2023-2024学年江西省抚州实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. 3 D.
2.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
5.某中学对九年级6个班的学生骑自行车上学的情况进行了调查，得到各班骑自行车上学的人数数据为5，10，10，12，14，对于这组数据，下列说法错误的是( )
A. 平均数是10 B. 众数是10 C. 中位数是11 D. 方差是
6.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且于点F，则下列结论中错误的是( )
A.
B.
C. 图中与相似的三角形共有5个
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.分解因式：______.
8.一个细菌的直径为米，把数用科学记数法表示为______.
9.已知a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，则________.
10.一副三角板按如图所示的方式放置，它们的直角顶点A，D分别在另一个三角板的斜边上，且，则的度数为______.
11.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则的值为______.
12.如图，矩形ABCD中，，，点E是BC的中点，点F在AB上，，P是矩形上一动点．若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，FP的长为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题6分
计算：
求不等式组的解集．
14.本小题6分
先化简，再求值：，其中
15.本小题6分
小聪从家到学校需要中途转车，从家到站台M有A，B，C三路车小聪中途乘A，B，C三路车的可能性相同，到了站台M后通常转乘D路或E路车到学校小聪乘D路、E路车的可能性相同
“小聪从家到学校要乘坐A路车”是______事件；
请用列表或画树状图的方法，求小聪乘坐A路、E路车到学校的概率．
16.本小题6分
图1、图2均为圆心角为的扇形、请按要求用无刻度的直尺完成下列作图．
在图1中、点M是的中点、请作出线段AB的垂直平分线；
在图2中、点M是的中点，点N又是的三等分点，请作出线段0B的垂直平分线．
17.本小题6分
某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．
若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是______本；用含x的代数式表示
要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？
18.本小题8分
已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接
当时，求直线AC的解析式；
是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由.
19.本小题8分
为增强学生环保意识.实施垃圾分类管理.某中学举行了“垃圾分类知识竞赛“并随机抽取了部分学生的竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表.
根据所给信息，解答下列问题.
______，______.
请求出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数.
已知该中学有3500名学生，请估算该中学学生知识竞赛成绩低于80分的人数.
知识竞赛成绩频数分布表：
组别 成绩分数 人数
A 300
B a
C 150
D 200
E b
20.本小题8分
如图是一种简易台灯，在其结构图中灯座为伸出部分不计，A、C、D在同一直线上．量得，，，，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为
求DE与水平桌面所在直线所成的角；
求台灯的高点E到桌面的距离，结果精确到
参考数据：，，，，，
21.本小题9分
如图，M，N是以AB为直径的上的点，且，弦MN交AB于点C，BM平分，于点
求证：MF是的切线；
若，，求CM的长．
22.本小题9分
如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
若是“准互余三角形”，，，则______；
如图①，在中，，，若AD是的平分线，不难证明是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点异于点，使得也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
如图②，在四边形ABCD中，，，，，且是“准互余三角形”，求对角线AC的长．
23.本小题12分
在平面直角坐标系xOy中，规定：抛物线的伴随直线为例如：抛物线的伴随直线为，即
在上面规定下，抛物线的顶点坐标为______，伴随直线为______，抛物线与其伴随直线的交点坐标为______和______；
如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点A，点A在点B的左侧，与x轴交于点C，
①若，求m的值；
②如果点是直线BC上方抛物线上的一个动点，的面积记为S，当S取得最大值时，求m的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：的倒数是
故选：
乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】C
【解析】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】B
【解析】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：
直接利用整式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】
解：从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示，
故选
5.【答案】C
【解析】解：A、平均数是，故本选项说法正确，不符合题意；
B、出现了2次，出现的次数最多，
众数是10，故本选项说法正确，不符合题意；
C、把这些数从小到大排列为：5，9，10，10，12，14，则中位数是，故本选项说法错误，符合题意；
D、方差为：，故本选项说法正确，不符合题意；
故选：
根据众数、平均数、中位数、方差的定义和公式分别进行计算即可．
本题考查了众数、平均数、中位数、方差．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
6.【答案】C
【解析】解：A、，
∽，
，
，
，故A正确，不符合题意；
B、过D作交AC于N，
，，
四边形BMDE是平行四边形，
，
，
，
于点F，，
，
，
，故B正确，不符合题意；
C、图中与相似的三角形有，，，，共有5个，故C错误，符合题意．
D、设，由∽，有
，故D正确，不符合题意．
故选：
由，又，所以，故A正确，不符合题意；
过D作交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由∽，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求的值，故D错误，符合题意．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：
故答案为：
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：数用科学记数法表示为，
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9.【答案】5
【解析】解：，b是一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
故答案为：
根据一元二次方程的解以及根与系数的关系可得出、，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解结合根与系数的关系找出、是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：
根据得出，进而得出即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据得出的度数和三角形外角性质分析．
11.【答案】2
【解析】解：如图，连接BE，
四边形BCED是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：3，
：：2，
，
在中，，
，
故答案为：2
首先连接BE，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：：3，即可得PF：：：2，在中，即可求得的值，继而求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
12.【答案】4或8或
【解析】解：如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、以O为圆心画交CD于
四边形ABCD是矩形，
，
，，，，
，
，
易知，
是等边三角形，
，
，，，
故答案为4或8或
如图，连接DF，AE，DE，取DF的中点O，连接OA、以O为圆心画交CD于只要证明，即可推出，，解决问题．
本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆的有关知识、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13.【答案】解：原式；
由①得：；
由②得：；
所以不等式组的解集是：
【解析】根据整式负指数幂，绝对值的性质以及特殊角的三角函数值计算即可；
先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的计算和解一元一次不等式组的应用，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14.【答案】解：
，
当时，原式
【解析】根据分式的加减法和乘法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
15.【答案】随机
【解析】解：“小聪从家到学校要乘坐A路车”是随机事件，
故答案为：随机；
画树状图如下：
由树状图知，共有6种等可能结果，其中小聪乘坐A路、E路车到学校的有1种结果，
小聪乘坐A路、E路车到学校的概率为
根据随机事件的概念求解可得；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】解：如图，直线OM即为所求．
作直线OM，连接AB交OM于K，作直线NK，直线NK即为所求．
理由：连接ON，BN，点N又是的三等分点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
垂直平分线段
【解析】作直线OM即可．
作直线OM，连接AB交OM于K，作直线NK，直线NK即为所求．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】
【解析】解：将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是本；
故答案为：；
设这种笔记本每本降价x元，
根据题意得：，
，
解得：或，
当时，销售量是；
当时，销售量是
每天至少售出50本，
答：超市应将每本的销售价降低1元．
销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
根据销售量每本利润=总利润列出方程求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
18.【答案】解：点，在正比例函数的图象上，
，
点A的坐标为，，
反比例函数的图象经过点A，
，
则反比例函数的解析式为，
点B的横坐标为正比例函数的图象上，当时，
则点B的坐标为，
点C的横坐标为2，
代入，求得纵坐标为1，
点C的坐标为，
设直线AC的解析式为，
把，代入得，
解得：，，
直线AC的解析式为；
，
，
解得负值已舍去
即存在m，使得
【解析】根据图象上点的坐标特征求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
先求得B的坐标，进而求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
根据反比例函数系数k的几何意义求得，则，然后根据三角形面积公式得到，解方程求得m的轴．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
19.【答案】300 50
【解析】解：样本容量为，
则，，
故答案为：300，50；
扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数为；
人，
答：估计该中学学生知识竞赛成绩低于80分的有175人．
先根据D组人数及其所占百分比求出样本容量，用样本容量乘以B组圆心角度数占周角比例可得a的值，根据各组人数之和等于总人数可得b的值；
用乘以C组人数所占比例即可；
用总人数乘以样本中E组人数占总人数的比例即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图，掌握统计图表中的数量关系是正确解答的前提．
20.【答案】解：如图所示：过点D作，过点D作交AB的延长线于点N，，交AB的延长线于点M，
由题意可得，四边形DNMF是矩形，
则，
，，
，
，
即DE与水平桌面所在直线所成的角为；
如图所示：，，，
，则，
灯杆CD长为40cm，
，
，
则，
灯管DE长为15cm，
，
解得：，
故台灯的高为：
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．
直接作出平行线和垂线进而得出的值；
利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．
21.【答案】证明：连接OM，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
是的切线；
如图，连接AN，ON
，
是直径，，
，
，
，
∽
【解析】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求OC的长是本题的关键．
根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得，得出，即可证得，即可证得结论；
由勾股定理可求AB的长，可得AO，BO，ON的长，由勾股定理可求CO的长，通过证明∽，可得，即可求CM的长．
22.【答案】；
如图①中，
在中，，，
，
是“准互余三角形”，
也是“准互余三角形”，
只有，
，
，，
∽，可得，
，
如图②中，将沿BC翻折得到
，，，
，，
，
、B、F共线，
，
只有，
，，
∽，
，设，
则有：，
或舍弃，
，
在中，
【解析】解：是“准互余三角形”，，，
，
解得，，
故答案为：；
见答案.
见答案.
【分析】
根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
只要证明∽，可得，由此即可解决问题；
如图②中，将沿BC翻折得到只要证明∽，可得，设，则有：，推出或舍弃，再利用勾股定理求出AC即可；
本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】；；；；
①抛物线解析式为，
其伴随直线为，即，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，
，，
在中，令可解得或，
，，
，，，
，
，即，解得抛物线开口向下，舍去或，
当时，m的值为；
②设直线BC的解析式为，
，，
，解得，
直线BC解析式为，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，
点P的横坐标为x，
，，
是直线BC上方抛物线上的一个动点，
，
当时，的面积有最大值，
取得最大值时，即，解得
【解析】解：
，
顶点坐标为，
由伴随直线的定义可得其伴随直线为，即，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，
其交点坐标为和，
故答案为：；；；；
①抛物线解析式为，
其伴随直线为，即，
联立抛物线与伴随直线的解析式可得，解得或，
，，
在中，令可解得或，
，，
，，，
，
，即，解得抛物线开口向下，舍去或，
当时，m的值为；
②设直线BC的解析式为，
，，
，解得，
直线BC解析式为，
过P作x轴的垂线交BC于点Q，如图，
点P的横坐标为x，
，，
是直线BC上方抛物线上的一个动点，
，
当时，的面积有最大值，
取得最大值时，即，解得
由抛物线的顶点式可求得其顶点坐标，由伴随直线的定义可求得伴随直线的解析式，联立伴随直线和抛物线解析式可求得其交点坐标；
①可先用m表示出A、B、C、D的坐标，利用勾股定理可表示出、和，在中由勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值；②由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，过P作x轴的垂线交BC于点Q，则可用x表示出PQ的长，进一步表示出的面积，利用二次函数的性质可得到m的方程，可求得m的值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、函数的图象的交点、勾股定理、方程思想等知识．在中注意伴随直线的定义的理解，在①中分别求得A、B、C、D的坐标是解题的关键，在②中用x表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
