2023-2024学年浙江省宁波市余姚市七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如图，下列各角与∠2是同位角的是（ ）
A．∠2． B．∠3 C．∠4 D．∠5
2．（3分）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．xy﹣1＝0 B．2x+3y＝4 C． D．x2﹣2x＝0
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（3a）2＝6a2
C．a2+a2＝2a2 D．2a（3a﹣1）＝6a2﹣1
4．（3分）小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（ ）
A．面积减少4m2 B．面积增加4m2
C．面积增加2m2 D．面积不变
5．（3分）下列结论正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角相等
C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
6．（3分）若（x﹣3）（x+4）＝x2+px+q，那么p、q的值是（ ）
A．p＝1，q＝﹣12 B．p＝﹣1，q＝12 C．p＝7，q＝12 D．p＝7，q＝﹣12
7．（3分）我国古代《九章算术》中记载：“今有甲乙两人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何．”意思是：今有甲乙二人，不知他们身上有多少钱．已知甲所带的钱数与乙所带钱数的一半的和为50钱，乙所带钱数与甲所带钱数的的和也是50钱．问甲、乙身上各有多少钱．如果设甲有工钱x钱，乙有y钱，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）将一副三角板如图放置，则下列结论中，正确的是（ ）
①∠1+2∠2+∠3＝180°；
②如果BC∥DA，则有∠2＝45°；
③如果∠3＝60°，则有AC∥DE；
④如果∠1+∠3＝90°，则有∠4＝45°．
A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．①②③
9．（3分）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，若图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，则能求出哪条线段的长（ ）
A．线段AB B．线段BC C．线段AE D．线段FB
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（4分）将方程y﹣3x＝5变形成用含有x的代数式表示y，则y＝ ．
12．（4分）已知关于x的多项式 x2+4x+n 是一个完全平方式，则n＝ ．
13．（4分）若ax＝3，ay＝2，则ax+y等于 ．
14．（4分）如图，下列条件中，不能判别AD∥BC的是 ．
①∠B+∠BCD＝180°；
②∠1＝∠2；
③∠3＝∠4；
④∠5＝∠D．
15．（4分）如图，大长方形是由9个完全相同的小长方形组成．已知小长方形的长，宽分别为a，b，则图中连接三个格点围成的阴影部分图形的面积是 （用含a，b的代数式表示）．
16．（4分）已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC＝37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠KHD的度数为 ．
三、解答题（共66分）
17．（6分）计算：
（1）（5a﹣3b）+5（a﹣2b）；
（2）．
18．（8分）用适当的方法解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（8分）先化简，再求值．[（2a+b）2﹣（2a﹣b）（a+b）﹣2b2]÷（2a），其中．
20．（6分）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）将△ABC平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，请补全△A′B′C′；
（2）连接AA′、BB′，则这两条线段之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
21．（8分）如图，CD⊥AB 于点D，点F是BC上任意一点，过点F作FE⊥AB于点E，且∠1＝∠2．
（1）求证：DG∥BC；
（2）若∠2＝35°，CD平分∠BCA，求∠3的度数．
22．（8分）已知关于x，y的方程组．
（1）无论实数m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0总有一个公共解，请直接写出这个公共解；
（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
23．（10分）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套）
每套服装的价格 60元 50元 40元
（1）求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；
（2）七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案．
24．（12分）综合与探究．
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若x+y＝3，x2+y2＝5，求xy的值．
【类比应用】（2）若x（3﹣x）＝2，则x2+（3﹣x）2＝ ．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接AC，BD．若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝50，求一块直角三角板的面积．
2023-2024学年浙江省宁波市余姚市七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．【解答】解：A、∠2与∠2是同一个角，故A不符合题意；
B、∠3与∠2不是同位角，故B不符合题意；
C、∠4与∠2是同位角，故C符合题意；
D、∠5与∠2是同旁内角，故D不符合题意．
故选：C．
2．【解答】解：A、xy﹣1＝0，含有未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、2x+3y＝4，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
C、，是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；
D、x2﹣2x＝0，是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：A、a2 a3＝a5，故此选项不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；
C、a2+a2＝2a2，故此选项符合题意；
D、2a（3a﹣1）＝6a2﹣2a，故此选项不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：∵原来正方形的边长为am，
则改建后的养鸡场长为：（a+2）m，宽为（a﹣2）m，
原来面积为a2，改建后面积为（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，
a2﹣（a2﹣4）＝4．
故选：A．
5．【解答】解：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故A错误，不符合题意；
两直线平行，同旁内角互补，故B错误，不符合题意；
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C错误，不符合题意；
同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故D正确，符合题意；
故选：D．
6．【解答】解：由于（x﹣3）（x+4）＝x2+x﹣12＝x2+px+q，
则p＝1，q＝﹣12．
故选：A．
7．【解答】解：依题意，得：．
故选：C．
8．【解答】解：∵∠CAB+∠DAE＝180，
∴∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，即∠1+2∠2+∠3＝180°，故①正确；
∵BC∥DA，
∴∠3＝∠B＝45°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°，故②正确；
∵∠3＝60°，
∴∠2＝90°﹣60°＝30°，∠1＝90°﹣∠2＝60°，
∴∠E＝∠1，
∴AC∥DE，故③正确；
∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3＝45°，
∴∠3＝∠B，
∴AD∥BC，
∴∠4＝∠D＝30°，故④错误，
故选：D．
9．【解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组，即，解是，
整理得：．
故选：C．
10．【解答】解：由图1知，大长方形的长为a+b+c，由图2知，大长方形的宽为a+b﹣c，
设图1阴影部分周长为l1，图2阴影部分周长为l2，则l1＝2（a+b+c）+2（a+b﹣c﹣c）＝4a+4b﹣2c，l2＝2（a+b+c﹣b）+2（a+b﹣c）＝4a+2b，
∴l1﹣l2＝（4a+4b﹣2c）﹣（4a+2b）＝2b﹣2c＝2（b﹣c）＝2AE，
∴图1中阴影部分周长与图2中阴影部分的周长之差已知，可求线段AE的长；
故选：C．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．【解答】解：∵y﹣3x＝5，
∴y＝3x+5，
故答案为：3x+5．
12．【解答】解：∵关于x的多项式 x2+4x+n 是一个完全平方式，
∴x2+4x+n＝x2+2 x 2+22，
∴n＝22＝4．
故答案为：4．
13．【解答】解：当ax＝3，ay＝2时，
ax+y
＝ax ay
＝3×2
＝6．
故答案为：6．
14．【解答】解：∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
故①符合题意；
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
故③不符合题意；
∵∠5＝∠D，
∴AD∥BC，
故④不符合题意；
故答案为：①②．
15．【解答】解：∵S阴＝3a 3b﹣a 3b﹣2a 2b﹣b 3a
＝9ab﹣ab﹣2ab﹣ab
＝4ab．
故答案为：4ab．
16．【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN、KH交于点Q，如图1，
由折叠可知：∠K＝∠P＝90°，∠ENM＝90°，
∵MN∥PK，
∴∠Q＝180°﹣∠K＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ENM＝∠Q，
∴EN∥KH，
∵∠EFC＝37°，AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝37°，
∴∠AEN＝2∠AEF＝2×37°＝74°，
∴∠AHQ＝∠AEN＝74°，
∴∠KHD＝∠AHQ＝74°；
当PK在AD下方时，延长HK、MN交于点T，
由折叠可知：∠HKP＝90°，∠MNE＝90°，
∵MN∥PK，
∴∠T＝∠HKP＝90°，
∴∠ENM＝∠T＝90°，
∴EN∥HK，
∵∠EFC＝37°，AD∥BC，
∴∠AEF＝∠EFC＝37°，
∴∠AEN＝2∠AEF＝2×37°＝74°，
∴∠AHK＝∠AEN＝74°，
∵∠KHD＝180°﹣∠AHK＝180°﹣74°＝106°；
综上所述：∠KHD的度数为74°或106°．
故答案为：74°或106°．
三、解答题（共66分）
17．【解答】解：（1）（5a﹣3b）+5（a﹣2b）
＝5a﹣3b+5a﹣10b
＝10a﹣13b．
（2）
＝2+1﹣1+2
＝4．
18．【解答】解：（1），
①+②，得3x＝﹣9，
解得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入②，得y＝﹣9，
所以方程组的解是；
（2），
方程组可化为，
由①，得x＝2y③，
把③代入②，得4y+y＝8，
解得y＝，
把y＝代入③，得x＝，
所以原方程组的解是．
19．【解答】解：原式＝[4a2+4ab+b2﹣（2a2﹣ab+2ab﹣b2）﹣2b2]÷2a
＝（4a2+4ab+b2﹣2a2+ab﹣2ab+b2﹣2b2）÷2a
＝（2a2+3ab）÷2a
＝a+b．
当时，
原式＝﹣+×1
＝1．
20．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）由平移的性质可得AA′＝BB′，AA′∥BB′，
故答案为：AA′∥BB′；AA′＝BB′．
21．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠CDB＝∠FEB＝90°，
∴FE∥CD，
∴∠DCB＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DG∥BC；
（2）解：∵∠DCB＝∠2，∠2＝35°，
∴∠DCB＝35°，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB＝2∠DCB＝70°，
∵DG∥CB，
∴∠3＝∠ACB＝70°．
22．【解答】解：（1）方程m﹣2y+mx+9＝0，整理得（x+1）m﹣2y+9＝0，
由于无论m取任何实数，该二元一次方程都有一个固定的解，
∴列出方程组，
解得：；
（2）解方程组，得，
将代入m﹣2y+mx+9＝0，
解得．
23．【解答】解：（1）设七年级参加比赛的有x人，则八年级参加比赛的学生有（92﹣x）人，
50x+60（92﹣x）＝5000，
解得x＝52，
∴92﹣x＝40，
答：七年级参加比赛的有52人，八年级参加比赛的学生有40人；
（2）由题意可得，
七年级参赛的有52﹣10＝42（人），
单独购买的总费用为：42×60+40×60
＝2520+2400
＝4920（元）；
两个年级一起购买服装需要的费用为：（42+40）×50
＝82×50
＝4100（元）；
当购买91套时的费用为：40×91＝3640（元），
∵3640＜4100＜4920，
∴两个年级最省钱的购买服装方案是一次购买91套．
24．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
又∵x+y＝3，x2+y2＝5，
∴9＝5+2xy，
∴xy＝2；
（2）设y＝3﹣x，则x+y＝x+（3﹣x）＝3．
∵x（3﹣x）＝2，即xy＝2，
∴x2+（3﹣x）2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝32﹣2×2＝5．
故答案为：5；
（3）∵△AOB≌△COD，
∴AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝∠COD＝90°，
∵点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
∴∠AOC＝180°﹣∠COD＝90°，∠BOD＝∠AOC＝90°，
设AO＝CO＝x，BO＝DO＝y，
∵AD＝AO+OD＝x+y＝14，
又∵，
∴x2+y2＝100，解得xy＝48，
∴．
答：一块直角三角板的面积为24．
