2024春惠阳城乡教育共同体（第五组）期中教学质量检测
八年级数学
全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件即可解答．
【详解】由题意可得：且
解得：
故选：D
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练地掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件是解题的关键．
2. 与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式定义进行解答．
【详解】解：的被开方数是2．
A、，是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
B、，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项正确；
C、=2，2是有理数，不是二次根式，故本选项错误；
D、被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. ， ，4 D. 1， ，
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】A．42+52≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B．22+32≠42，不可以构成直角三角形，故B选项错误；
C．（）2+（）2≠42，可以构成直角三角形，故C选项错误．
D．12+（）2＝（）2，可以构成直角三角形，故D选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4. 直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（ ）
A. 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案.
【详解】解：直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为3cm，
故选C．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟记性质是解决本题的关键.
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，且的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，根据菱形的性质可得，即可求得点的坐标．
【详解】解：∵的坐标分别是
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，坐标与图形，求得的长是解题的关键．
6. 如图，中，平分交于E，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，关键是掌握平行四边形对边互相平行．首先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，先计算出，然后再计算出的度数，可得答案．
【详解】解∶四边形是平行四边形．
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选∶B．
7. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．已知：AB=1，BC=2，则BM的长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠与平行可得AM＝CM，设BM＝x，再利用勾股定理列出方程求得BM的长．
【详解】解：由折叠的性质可知，∠DAC＝∠MAC，
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥CB．
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠MAC，
∴AM＝CM．
设BM＝x，则AM＝CM＝2﹣x．
∴12+ x2＝（2﹣x）2，
解得，x＝，
∴BM＝，
故选：B．
【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的综合运用，解题关键是根据折叠得出等腰三角形，利用勾股定理列方程．
8. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列条说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行四边形的性质容易得出结论．
【详解】∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，OB=OD，∠BAD=∠BCD，
∴选项A、B、D正确，不符合题意；
∠ABO与∠DCO不一定相等，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解决问题的关键．
9. 如图，在边长为7的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由正方形的性质和折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长度．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
沿折叠，使点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
在中，，
，
，
故选：C．
10. 如图，矩形中，，点G是边上一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为（ ）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】连接，，根据三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，即的长度，根据勾股定理求出即可得出答案．
详解】解：连接，，如图所示：
∵点E，F分别是，的中点，
∴，
∴当最大时，最大，
当点P在点B处时，最大，即的长度，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴的最大长度为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线性质，得出，当最大时，最大．
二、填空题（每题4分，共28分）
11. “矩形的对角线相等”的逆命题为_______，该逆命题是______命题（真、假）．
【答案】 ①. 如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形 ②. 假
【解析】
【分析】把一个命题的条件和结论互换就可以得到它的逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】解：命题“矩形的对角线相等”的逆命题是“如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形”，该逆命题是假命题．
故答案为：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形；假．
【点睛】本题主要考查了逆命题及判断命题真假，熟练掌握写逆命题的方法是解题关键．
12. 若，则=________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据二次根式的非负性求x，再得到y，然后计算
【详解】根据二次根式的定义，，，所以x＝4，
则y＝2.
所以＝16.
故答案为16.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0．
13. 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____________.
【答案】49
【解析】
【分析】根据勾股定理计算即可
【详解】解：最大的正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为，
故答案为49．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
14. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】先通过正方形面积求出边长，再根据边长求出其中一个长方形的面积，再乘以2，即可得到阴影部分面积．
【详解】面积为8的正方形的边长为：，
面积为3的正方形的边长为：，
阴影部分长方形面积为：，
由于有两个，故总面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查由面积求边长的应用，掌握这一点是本题关键．
15. 对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※，则2※______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进一步化简即可．
【详解】解：2※
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算，正确列出算式，并掌握二次根式乘除法计算法则；解题的关键是掌握化简过．
16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为___.
【答案】2 cm
【解析】
【分析】如图，首先证明AG为线段DH的垂直平分线；进而证明AD=AH=4，∠DAG=∠HAG=∠HAB=α，求出α；运用直角三角形的边角关系求出AB，即可解决问题．
【详解】如图，∵点E，F分别是CD和AB的中点，
且四边形ABCD为矩形，
∴EG∥CH，而DE=CE，
∴DG=GH;由题意得：∠AGH=∠B=90°，
∴AG为线段DH的垂直平分线，
∴AD=AH=4,∠DAG=∠HAG(设为α)；
而∠BAH=∠GAH=α，
∴3α=90°,α=30°，
∴cos30°=,AB=2 (cm)，
∴CD=AB=2cm，
故答案为2 cm.
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于运用直角三角形的边角关系求出AB
17. 如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律和对“正方形的渐开线”的理解．先分别求出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是，从中找出规律，依规律计算即可．
【详解】解：从图中可以看出的坐标是，的坐标是，的坐标是，的坐标是；
由题意可知，，
点的坐标是的坐标循环后的点．
依次循环则的纵坐标是，，，，横坐标是可以用为自然数）表示．
当时，
．
的坐标是；
故答案为：．
三、解答题（每题6分，共18分）
18. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】首先利用二次根式的性质以及结合绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简求出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质、二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19. 如图，在中，，垂足为．，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．先求出，利用勾股定理求出、，进而得到，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵，
∴，
由勾股定理得：，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
20. 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质：对边相等来解答．需要证明延长的边相等，就需要证明三角形全等．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC，DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题．
四、解答题（每题8分，共24分）
21. ，，求下列代数式的值．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用提公因式法化简，再代入字母的值，运用平方差公式，二次根式的混合运算求值即可；
（2）运用配方法配成完全平方公式，再代入字母的值，运用平方差公式，二次根式的混合运算求值即可．
【小问1详解】
解：，把，代入，
∴原式
．
【小问2详解】
解：，把，代入，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查代入求值，乘法公式，二次根式的混合运算的综合，掌握以上知识是解题的关键．
22. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带AB长为．
（1）新传送带______；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断与B点距离为的货物是否需要挪走，并说明理由．
【答案】（1）12 （2）货物不需要挪走．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质．
（1）先根据等腰直角三角形的性质求出的长，然后再根据直角三角形的性质求出即可；
（2）先利用勾股定理求出，然后再根据题意求出的长，最后根据题意判断即可．
【小问1详解】
解：在中，，
∴，∵，
∴，
在中，，
，
答：新传送带的长度为；
故答案为：12；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴货物不需要挪走．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，从而得到AB=AD，再由菱形的判定定理即可得到结论；
（2）利用平行四边形的性质得到∠G=30°，∠EAG=90°，再由直角三角形的性质即可得到结果．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
又∵BE=DF，
∴≌，
∴AB= AD，
∴四边形ABCD是菱形；
【小问2详解】
如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，
∵∠CEG=30°，AE⊥BC，
∴∠G=30°，∠EAG=90°，
又∵AE=2，
∴EG=2AE=4．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．
五、解答题（每题10分，共20分）
24. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一），
（二），
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：（四）
（1）直接写出化简结果① ，② ．
（2）请选择适当的方法化简．
（3）化简：．
【答案】（1）①；②
（2）；
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，关键是熟练掌握分母有理化的方法．
（）①分子、分母乘以即可化简；
②根据方法二求解即可；
（）根据方法三求解即可；
（）先根据方法三求解即可，然后合并二次根式即可．
【小问1详解】
解：①，
②，
故答案为：①，②；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
．
25. 如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发(点P不与点A、点D重合)，沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒()．
（1）线段的长为________；当点P在边上运动时_________(用含t的式子表示)；
（2）当时， ________； __________；
（3）若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长__________；
（4）在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理先求出，再求出，然后根据勾股定理求出；当点P在边上运动时用t表示出即可；
（2）过点D作于点P，利用等积法求出即可，根据勾股定理求出即可得出答案；
（3）作的平分线，交于点P，过点P作于点E，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案；
（4）过点C作于点P，交于点E，，得出，即可求出此时；证明，得出，，设，则，根据勾股定理求出x的值，即可得出．
【小问1详解】
解：∵,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点P在边上运动时．
故答案为：；．
【小问2详解】
解：过点D作于点P，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得：，
∴．
故答案为：；．
小问3详解】
解：作的平分线，交于点P，过点P作于点E，如图所示：
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：．
故答案为：．
【小问4详解】
解：过点C作于点P，交于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
此时；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
当点P运动到点E时，，此时；
综上分析可知，当或时，与的一边垂直．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．2024春惠阳城乡教育共同体（第五组）期中教学质量检测
八年级数学
全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟
一、单选题（每题3分，共30分）
1. 要使有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
2. 与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 （ ）
A 4，5，6 B. 2，3，4 C. ， ，4 D. 1， ，
4. 直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（ ）
A 2cm B. 2.5cm C. 3cm D. 4cm
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，且的坐标分别是，则顶点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，中，平分交于E，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点D落在点E处，AE与边BC的交点为M．已知：AB=1，BC=2，则BM的长等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列条说法不正确的是（ ）
A. B.
C D.
9. 如图，在边长为7的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ）
A. B. C. D. 2
10. 如图，矩形中，，点G是边上一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为（ ）
A 5 B. 6 C. 8 D. 不能确定
二、填空题（每题4分，共28分）
11. “矩形的对角线相等”的逆命题为_______，该逆命题是______命题（真、假）．
12. 若，则=________.
13. 如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____________.
14. 如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为________．
15. 对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※，则2※______．
16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为___.
17. 如图，在直角坐标系中，四边形是正方形，，，，．曲线、、叫做“正方形的渐开线”，其中弧、弧、弧、弧、的圆心依次是点、、、循环，则点的坐标是____________．
三、解答题（每题6分，共18分）
18. 计算：．
19. 如图，在中，，垂足为．，，．求证：．
20. 如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF．
四、解答题（每题8分，共24分）
21. ，，求下列代数式的值．
（1）
（2）
22. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带AB长为．
（1）新传送带______；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断与B点距离为的货物是否需要挪走，并说明理由．
23. 如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE =2，求EG的长．
五、解答题（每题10分，共20分）
24. 阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一），
（二），
（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：（四）
（1）直接写出化简结果① ，② ．
（2）请选择适当的方法化简．
（3）化简：．
25. 如图，在中，，过点A作交于点D，．动点P从点B出发(点P不与点A、点D重合)，沿折线向终点D运动，在边上运动时速度为每秒1个单位长度，在边上运动时速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒()．
（1）线段的长为________；当点P在边上运动时_________(用含t的式子表示)；
（2）当时， ________； __________；
（3）若点P运动到的角平分线上时，直接写出线段的长__________；
（4）在整个运动过程中，当与的一边垂直时，直接写出此时t的值．
