铜陵市第四中学2023-2024学年度
第二学期八年级期中测试数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题4分，满分40分）
1.判断下列几组数中，一定是勾股数的是（ ）
A. B. C. D.
2，下列选项中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
3.估计与最接近的整数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.如图，在菱形中，，，则该菱形的面积是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，是等腰三角形，，点是边上异于中点的一点，，。运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题（ ）
A.有一组对边平行的四边形是矩形
B.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
8.如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点。请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，。若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，满分20分）
11.对于代数式，的取值范围是________。
12.如图是一株美丽的"勾股树"，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为________。
13.如图，同一平面内的四条平行直线、、、分别过正方形的四个顶点，，，，且每相邻的两条平行直线间的距离都为，则该正方形的边长是________。
14、如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为________。
三、解答题（共9小题，满分90分）
15.（8分）计算
（1）； （2）。
16.（8分）如图，在平行四边形中，，相交于点，点，分别为，的中点。
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平行四边形的面积为，直接写出四边形的面积。
17.（8分）如图，在中，，，，于。
（1）求的长。
（2）求的面积。
18.（8分）如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，。
（1）求证：四边形是正方形；
（2）若正方形的面积为，，求菱形的面积。
19.（10分）如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为内一点。仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。
（1）在图中，画格点，连接，，使得四边形为平行四边形，并在边上画点，使直线平分四边形的面积；
（2）在（1）的条件下，在图中，画的角平分线，再画点关于直线的对称点。
20.（10分）如图，在长方形纸片中，，，将纸片按如图所示的方式折叠，使点与点重合，折痕为。
（1）求证：；
（2）求和的长。
21.（12分）定义：我们将与称为一对“对偶式”。因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将与中的“”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如。像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化。根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）请直接写出的对偶式_______；
（2）己知，，求的值。
（3）利用“对偶式”相关知识解方程：，其中。
22.(12分)如图，在平而直角坐标系中，为坐标原点，的边在轴上，、两点的坐标分别为，，，且。一动点从点出发，以每秒单位长度的速度沿射线匀速运动，设点运动的时间为。
（1）求，两点的坐标；
（2）连接，若为等腰三角形，求点的坐标；
（3）当点在线段上运动时，在轴上是否存在点，使与全等？若存在，请求出的值并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由。
23.如图，在中，，是角平分线，点、分别在、上，且，、分别是、的中点，的延长线交边于，过、分别作的垂线交边与、，垂足分别为、。
求证：
（1）；
（2）
（3）
