2023—2024学年第二学期期中考试
初三数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．已知是二次根式，则a的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．
2．如图，在中，，D为中点，若，则的长是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
8．若是方程的根，则的值为（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2020
9．如图，在矩形中，对角线，交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
10．如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作交延长线于点F，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．式子在实数范围内有意义的条件是____________．
12．如图，的对角线，相交于点O，要使成为矩形，还需添加的一个条件是____________．
13．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，，则点C的坐标为____________．
15．如图，矩形中，，，点E、F分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是____________．
三、解答题（共55分）
16．（6分）计算：
（1）； （2）．
17．（6分）解方程：
（1） （2）
18．（6分）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
19．（6分）阅读下面的材料
一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中，到了中世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在他的代表作《代数学》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法，我国三国时期的数学家赵爽在其所著《勾股圆方图注》中也给出了类似的解法．
以为例，花拉子米的几何解法步骤如下：
①如图1，在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为x和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形；
②一方面大正方形的面积为，另一方面它又等于图中各部分面积之和，因为，可得方程，则方程的正数解是____________．
根据上述材料，解答下列问题．
（1）（4分）补全花拉子米的解法步骤②：
（2）（2分）根据花拉子米的解法，在图2的两个构图①②中，能够得到方程的正数解的正确构图是____________（填序号）．
20．（8分）实验与操作：
如图，在中，，是的一个外角．
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作的平分线；
（2）作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，．
猜想并证明：
判断四边形的形状并加以证明．
21．（10分）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：
；
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：；
根据上述知识，请你解答下列问题：
（1）化简；
（2）比较与的大小，并说明理由．
22．（13分）在菱形中，，点E，F分别是边，上的点．
【尝试初探】（1）如图1，若，求证：；
【深入探究】（2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O，且，求证：；
【拓展延伸】（3）如图3，若点E为的中点，，．
①设，，求y与x之间的函数关系式；
②若，求的长．
