2023-2024学年度第二学期期中质检
八年级数学科试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列用数学家名字命名的图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．斐波那契螺旋线
2．若，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”那么我们用反证法证明：“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”时，第一步先假设（ ）
A．三角形中有一个内角小于 B．三角形中有一个内角大于
C．三角形中没有一个内角小于 D．三角形中每个内角都大于
4．在平面直角坐标系中，把点向下平移3个单位，所得点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数是（ ）
第6题图
A． B． C． D．
7．如图，将绕点顺时针旋转角得到，若，，则的度数为（ ）
第7题图
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（ ）
第8题图
A． B． C． D．
9．若方程组的解为，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为50和39，则的面积为（ ）
A．3.5 B．5.5 C．7 D．11
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．边长为2的等边三角形的面积为______．
12．如果点在第三象限内，那么的取值范围是______．
13．如图，点的坐标为，点在轴上，把沿轴向右平移到，若四边形的面积为9，则点的坐标为______．
第13题图
14．某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打______折．
15．如图，在中，分别平分，直线过点，且，，，则______．
第15题图
16．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图一次函数（为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，根据图象可知，的取值范围是______．
第16题图
三、解答题（一）：（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分）
17．解不等式组．
18．如图，中，，是的高，，，求的长．
19．对于任意实数，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，求的取值范围．
20．已知线段和，求作一点，使到点的距离相等，且到的两边的距离相等．（不写作法，只保留作图痕迹）
四、解答题（二）：（21题8分，22题10分，23题10分，共28分）
21．如图，把一个直角三角形绕着顶点顺时针旋转，使得点旋转到边上的一点，点旋转到点的位置．分别是上的点，，延长与交于点．
（1）求证：；（2）求出的度数．
22．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．
（1）把向右平移3个单位得，请画出并写出点的坐标；
（2）把绕原点旋转得到，请画出．
23．我们把符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如．
（1）求不等式的解集．
（2）若关于的不等式的解集与（1）中的不等式解集相同，求的值．
（3）若关于的不等式的解都是（1）中的不等式的解，求的取值范围．
五、解答题（三）：（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元．
（1）求每台型电脑和型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
25．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
2023-2024学年度第二学期期中质检
八年级数学科目试卷（A）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B A D B A B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11． 12． 13． 14．八八（填8.8也给分）
15． 16．
三、解答题（一）（17题4分，18题4分，19题6分，20题6分，共20分）
17．解：
解不等式①，得．
解不等式②，得
所以不等式组的解集为
18．解：中，，，，
，
是的高，
，
，
在中，，
19．解：由题意得，，
则，
解集中有两个整数解，
，．
20．
点P就是所求的点．
（作出角平分线得2分，作出垂直平分线2分，画出点，写出结论得2分）
四、解答题（二）（21题8分，22题10分，23题10分，共28分）
21．证明：（1）由旋转可知：，
在和中，
（2）
又
在中，
在中，
22．解：（1）如图所示：即为所求，
点的坐标为：；
（2）如图所示：即为所求．
（本题中每小题作图3分，结论1分）
23．解：（1）由题意得
解得：
（2），即
解得：
解集与（1）中的不等式解集相同
解得
（3），即
解得
不等式的解都是（1）中的不等式的解
解得
五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．解：（1）设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元，
根据题意得： 解得
答：每台型电脑销售利润为100元，每台型电脑的销售利润为150元；
（2）①据题意得，，
即，
②据题意得，，解得，
，
随的增大而减小，为正整数，
当时，取最大值，则，
即商店购进34台型电脑和66台型电脑的销售利润最大．
25．解：（1），
，
在中，，由勾股定理得：
所以2秒时，的长为．
（2）根据题意得，，则，
，
时是等腰三角形；
即，解得；
故出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）成为等腰三角形，分三种情况：
①当时，如图1所示：则，
图1
，
，，
，
，，，
，，
，秒．
②当时，如图2所示：则，
图2
秒．
③当时，如图3所示：
图3
过点作于点，
则
，，
，秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
为等腰三角形．
