天津市滨海新区泰达实验学校2023-2024学年
七年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题2分，共24分．
1．4的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
2．下列实数，，3.14159，，0，+1，中无理数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
5．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E在射线上，要，只需（ ）
A． B． C． D．
7．如果＞，那么下列不等式中，不成立的是（ ）．
A．＞ B．＞
C．＞ D．＞
8．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（1）在平面内如果直线，，那么；
（2）相等的角是对顶角；
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（4）如果直线，，那么；
（5）两条直线平行，同旁内角相等；
（6）两条直线相交，所成的四个角中，一定有一个是锐角．
以上说法正确的有几个（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．在平面直角坐标系中，点在第二象限，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
13．如果点在轴上，则 ；
14．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
15．若，则 ．
16．关于x，y的方程组的解满足方程，则k的值为 ．
17．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 °．
18．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是 ．
三、解答题：本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．计算：
（1）
（2）
20．解下列方程组
(1)
(2)
21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，，将先左平移4个单位，再向下平移2个单位得到．
(1)请在图中画出：
(2)直接写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
22．已知的算术平方根是，的立方根是．
求a和b的值；
求的平方根．
23．已知：如图，、是直线上两点，，平分，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
24．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨，用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即A、B两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
25．△AOB中，∠AOB=90°，以顶点O为原点，分别以OA、OB所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（如图），点A（a，0），B（0，b）满足+|a-2|=0
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ．
（2）如图①，已知坐标轴上有两动点D、E同时出发，点D从A点出发沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点E从O点出发以每秒2个单位长度的速度沿y轴正方向移动，点E到达B点时运动结束，AB的中点C的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒，问：是否存在这样的t，使S△OCD=S△OCE？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点F是线段AB上一点，满足∠FOA=∠FAO，点G是第二象限中一点，连OG使得∠BOG=∠BOF，点P是线段OB上一动点，连AP交OF于点Q，当点P在线段OB上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出k的值；若变化，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据算术平方根的定义，即可得解．
【详解】解：，因此4的算术平方根是2，
故选A．
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键．非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根．
2．C
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：所列6个数中，，是分数，是有理数，
3.14159，是有限小数，是有理数，
，0，是整数，是有理数，
无理数有、+1这2个数，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．D
【分析】根据平面直角坐标系中，各象限内的点坐标的符号规律即可得．
【详解】解：因为点的横坐标为，纵坐标为，
所以点所在的象限是第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握平面直角坐标系中，各象限内的点坐标的符号规律是解题关键．
4．D
【详解】解：∵16＜19＜25，∴，则在4和5之间．
考点：二次根式的估算
5．A
【分析】根据立方根性质，算术平方根和平方根的定义即可求解．
【详解】解：A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，算术平方根和平方根，掌握定义是解题的关键．
6．D
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：要，只需．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
7．C
【分析】根据不等式的性质即可一一判定．
【详解】解：A.，，故该选项成立，不符合题意；
B.，，故该选项成立，不符合题意；
C.，，故该选项不成立，符合题意；
D. ，，故该选项成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握和运用不等式的性质是解决本题的关键．
8．C
【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．
【详解】由题意可得：，
，
．
故选C．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出的度数是解题关键．
9．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
数轴表示如下所示：
，
故选：A．
10．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的定义，垂直的定义等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：（1）在平面内如果直线，，那么，原说法正确；
（2）相等的角是不一定是对顶角，原说法错误；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
（4）如果直线，，那么，原说法错误；
（5）两条直线平行，同旁内角互补，原说法错误；
（6）两条直线相交，所成的四个角中，不一定有一个是锐角，例如两直线垂直，四个角都是直角，原说法错误．
∴说法正确的只有1个，
故选：A．
11．A
【分析】根据“点P在第二象限”可知，点P的横坐标为负，纵坐标为正，根据“点到轴的距离为，到轴的距离为”可分别得出点P横坐标与纵坐标的绝对值，即可得出坐标
【详解】解：∵点P在第二象限
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0
∵点P到轴的距离为，到轴的距离为
∴点P的坐标是（-3,4）
故选：A
【点睛】本题考查坐标平面内点的坐标的特点与点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值.
12．C
【分析】由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得，即④正确．
【详解】∵平分，平分
∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP
∵
∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜
∴
故①正确
∵
∴∠ABE=∠CDB
∵∠CDB+∠CDF=180゜
∴
故②正确
由已知条件无法推出AC∥BD
故③错误
∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2
∴∠ACP=∠E
∴AC∥BD
∴∠CAP=∠F
∵∠CAB=2∠1=2∠CAP
∴
故④正确
故正确的序号为①②④
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识是关键．
13．
【分析】根据平面直角坐标系中，轴上的点的横坐标为0建立方程，解方程即可得．
【详解】解：点在轴上，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握轴上的点的横坐标为0是解题关键．
14．3
【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
利用平移的性质解决问题即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，
，，
，
，
∴平移的距离为3，
故答案为：3．
15．1
【分析】根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性得出a，b的值，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，整数指数幂，得出a，b的值是解题关键．
16．4
【分析】把两个方程相加，再利用整体代入求解．
【详解】解：
由①+②得：3x+y=9
∴3x+y=2k+1=9
解得：k=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的概念，整体代入法是解题的关键．
17．
【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，（两直线平行，内错角相等）
由折叠得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
18．（2019，2）
【分析】分析点P的运动规律，找到循环次数即可．
【详解】解：分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次．每循环一次向右移动四个单位．
∵2019=4×504+3，
2020=4×505，
∴当第504循环结束时，即经过第4×504=2016次运动后，点P位置在（2016，0），
在此基础之上运动三次到（2019，2），
故答案为：（2019，2）．
【点睛】本题是点的坐标规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环．
19．（1）；（2）3
【分析】（1）直接利用算术平方根的性质、二次根式的性质、立方根的性质分别化简在计算得出答案．
（2）直接利用绝对值的性质、平方的的性质计算得出答案．
【详解】解：（1）
（2）
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解；
（2）利用加减消元法求解．
【详解】（1）解：
将代入②得：，
解得，
将代入①得：，
故原方程组的解为：；
（2）解：，
①－②×2得： ，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
故原方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，能够根据题目特点灵活选择代入法或消元法是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，割补法求三角形面积：
（1）利用点平移的坐标变换规律找到，，的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出，，的坐标；
（3）用一个长方形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
【详解】（1）答案如图：
（2）解：由图可知，，；
（3）解：如图， ，，
，
∴
22．（1）a的值为4，b的值为17（2）
【分析】由的算术平方根是得，解得；由的立方根为知，解得；
由可知，25的平方根为或5．
【详解】解：的算术平方根是，
，
解得：，
的立方根是，
，
即，
解得：，
故a的值为4，b的值为17；
由得，，
，
的平方根为．
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的应用，熟练掌握各自的性质是解题关键．
23．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由邻补角可得，结合题意可得，再由同位角相等两直线平行证得结论；
（2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补求得，再由角平分线求得，最后由两直线平行内错角相等可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
∴；
（2），，
，
平分，
，
∵，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质；熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．(1)1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运．
(2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车1辆；方案二：A型车5辆，B型车4辆；方案三：A型车1辆，B型车7辆．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用：
（1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案．
【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，
依题意，得
解得
答：1辆A型车载满货物一次可运辆B型车载满货物一次可运．
（2）解：由（1），得，
．
都是正整数，
或或
有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
25．（1）（2，0）；（0，4）；（2）当t=1时，S△OCD=S△OCE；（3）．
【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到答案；
（2）根据题意用t表示出OE、OD，根据三角形的面积公式列式计算即可；
（3）根据三角形的外角的性质得到∠OPA=∠ABP+∠BAP，证明OG∥AB，根据平行线的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】（1）∵+|a-2|=0
∴b-2a=0，a-2=0，
解得，a=2，b=4，
则点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），
故答案为（2，0）；（0，4）；
（2）由题意得，AD=t，OE=2t，
则OD=2-t，
当S△OCD=S△OCE时，×2×（2-t）=×2t×1，
解得，t=1，
∴当t=1时，S△OCD=S△OCE；
（3）∠OPA是△APB的外角，
∴∠OPA=∠ABP+∠BAP，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOF+∠FOA=90°，
∵∠BOG=∠BOF，∠FOA=∠FAO，
∴∠GOA+∠BAO=180°，
∴OG∥AB，
∴∠BOG=∠OBA，
∵∠BOG=∠BOF，
∴∠FOB=∠OBA，
∴∠OQA+∠BAP=∠OPA+∠BOF+∠BAP=∠OPA+∠OBA+∠BAP=2∠OPA，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定和性质、非负数的性质、三角形的面积计算，掌握非负数的性质、三角形的外角的性质是解题的关键．
