北京市文汇中学 2023—2024 学年度第二学期期中考试
初一年级 数学试卷
一、选择题（每小题只．有．一．个．选项符合题意，每题 3分，共 30分）
1．在平面直角坐标系中，点 A(2, 3) 位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．4 的平方根是 ( )
A．2 B． 2 C． 2 D． 2
3．若m n ，则下列不等式中正确的是 ( )
1 1
A．m 2 n 2 B．1 2m 1 2n C． m n D． n m 0
2 2
4．如图，点O在直线 AB 上，OC ⊥OD．若
AOC =120 ，则 BOD的大小为（ ）
A. 30 B. 40
C. 50 D. 60
5．如图，若数轴上点 P 表示的数为无理数，则该无理数可能是 ( )
A．2.3 B． 2 C． 3 D． 5
x =1
6．若 是关于 x ， y 的二元一次方程 x ay = 4 的一组解，则 a 的值为 ( )
y = 1
A．1 B．2 C．3 D．4
7．下列条件：① AEC = C ，② C = BFD ，③ BEC + C =180 ，其中能判断
AB / /CD 的是 ( )
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①
1
8．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对
折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照 5 尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳
索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短 5 尺，
则绳索长几尺？设竿长 x 尺，绳索长 y 尺，根据题意可列方程组为 ( )
x + 5 = y x = y + 5
x + 5 = y x + 5 = y
A． y B． C． y D．
x 5 = 2x 5 = y x 5 = x 5 = 2y
2 2
9．小云同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象
成数学问题如下：如图，已知长方形OABC ，小球
P 从 (0,3)出发，沿如图所示的方向运动，每当碰
到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，
第一次碰到长方形的边时的位置为 P1(3,0) ，当小球
P 第 2024 次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，
点 P2024 的坐标是 ( )
A． (1, 4) B． (7,4) C． (0,3) D． (3,0)
a (a b)
10．定义一种运算：a*b = , 则不等式 (2x +1) * (2 x) 3的解集是 ( )
b (a b)
1 1 1
A． x 1或 x B． 1 x C． x 1或 x 1 D．x 或 x 1
3 3 3
二、填空题（第 11-17题每小题 2分，第 18题 4分，共 18分）
11．如图，直线 l 表示一段河道，点 P 表示村庄，现要从河 l 向
村庄 P 引水，图中有四种方案，其中沿线段 PC 路线开挖的水
渠长最短，理由是 ．
12．要说明命题“若 2a 1，则 a 1”是假命题，可以举的反例是 a = ．（一个即可）
13．如图，已知正方形 ABCD的面积为 5，点 A在数轴上，且表示的数为 1．现以 A 为圆
心， AB 为半径画圆，和数轴交于点 E(E 在 A的右侧），则点 E 表示的数为 ．
2
14．如果关于 x 的不等式3x a 1的解集如图所示，则 a 的值是 ．
15．围棋起源于中国，它蕴含着中华文化的丰富内涵，
是中国文化与文明的体现．如图，围棋盘放在某个平
面直角坐标系内，黑棋①的坐标为 ( 1, 2) ，白棋④的
坐标为 ( 4, 3)，则白棋②的坐标为 ．
16．如图，有一块长方形区域， AD = 2AB ，现在其中
修建两条长方形小路，每条小路的宽度均为1米，若 AB
边的长为 5 米，则图中空白区域的面积为 平方
米.
17．若经过点 M (3, 2) 与点 N (x, y) 的直线平行于 x 轴，且 M N =5 ，则 N 点的坐标
是 ．
18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形
ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点
的横、纵坐标都乘以同一种实数 a ，将得到的点先
向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位
(m 0,n 0)，得到正方形 A B C D 及其内部的点，
其中点 A，B 的对应点分别为 A ，B ，则 a = ，
m = ， n = ．若正方形 ABCD 内部的一个
点 F 经过上述操作后得到的对应点 F 与点 F 重
合，则点 F 的坐标为 ．
三、解答题（本题共 52 分，第 19 -20 题每题 4 分，第 21 -22 题每题 5 分，第 23 题 4
分，24-25 题每题 5分， 第 26题 6分，第 27-28题每题 7分）
19．计算： 81+ 3 27 3 2 3 ．
2x + 3y =1
20. 解方程组： ．
x 2y = 4
3
2x 1 5x +1
21．解不等式： 1．并把它的解集在数轴上表示出来．
3 2
4(x +1) 7x +10
22．解不等式组 x 8 ，并写出它的所有非负整数解．
x 5
3
23．完成下面的证明．
已知：如图， AC ⊥ BD， EF ⊥ BD， A = 1．求证：EF 平分 BED ．
证明： AC ⊥ BD， EF ⊥ BD，
ACB = 90 ， EFB = 90 ． ( )
ACB = EFB ．
//_____． ( )
A = 2．（两直线平行，同位角相等）
3 = 1． ( )
又 A = 1，
2 = 3．
EF 平分 BED．
24．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，三角形 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(3,2) ，B(1,0)，
C(5, 3) ，三角形 ABC 中任意一点 P(a,b) ，经平移后对应点P (a 5,b + 4) ，将三角形 ABC
作同样的平移得到三角形 A B C ，点 A， B ，C 对应点分别为 A ，B ，C ．
（1）点 B 的坐标为 ；
（2）①画出三角形 A B C ；
②三角形 A B C 的面积为 ；
（3）若 y 轴上有一点 Q ，使得三角形的
B C Q 面 积 为 4 ， 则 点 Q 的 坐 标
为 ．
4
25．如图，在 ABC 中，点D ，E 在 AB 边上，点 F 在 AC 边上，EF / /DC ，点 H 在BC
边上，且 1+ 2 =180 ．
（1）求证： A = BDH ；
（2）若CD平分 ACB ， AFE = 30 ，求 BHD的
度数．
26．又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售 A，B两种果苗，进价分别为 70元，
50 元，下表是近两天的销售情况：
销售量/棵 销售收入/元
A 果苗 B果苗
第一天 4 3 625
第二天 5 5 875
（1）求 A，B两种果苗的销售单价．
（2）若该商家购进这两种果苗总计 50 棵，购进费用不超过 2900元，则最多购进 A种果
苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，该商家销售这 50 棵果苗的利润能否超过 1340 元？若能，请给
出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
27．如图 1 所示，两条直线 AB ，CD与直线EF 相交，交点分别为点 E ，点 F ，EM 平
分 AEF 交CD于点 M ，且 FEM = EMF ．
（1）求证： AB // CD .
（2）点G 是射线MD 上一动点（不与点M ， F 重合），EH 平分 FEG交CD于点H ，
过点H 作 HN ⊥ EM 于点 N ，设 EHN = ， EGF = ．
①如图 2 所示，当点G 在点 F 的右侧时，若 = 50 ，求 的度数；
②当点G 在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
5
28．小聪和小明在学面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系 xOy 中任意
两点 P (x ， y )与1 1 1 P2 (x ， y 的一种新的距离： 2 2 )
小聪定义了 P ， P 的“分解距离”，如下： 1 2
在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1(x ， y )与1 1 P2 (x ， y )． 2 2
若 | x x ，则 为点 与点1 2 | | y1 y2 | | x1 x2 | P1 P 的“分解距离”，即2 d分解 ( P1 , P2 ) = x1 x ； 2
若 | x1 x2 | | y1 y2 |，则 | y y | 为点 P 与点 P 的“分解距离”，即1 2 1 2 d分解 ( P1 , P2 ) = y1 y ． 2
小明定义了 P ，1 P 的“和距离”，如下： 2
在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P (x ， y )与P (x ，1 1 1 2 2 y2 )．
点 P ， P 的“和距离”为 | x x |与 | y y | 的和，即 ． 1 2 1 2 1 2 d和( P1 , P2 ) = x1 x2 + y1 y2
根据以上材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,1)，C(1, 2)，
（1）d ( A , C ) = ；d = ； 分解 和( A , C )
（2）若点 B(x, 4 x) 在第一象限，且点 d分解 (B,O) = 3．求点 B 的坐标；
（3）已知点 E ， F 满足 d分解 (E ，O) = d和 (F,O) = 3 ,
① 在图 1 中画出所有符合条件的点 E 围成的图形和点 F 围成的图形;
② 已知点M ( t,0 )，N ( t +3,3 ) , 若线段MN 上有且只有一个点 E 满足d ( E , O) =3, 分解
并且有且只有一个点 F 满足d ( F , O) =3 (点 E 和点 F 不重合)，直接写出 t 的取值范围. 和
6
图 1 备用图北京市文汇中学 2023—2024 学年度第二学期期中考试
初一年级 数学答案(2024.4)
一、选择题（每小题只．有．一．个．选项符合题意，每题 3分，共 30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A D C B A B C
二、填空题（第 11-17题每小题 2分，第 18题 4分，共 18分）
11. 垂线段最短
12. 2 （答案不唯一）
13. 1+ 5
14. 2
15. ( 5,1)
16. 36
17. (8,-2) 或（-2，-2）
1 1
18. ， ，2， (1, 4)．
2 2
三、解答题（本题共 52分，第 19 -20 题每题 4分，第 21 -22题每题 5分，第 23题每题 4
分，24-25题 5 分， 第 26题 6分，第 27-28题 7分）
19.解：原式=9+（ 3） （2 3） 3
= 9 3 2+ 3 3 ————————————————3 分
= 4
-------------------------------------------------1 分
20. 解： ，
②×2，得 2x﹣4y=8③，
由①﹣③得 7y=﹣7，即 y=﹣1， ---------------------------------2分
把 y=﹣1代入②中，得 x+2=4，即 x=2， --------------------------------1分
x = 2
则方程组的解为 ． --------------------------------1分
y = 1
21. 解：去分母，得： 2(2x 1) 3(5x +1) 6， --------------------------------1分
去括号，得： 4x 2 15x 3 6， ------------------------------1分
移项、合并同类项，得： 11x 11， ------------------------------1分
解得： x 1． --------------------------------1分
数轴（略） --------------------------------1分
4(x +1) 7x +10①
22 解：（1） x 8 ，
x 5 ②
3
解不等式①得： x 2， ---------------------------------2分
7
解不等式②得： x ， --------------------------------1分
2
7
所以不等式组的解集为： 2 x ， --------------------------------1分
2
所以不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3； --------------------------------1分
23. 证明： AC ⊥ BD， EF ⊥ BD，
ACB = 90 ， EFB = 90 ．（垂直定义） --------------------------------1分
ACB = EFB ．
AC / /EF ． ( 同位角相等，两直线平行） --------------------------------2 分
A = 2．（两直线平行，同位角相等）
3 = 1．（两直线平行，内错角相等） --------------------------------1分
又 A = 1，
2 = 3．
EF 平分 BED．
24. 解：（1） ( 4,4) ．
（2）①如图，三角形 A B C 即为所求．
1 1 1
②三角形 A B C 的面积为 (2 + 4) 5 2 2 3 4 = 7 ．
2 2 2
故答案为：7．
（3）设点Q 的坐标为（0，-1）或（0 , 3）
25．（1）证明： EF / /DC ，
2 + FCD =180 ， --------------------------------1分
1+ 2 =180 ，
1= FCD ，
DH / / AC ， --------------------------------1分
A = BDH ；
（2）解： EF / /DC ， AEF = 30 ，
ACD = AEF = 30 ， --------------------------------1分
CD 平分 ACB ，
ACB = 2 ACD = 2 30 = 60 ， --------------------------------1分
由（1）知DH / / AC ，
BHD = ACB = 60 ． --------------------------------1分
26.
答：A种果苗销售单价为 100元，B种果苗销售单价 75元；-------------------------------2分
答：最多购进 A种果苗 20棵； -------------------------------2分
答：购进 A 种果苗 19 棵，购进 B 种果苗 31 棵或购进 A 种果苗 20 棵，购进 B 种果苗 30
棵． -------------------------------2分
27. 解：（1）证明：
EM 平分 AEF ，
AEM = FEM ， --------------------------------1分
FEM = EMF ，
AEM = EMF ，
AB / /CD． --------------------------------1分
（2）① AB / /CD ， = 50 ，
AEG =130 ， --------------------------------1分
EH 平分 FBC ， EM 平分 ABF ，
1 1
HEF = FEG， MEF = AEF ，
2 2
1
MEH = AEG = 65 ， --------------------------------1分
2
HN ⊥ ME ，
在Rt EHN 中， EHN = 90 65 = 25 ，
即 = 25 ． --------------------------------1分
②点G 是射线 MD 上一动点，分两种情况讨论：
1
当点G 在点 F 的右侧时， = ， --------------------------------1分
2
1
当点G 在点 F 的左侧时， = 90 . --------------------------------1分
2
28.
解：（1）3， 4； -------------------------------2分
（2） 点 B(x, 4 x) 在第一象限，
0 x 4 ，
| x x |=| x 0 |= x，B O | yB yO |=| 4 x 0 |= 4 x ，
d分解 (B,O) = 3，
x = 3或 4 x = 3，
x = 3或 x =1，
B(3,1)或 (1,3) ； -------------------------------2分
（3）
① 如图 2，边为红色的正方形是所有符合条件的点 E 围成的图形，
边为蓝色的正方形是所有符合条件的点 F 围成的图形，
所有符合条件的点 E 围成的图形和点 F 围成的图形如下图所示
--------------------------------2分
② 3 t 3 --------------------------------1分
