重庆市育才中学校高2026届高一（下）3月月考
数学试题
2024.3
（满分150分，考试时间120分钟）
本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
注意事项：
1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C．R D．
2．“”是的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．等边的边长为3，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，满足，，则的最大值为（ ）
A．4 B． C． D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角的余弦值为 D．若，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数是偶函数
C．点是图象的一个对称中心
D．函数在区间上单调递增
11．已知对任意角均有公式.设的内角满足，面积满足.记分别为所对的边，则下列等式或不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知，，，，则 .
13．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.设，，则 .
14．重天市育才中学为美化校园将一个半圆形空地改造为一个穿梭花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B都在半圆弧上，设，其中.若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，要使参观的线路最长，则 .（答案请用使用弧度制表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．设向量，，.
(1)若A、B、C三点共线，求实数x的取值；
(2)若，的夹角为锐角，求实数x的取值范围.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角B；
(2)若，求的最大值.
17．函数对任意的实数a，b，都有，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证：是R上的增函数；
(3)解关于实数x的不等式.
18．已知向量，函数，，.
(1)当时，求的值；
(2)若，求的最小值；
(3)是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点 若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
19．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
1．D
【分析】求出函数的定义域化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
【详解】函数中，，因此，而集合，
所以.
故选：D
2．C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数判断即可.
【详解】当时，，反之，当时，可以不取，如，有，
所以“”是的充分不必要条件.
故选：C
3．D
【分析】根据三角函数的定义可得，进而由诱导公式即可求解.
【详解】根据题意，由三角函数的单位圆定义得：，
，
故选：D．
4．D
【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D.
【详解】因为定义域为，
，
所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B；
因为，，所以，故C错误，D正确，
故选：D.
5．A
【分析】由商数关系以及两角差的正切公式即可运算.
【详解】由题意，解得，
所以.
故选：A.
6．A
【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解.
【详解】
如图，取中点，建立直角坐标系，则，
由，若，则，
所以得：，
由，若，则，
所以得：，
所以，故.
故选：A
7．B
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质结合单调区间及最值情况，列出不等式求解即得.
【详解】函数，由，得，即函数在上单调递增，
依题意，，则，解得，
由，得，由在上恰好取得一次最大值1，得，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
8．C
【分析】根据向量加减法的平行四边形法则作图，问题转化为求的最值，利用外接圆数形结合可求最值.
【详解】设，如图，
在中，，，，
延长至，使，则，
由正弦定理，得的外接圆直径，半径，令圆心为，
显然，又，由余弦定理得，
当点运动时，点在圆上动（除点外），因此，
所以的最大值为.
故选：C
9．BD
【分析】根据向量共线的坐标运算法则，可判断A的正误；根据投影向量的求法，可判断B的正误；根据向量夹角的求法，可判断C的正误；根据向量垂直的坐标运算法则，可判断D的正误，即可得答案.
【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B：向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C：，所以与的夹角的余弦值，故C错误；
对于D：若，则，所以，故D正确；
故选：BD
10．AC
【分析】根据给定的函数图象，求出的解析式，再逐项判断得解.
【详解】观察函数图象，，函数的周期，，
又，则，而，于是，，
对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，，函数不是偶函数，B错误；
对于C，，因此点是图象的一个对称中心，C正确；
对于D，当时，，而当时，函数取得最小值，
因此函数在区间上不单调，D错误.
故选：AC
11．ACD
【分析】根据三角函数诱导公式、题设中的公式、两角和与差的的余弦公式、正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明逐一即可得到结论.
【详解】因为的内角满足，
所以，
所以，
所以，
所以，
从而得：，
故，所以有，故A正确；
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，
所以，
所以，所以，故B错误；
又，故C正确；
因为，故，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解三角形中，我们可利用正弦定理把与边有的三角函数式转化与角有的代数式，另外注意利用三个内角和为来化简与三角形内角有关的三角函数式.
12．
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，垂直关系的坐标表示求解即得.
【详解】由，，得，而，且，
因此，解得，即，所以.
故答案为：
13．6
【分析】根据给定条件，利用定义结合平面向量数量积的定义计算即得.
【详解】依题意，，而，
所以.
故答案为：6
14．
【分析】利用直径所对的圆周角为直角，利用三角函数把线段、、表示为的函数，利用换元和二次函数的性质求取最大值时的值.
【详解】连接，则，
半圆的半径，在中，，
在等腰中，，显然，
所以参观路线的长度，
令，即，当时取得最大值，
此时，又，于是，所以当时，参观路线最长.
故答案为：
15．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得.
（2）利用向量夹角的余弦，结合共线向量求解即得.
【详解】（1）向量，，，则，
由A、B、C三点共线，得，则，解得，
所以实数x的取值为.
（2）由，，得，
由，的夹角为锐角，得，且与不共线，
于是，解得且，
所以实数x的取值范围是.
16．(1)
(2)4
【分析】（1）化切为弦，结合得到，求出答案；
（2）利用余弦定理和基本不等式进行求解.
【详解】（1），
即
由于，故，
因为，所以；
（2）由余弦定理得，
即，故，
因为，所以，解得，
当且仅当时，等号成立，
故的最大值为4.
17．(1)3；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，赋值计算即得.
（2）利用给定等式，结合增函数的定义推理即得.
（3）利用给定等式，结合（1）（2）的结论，再解指数不等式即得.
【详解】（1）对任意的实数a，b，都有，
取，则，所以.
（2）任取实数，且，则，由当时，，得，
依题意，，
所以函数是R上的增函数.
（3）由（1）知，，由（2）知，函数是R上的增函数，
不等式
，
因此，即，解得或，
则或，即或，
所以原不等式的解集是.
18．(1)；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求得函数的解析式，然后求解时的值即可.
（2）由（1）的解析式，把代入，利用余弦函数性质，结合二次函数性质求出最小值.
（3）令 求解的值，据此求得关于的不等式，求解不等式可得实数的取值范围.
【详解】（1）向量，，
，由，得，
，
因此，当时，，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，则当，即时，，
所以当时，函数取得最小值.
（3）由（1）知，，则，，
函数是偶函数，其图象关于轴对称，显然在上的图象关于轴对称，
当时，，当取内任意一个值时，都有两个不同的值与之对应，
由，得，即或，
由函数，有四个不同的零点，得，解得，
所以存在实数m，使函数，有四个不同的零点，m的取值范围是.
19．(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论；
（2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论；
（3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值．
【详解】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或；
（2）已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3
所以，整理得
解得或
当或或或时，
综上，；
（3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含，
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交.
