为，由已知得，∴，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，
由得，解得，
∴，∴的周长为.
【点睛】
本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
考点二 内切圆问题
典例2．在△ABC中，分别为角的对边，且.
（1）求角；
（2）若△ABC的内切圆面积为，求△ABC面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【分析】
（1）根据题意，由正弦定理得到，化简整理求出，即可得出结果；
（2）根据题意，得到内切圆的半径为，作出图形，记内切圆的圆心为，为切点，得到，由余弦定理得到，根据基本不等式，推出，再由三角形面积公式，即可得出结果.
【详解】
（1）因为
所以
即，所以，即，
；
（2）由题意知△ABC内切圆的半径为，
如图，内切圆的圆心为，为切点，
则，
从而，
由余弦定理得，
整理得，
解得或（舍去），
从而，
即△ABC面积的最小值为.
【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于常考题型.
变式2-1．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题设及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，即可求解的值；
（2）根据，以及余弦定理列方程，可求出，设内切圆半径为，利用面积公式，解方程即可求出内切圆半径为.
【详解】
（1）根据题意，且，
∴，，
由正弦定理得，
因为，故，即，
∵，，∴，即，.
（2）由题意可得：，解得：，
设内切圆半径为，∴，
又，解得，∴内切圆半径.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，重点在知道三角形的面积和内切圆半径之间的关系，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
变式2-2．在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．
（1）求边BC的长；
（2）求△ABD内切圆半径．
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）设，利用两次余弦定理和，化简计算得到答案.
（2）利用余弦定理得到，，再利用面积公式得到，再利用计算得到答案.
【详解】
（1）设，
在中利用余弦定理得到：
，
解得，则
（2）
在中，利用余弦定理得到：
，，
又
即
解得
【点睛】
本题考查了余弦定理和面积公式，内切圆半径，其中是一个求内切半径的常用方法，需要熟练掌握.
变式2-3．在△ABC中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，则当的面积最大时，求△ABC的内切圆半径.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.
（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出△ABC的面积最大值，由等面积法即可求解.
【详解】
（1）由得，，
由正弦定理得，，
所以，
又，，所以，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
整理得，所以，
当且仅当时取等号.
所以，，
所以当且仅当时，时的面积的最大值为.
设△ABC的内切圆半径为，
则，
所以.
【点睛】
本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.
巩固练习
练习一 外接圆问题
1．已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）求的周长的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角的大小；
（2）根据正弦定理边化角得的周长，再利用正弦函数的性质即可求的周长的最大值.
【详解】
解：（1）由已知，
由正弦定理，
得，
由正弦定理角化边得，
则，又
所以；
（2）的周长
，
，
，
，
，
即的周长的最大值为.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角恒等变形及三角函数的性质是解决本题的关键.综合性较强.
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
【答案】（1）A（2）．
【分析】
（1）化边为角，利用两角和正弦公式，即可求解；
（2）由正弦定理求出，和角应用余弦定理建立关系，再由基本不等式求出最大值，即可求出结论.
【详解】
（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，
∴由正弦定理可得：（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，
可得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，
（2）∵△ABC的外接圆面积为π，
∴△ABC的外接圆半径为1，∵，∴a，
∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∴bc≤3，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABCbcsinA，当且仅当b＝c等号成立，
∴S△ABC的最大值为．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理、两角和公式解三角形，注意应用基本不等式求最值，属于中档题.
3．已知的三个内角所对的边分别为，在条件①，条件②这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.
（1）若，求的外接圆直径；
（2）若的周长为6，求边的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【分析】
（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a2+b2﹣c2＝ab，再由由余弦定理，求得，然后由可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得，然后由可得解；
（2）由（1）知，由正弦定理，知，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出，然后根据正弦函数的图象与性质，得解．
【详解】
解：（1）选择①：由正弦定理知，＝＝，
∵
∴
∴，即，
∵sinC≠0，所以，
由余弦定理知，cosC＝＝，又
∴，
由，知2R＝＝2 ，∴R＝1，
∴△ABC的外接圆直径为2．
选择②：由正弦定理知，＝，
∵，
∴sinCsinA＝sinAcos，
∵sinA≠0，∴sinC＝cos，
∴，即sinC＝cosC，
∴tanC＝＝， ∵
∴，
由2R＝，知2 R＝＝2，∴R＝1，
∴△ABC的外接圆直径为2．
（2）由（1）知，，
由正弦定理知，＝＝＝＝，
∴a＝sin A，b＝sin B，
∵△ABC的周长为6，
所以
∴c＝，
∵，∴A+，，
所以 ．
4．在①△ABC的外接圆面积为②△ADC的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件选择见解析；.
【分析】
由，结合二倍角公式进行化简可求，由，结合和差角公式及辅助角公式进行化简可求得为等边三角形，
选①，结合正弦定理及余弦定理可求，，再由余弦定理即可求解；
选②，由已知可知的面积，然后结合面积公式可求，，然后结合余弦定理可求；
选③，由已知可求，进而可求，，由的周长为，可直接求解．
【详解】
解：因为，
所以
解得或舍去，
所以在△ABC中.
因为所以
所以由余弦定理得
又所以即，
所以△ABC为等边三角形.
因为
所以在△ADC中，由余弦定理得
选择条件①：由△ABC的外接圆面积为得
所以所以故.
选择条件②：由△ADC的面积为，
得△ABC的面积为，
所以解得故.
选择条件③：由△BDC的周长为，
得
所以故.
练习二 内切圆问题
5．在△ABC中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求的值;
（2）设△ABC的内切圆半径为，若求△ABC的面积取最大值时的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由三角恒等变换及正弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理及不等式可得面积最值，确定等号成立条件，利用内切圆的性质求半径即可.
【详解】
解：因为
故
整理得.
由正弦定理得
故
因为
故
即
由知，
所以，且
因为
由余弦定理得
所以
由基本不等式得
即当且仅当时，等号成立，
故△ABC的面积取得最大值时，
此时.
又△ABC的周长为
设△ABC的内切圆的半径为圆心为
则
解得
故△ABC的面积取最大值时其内切圆半径为.
【点睛】
关键点点睛：一般对于三角形中面积最值，周长最值时，需要利用余弦定理结合不等式求最值，同时本题对内切圆的性质分割三角形后求半径，属于中档题.
6．已知，，分别为△ABC三个内角，，的对边，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求的内切圆半径．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）先利用正弦定理把都统一成角，然后消去角，将式子进一步整理，得到，从而可求出角的值；
（Ⅱ）根据余弦定理，由题中条件，先求出；再由三角形面积公式，即可求出的内切圆半径.
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，得；
（Ⅱ）因为，，，
由余弦定理可得，所以，则，
所以，
设△ABC的内切圆半径为，
则，所以.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题第二问的关键在于熟记三角形的面积公式，根据（为三角形内切圆半径），列出等式，即可求解.
7．已知△ABC中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求△ABC的内切圆半径.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据题中条件，由余弦定理，得到，，进而可得出；
（2）先由（1）根据题中条件，得出，，设内切圆半径为，由三角形面积公式，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）由
得，又，所以
又∴，故三角形是以为斜边的直角三角形，
所以.
（2）因为，由（1）易知，，
设△ABC内切圆半径为，
由得，
即.
【点睛】
本题主要考查由余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，属于常考题型.
8．已知△ABC中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）若，且，求的内切圆半径.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由正余弦定理，结合已知条件可得，进而有，由三角形内角性质即可证；（2）由已知条件知，结合（1）的结论有△ABC为直角三角形进而求内切圆半径；
【详解】
（1）证明：由
得，即
，即
又，
或(舍去)
（2）由，得，
，
，
，，.
因为，可知
有△ABC内切圆半径
【点睛】
本题考查了正余弦定理的应用，及三角恒等变换求三角形内角关系，并由直角三角形三边与内切圆半径关系求半径；解三角形中的外接圆与内切圆
常见考点
考点一 外接圆问题
典例1．的内角所对的边分别为.已知角成等差数列，且.
（1）求的外接圆直径；
（2）若的面积为，求的周长.
变式1-1．的内角，，的对边分别为，，，且满足：.
（1）求；
（2）若面积为，外接圆直径为4，求的周长.
变式1-2．锐角中，角所对的边分别为，若且.
（1）求的外接圆直径；
（2）求的取值范围.
变式1-3．在中，角，，所对的边分别为，，，，
（1）求证：；
（2）若，的外接圆面积为，求的周长．
考点二 内切圆问题
典例2．在中，分别为角的对边，且.
（1）求角；
（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.
变式2-1．已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，，求的内切圆半径.
变式2-2．在△ABC中，D是BC中点，AB＝3，AC＝，AD＝．
（1）求边BC的长；
（2）求△ABD内切圆半径．
变式2-3．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.
巩固练习
练习一 外接圆问题
1．已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足．
（1）求角；
（2）求的周长的最大值．
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，求△ABC的面积的最大值．
3．已知的三个内角所对的边分别为，在条件①，条件②这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.
（1）若，求的外接圆直径；
（2）若的周长为6，求边的取值范围.
4．在①的外接圆面积为②的面积为，③的周长为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.
问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，，，若___________，求的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
练习二 内切圆问题
5．在中，内角所对的边分别为，且满足.
（1）求的值;
（2）设的内切圆半径为，若求的面积取最大值时的值.
6．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，且，求的内切圆半径．
7．已知中，角，，所对的边分别是，，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求的内切圆半径.
8．已知中，角所对的边分别是，满足.
（1）求证：；
（2）若，且，求的内切圆半径.
