2023-2024学年重庆市五校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A． B．7，24，25 C．4，5，6 D．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3×4＝12
B．
C．﹣3＝＝6
D．＝5
4．（4分）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
5．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则下列说法中错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a2＝b2﹣c2 C．c2＝2a2 D．a＝b
6．（4分）下列判断中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形
C．四角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
7．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（ ）
A．135° B．45° C．22.5° D．30°
8．（4分）如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长（ ）
A．3cm B． C．5cm D．
9．（4分）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，共32分）
11．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8）到原点的距离为 ．
13．（4分）若最简二次根式和可以合并，则a＝ ．
14．（4分）某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于 m．
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则BD的长为 .
16．（4分）如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝ ．
17．（4分）将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为 ．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，第20-26题各10分，共78分）
19．（8分）计算
（1）；
（2）．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）用无刻度的直尺和圆规在边BC上找一点P，使PA＝PB．（请保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，计算（1）中线段CP的长．
21．（10分）若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
22．（10分）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：∠AEB＝∠ACF；
（2）试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系，并证明你的结论．
24．（10分）如图，以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE，AC和BE交于点F，连接DF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF＝EF．
25．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
26．（10分）已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现
如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是 ，数量关系为 ；
（2）拓展探究
如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
（3）解决问题
如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每题4分，共40分）
1．（4分）下列各式属于最简二次根式的有（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、＝2，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、是最简二次根式，故B选项正确；
C、＝y，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D、＝，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
2．（4分）下列几组数中，不能作为直角三角形三边的是（ ）
A． B．7，24，25 C．4，5，6 D．
【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
D、（）2+（）2＝12，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．3×4＝12
B．
C．﹣3＝＝6
D．＝5
【解答】解：3×4＝24，A错误；
＝＝3×5＝15，B错误；
﹣3＝﹣＝﹣，C错误；
＝＝5，D正确．
故选：D．
4．（4分）下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（ ）
A．对角线垂直 B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直平分、平行四边形的对角线互相平分，符合题意；
B、菱形、平行四边形的对边平行且相等，不符合题意；
C、菱形、平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
D、菱形、平行四边形的两组对角分别相等，不符合题意；
故选：A．
5．（4分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则下列说法中错误的是（ ）
A．∠C＝90° B．a2＝b2﹣c2 C．c2＝2a2 D．a＝b
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴设∠A＝x，则∠B＝x，∠C＝2x，
∴x+x+2x＝180°，
解得x＝45°，
∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∵a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，
∴a＝b，c2＝2a2，
∴选项A、C、D正确，B错误．
故选：B．
6．（4分）下列判断中正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形
C．四角相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【解答】解：A、边相等的四边形是菱形，故不符合题意；
B、对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形，故不符合题意；
C、四角相等的四边形是矩形，故不符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故符合题意；
故选：D．
7．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（ ）
A．135° B．45° C．22.5° D．30°
【解答】解：∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝×90°＝45°，
∵AF是菱形AEFC的对角线，
∴∠FAB＝∠BAC＝×45°＝22.5°．
故选：C．
8．（4分）如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长（ ）
A．3cm B． C．5cm D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
由折叠得AE＝CE，
∵AB＝5cm，BC＝10cm，
∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AE＝（10﹣AE）cm，
∵AB2+BE2＝AE2，
∴52+（10﹣AE）2＝AE2，
解得AE＝，
∵∠AFE＝∠CEF，∠AEF＝∠CEF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE＝cm，
故选：D．
9．（4分）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x、y同号，并且x、y都是负数，
解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，
当x＝﹣1，y＝﹣4时，＝+
＝2+
＝；
当x＝﹣4，y＝﹣1时，+＝+
＝+2
＝，
则的值是，
故选：B．
10．（4分）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，，BE＝1，F是BC的中点．现有下列四个结论：①DE＝3；②四边形DEBC的面积等于9；③（AC+BD）（AC﹣BD）＝80；④DF＝DE．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：设DE＝3k，则AE＝4k，AD＝5K，BE＝k＝1，
∴AB＝5，DE＝3．故①正确；
S梯形DEBC＝×（1+5）×3＝9，故②正确；
∵DE＝3，EB＝1，∴DB＝．
又∵SABCD＝AB×DE＝5×3＝15，
SABCD＝×BD×AC，
∴15＝××AC，
AC＝3．
（AC+BD）（AC﹣BD）
＝AC2﹣BD2＝（3）2﹣2＝90﹣10＝80．故③正确；
作DH⊥BC于H点．
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD＝∠CBD，
∴DE＝DH．
又DH＜DF，
∴DE＜DF．故④错误．
所以①②③正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，共32分）
11．（4分）如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣8 ．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+8≥0，
∴x的取值范围是x≥﹣8，
故答案为：x≥﹣8．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣6，8）到原点的距离为 10 ．
【解答】解：点A（﹣6，8）到原点的距离为：，
故答案为：10．
13．（4分）若最简二次根式和可以合并，则a＝ 4 ．
【解答】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴3a+1＝4a﹣3，
解得：a＝4，
故答案为：4
14．（4分）某人要登上6m高的建筑物，为确保安全，梯子底端要离开建筑物2.5m，且顶端不低于建筑物顶部，则梯子长应不少于 6.5 m．
【解答】解：根据勾股定理得到，梯子的长度最少是：＝6.5m
15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，则BD的长为 2 .
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，AC＝4，
∴AO＝AC＝2，BO＝DO＝BD，
∵∠BAC＝90°，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2BO＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝ 4 ．
【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，
∵四边形ABCD是矩形
∴AO＝CO＝5＝BO＝DO，
∴S△DCO＝S矩形ABCD＝10，
∵S△DCO＝S△DPO+S△PCO，
∴10＝+×OC×PE
∴20＝5PF+5PE
∴PE+PF＝4
故答案为：4
17．（4分）将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大有理数的位置记为 （17，2） ．
【解答】解：∵2＝，
∴这列数中最大的数是＝14，
设196是这列数中的第n个数，则
2n＝196，
解得n＝98，
观察发现，每6个数一行，即6个数一循环，
∴98÷6＝16…2，
∴是第17组的第2个数．
最大的有理数n的位置记为（17，2）．
故答案为：（17，2）．
18．（4分）如图，在正方形ABCD中，AD＝5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE＝FC＝3，BE＝DF＝4，则EF的长为 ．
【解答】解：延长AE交DF于G，如图：
∵AB＝5，AE＝3，BE＝4，
∴△ABE是直角三角形，
∴同理可得△DFC是直角三角形，
可得△AGD是直角三角形，
∴∠ABE+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，
∴∠GAD＝∠EBA，
同理可得：∠ADG＝∠BAE，
在△AGD和△BAE中，
，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG＝BE＝4，DG＝AE＝3，
∴EG＝4﹣3＝1，
同理可得：GF＝1，
∴EF＝，
故答案为：
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，第20-26题各10分，共78分）
19．（8分）计算
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3÷+÷
＝3+
＝；
（2）原式＝2ab﹣+ab
＝ab．
20．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）用无刻度的直尺和圆规在边BC上找一点P，使PA＝PB．（请保留作图痕迹）
（2）若AC＝6，BC＝8，计算（1）中线段CP的长．
【解答】解：（1）如图点P即为所求；
（2）设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，
在Rt△ACP中，∵AC2+PC2＝PA2，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴PC＝．
21．（10分）若x，y是实数，且y＝+3，求（）﹣（）的值．
【解答】解：由题意可知：x＝，y＝3
原式＝（2x+2）﹣（x+5）
＝x﹣3
＝﹣3
＝﹣
22．（10分）如图，已知G、H是△ABC的边AC的三等分点，GE∥BH，交AB于点E，HF∥BG交BC于点F，延长EG、FH交于点D，连接AD、DC，设AC和BD交于点O，求证：四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：∵G、H是AC的三等分点且GE∥BH，HF∥EG，
∴AG＝GH＝HC，EG、FH分别是△ABH和△CBG的中位线，
∴ED∥BH，FD∥BG，
∴四边形BHDG是平行四边形，
∴OB＝OD，OG＝OH，OA＝OG+AG＝OH+CH＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．（10分）在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC＝90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：∠AEB＝∠ACF；
（2）试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系，并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵△ACE是等腰直角三角形，∠EAC＝90°，
∴AE＝AC，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠ACF．
（2）解：EF2+BF2＝2AC2，
证明：∵∠AEB＝∠ACF，∠AGE＝∠FGC，∠EAC＝90°，
∴∠ACF+∠FGC＝∠AEB+∠AGE＝90°，
∴∠CFE＝90°，
∴EF2+CF2＝CE2，
∵BF＝CF，CE2＝AE2+AC2＝2AC2，
∴EF2+BF2＝2AC2．
24．（10分）如图，以正方形ABCD的CD边长作等边△DCE，AC和BE交于点F，连接DF．
（1）求∠AFD的度数；
（2）求证：AF＝EF．
【解答】（1）解：在△ADF和△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
又∵△DCE是等边三角形，
∴CE＝CB，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180﹣90﹣60）÷2＝15°，∠ABF＝75°，
∴∠AFD＝∠AFB＝180°﹣45°﹣75°＝60°；
（2）证明：∵由（1）可得∠ABF＝75°＝∠ADF＝75°，
∴∠FDC＝15°，
∴∠EDF＝75°，∠EDF＝∠ADF，
在△AFD和△EFD中，
，
△AFD≌△EFD（SAS），
∴AF＝EF．
25．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ （﹣） ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2﹣8a+1的值．
【解答】解：（1）原式＝＝，原式＝＝（﹣），
故答案为：，（﹣），
（2）原式＝（﹣+﹣+...+﹣）
＝（﹣3+11）
＝4；
（2）a＝＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴原式＝4（a2﹣2a）+1＝4×1+1＝5．
26．（10分）已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现
如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是 EF⊥BC ，数量关系为 EF＝BC ；
（2）拓展探究
如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；
（3）解决问题
如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．
【解答】解：问题发现
（1）如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形
∴BH＝HC＝BC，OH＝HF
又∵△ABC是等边三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴AH＝BH
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH
∵AH∥EF，AH⊥BC
∴EF⊥BC，
∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH
∴EF＝BC
故答案为：EF⊥BC，EF＝BC
（2）拓展探究
如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形
∴BH＝HC＝BC，OH＝HF
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝HC
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH
∵AH∥EF，AH⊥BC
∴EF⊥BC，
∵EF＝2AH，AH＝BH，BC＝2BH
∴EF＝BC
（3）解决问题
如图，连接AH，
∵四边形OBFC是平行四边形
∴BH＝HC＝BC＝，OH＝HF
又∵AB＝AC＝2，
∴AH⊥BC，
∴AH＝＝
∵OH＝HF，AE＝AO
∴EF＝2AH＝
