2023-2024学年广东省梅州市大埔县八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）把不等式x≥﹣1的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，﹣3）向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣5） B．（﹣3，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，1）
4．（3分）已知a＞b，下列不等式变形正确的是（ ）
A．ac＞bc B．﹣2a＜﹣2b C．﹣a＞﹣b D．a﹣4＜b﹣4
5．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB边所在的直线向下平移得到△DEF，BC与DF交于H，下列结论中不一定正确的（ ）
A．AD＝BD
B．AD＝BE
C．∠DEF＝90°
D．S四边形ADHC＝S四边形BEFH
6．（3分）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
7．（3分）直线y＝nx+2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx+2n＞0的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x＜﹣1
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．不确定
9．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣5，6﹣2x）在第二象限，则x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜5 B．x＞5 C．x＜3 D．﹣3＜x＜5
10．（3分）如图，有三块菜地△ACD，△ABD，△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD＝DE，AB＝3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（ ）
A．24 B．27 C．32 D．36
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是 ．
12．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标为 ．
13．（3分）已知直线y＝kx+b（k≠0）过（1，0）和（0，﹣2），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是 ．
14．（3分）已知不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则a的值是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝22.5°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝8cm，则AC等于 cm．
16．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点C，A为圆心、大于CA的长为半径画弧两弧交于点M，N，作直线MN分别交CB，CA于点E，F，则线段BE与线段EC的数量关系是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解不等式：3x﹣2≥1．
18．（6分）解下列不等式组，并写出它的最大整数解．
．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）在AC边上找一点D，使DB+DC＝AC；（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若AC＝5，AB＝6，求DC的长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．（8分）已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，AE＝CF．
求证：
（1）DE＝BF；
（2）AB∥CD．
21．（8分）如图：在直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位的图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°后的图形△A2B2C2，并写出此时A2、B2、C2的坐标．
22．（8分）如图，直线l1的解析式为y＝2x﹣2，直线l1与x轴交于点D，直线l2：y＝kx+b与x轴交于点A，且经过点B，直线l1，l2交于点C（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求直线l2的解析式；
（3）根据图象，直接写出kx+b≤2x﹣2的解集．
五、解答题（三）（本大题3小题，第23题8分，第24题10分，第25题12分，共30分）
23．（8分）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
24．（10分）某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去社会实践基地参加活动．两种型号的车的载客能力和租金如下表所示：
A B
载客量（人/辆） 50 35
租金（元/辆） 450 300
设租用A型车x辆，
（1）请用代数式表示出总租金是多少
（2）保证租车费用不超过2900元，且八年级师生共305人，请在所有满足的租车方案中，指出花费最少的方案租用了几辆A型车？
25．（12分）观察猜想
（1）如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一动点，与点B不重合，连接AD，将△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACE，那么CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ；
数学思考
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D、E为BC上两点，且∠DAE＝45°．求证：BD2+CE2＝DE2；
拓展延伸
（3）如图3，在△ABC中，∠CAB＝120°，AB＝AC，∠DAE＝60°，若以BD、DE、EC为边的三角形是以BD为斜边的直角三角形，当BD＝2时，求DE的长．
2023-2024学年广东省梅州市大埔县八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：观察四个选项可知，只有B选项中的图形绕某一点旋转180°后能与自身重合，
因此B选项中的图形是中心对称图形，
故选：B．
2．【解答】解：把不等式x≥﹣1的解集表示在数轴上，正确的是：
故选：B．
3．【解答】解：由题意，得：平移后点的坐标是（﹣1+2，﹣3），
即：点的坐标为：（1，﹣3）．
故选：C．
4．【解答】解：A、当c＝0时，ac＝bc，故选项A错误；
B、﹣2a＜﹣2b，故选项B正确；
C、﹣a＜﹣b，故选项C错误；
D、a﹣4＞b﹣4，故选项D错误；
故选：B．
5．【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ADHC＝S四边形BEFH，
观察四个选项，AD≠BD不正确，
故选：A．
6．【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC EF＝×5×2＝5，
故选：C．
7．【解答】解：当y＝0时，x＝﹣2．
∴函数图象与x轴交于点（﹣2，0），
一次函数y＝nx+2n，当y＞0时，图象在x轴上方，
∴不等式nx+2n＞0的解集为x＞﹣2，
故选：B．
8．【解答】解：∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠MBE，
∴∠AMN＝2∠MBE．
∵∠AMN＝∠MBE+∠MEB，
∴∠MBE＝∠MEB，
∴MB＝ME．
同理，NC＝NE，
∴C△AMN＝AM+ME+EN+AN＝AB+AC＝10．
故选：A．
9．【解答】解：∵点P（x﹣5，6﹣2x）在第二象限，
∴，
解得x＜3．
故选：C．
10．【解答】解：在AB上截取AF＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠FAD，
在△ACD与△AFD中，
，
∴△ACD≌△AFD（SAS），
∴S△ACD＝S△AFD，
∵AD＝DE，地△BDE的面积为96，
∴S△ABD＝S△BDE＝96，
∵AB＝3AC，
∴AB＝3AF，
∴S△ADF＝×96＝32，
∴菜地△ACD的面积是32，
故选：C．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，
三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，
所以120°只可能是顶角．
故答案为：120°．
12．【解答】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．【解答】解：∵直线y＝kx+b（k≠0）过点（1，0）和（0，﹣2），
∴直线经过一、三、四象限，
∴y随x的增大而增大，
当x＜1时，y＜0，
即kx+b＜0．
故答案为：x＜1．
14．【解答】解：，
由①得x＜a+1，
由②得x＞﹣1，则﹣1＜x＜a+1，
∵不等式组解集是﹣1＜x＜1，
∴a+1＝1，解得a＝0．
故答案为：0．
15．【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB＝8，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∴AC＝EC，
由勾股定理得，AC2+EC2＝AE2，即AC2+AC2＝82，
解得，AC＝4，
故答案为：4．
16．【解答】解：如图，连接EA，
在△ABC中，AB＝AC，∠BC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°．
由尺规作图可知，直线MN是线段CA的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°．
在Rt△BAE中，∠B＝30°，
∴BE＝2EA，
∴BE＝2EC．
故答案为：BE＝2EC．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．【解答】解：移项，得3x≥1+2，
合并同类项，得3x≥3，
系数化为1，得x≥1．
18．【解答】解：解不等式①得：x＜﹣5；
解不等式②得：x≤﹣3；
∴不等式组的解集为：x＜﹣5，
∴不等式组的最大整数解为x＝﹣6．
19．【解答】解：（1）如图，点D为所作：
；
（2）∵AC＝5，AB＝6，
∴，
由作图知BD＝AD，
设CD＝x，则BD＝AD＝AC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△BCD中，由BC2+CD2＝BD2，
∴，
∴x＝1.4，
即DC的长为1.4．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20．【解答】证明：（1）∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
在Rt△CDE和Rt△ABF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），
∴DE＝BF；
（2）∵△CDE≌△ABF，
∴∠C＝∠A，
∴DC∥AB．
21．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
此时A2、B2、C2的坐标分别为：此时A2（0，﹣3）、B2（﹣3，﹣4）、C2（﹣2，﹣2）．
22．【解答】解：（1）∵直线l1经过点C（m，2），
∴2m﹣2＝2，
解得m＝2．
（2）由（1）得，C（2，2），
∵直线l2经过B（3，1），C（2，2），
∴，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x+4．
（3）由图得：kx+b≤2x﹣2即﹣x+4≤2x﹣2的解集为x≥2．
五、解答题（三）（本大题3小题，第23题8分，第24题10分，第25题12分，共30分）
23．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
24．【解答】解：（1）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，
∴总租金是450x+300（8﹣x）＝（150x+2400）元；
（2）设租用A型车x辆，则租用B种车辆（8﹣x）辆，
，
解得，
∵x为正整数，
∴x可取2或3，
即有两种方案：
方案一：租用A型车2辆，租用B种车辆6辆；花费450×2+300×6＝2700元；
方案二：租用A型车3辆，租用B种车辆5辆；花费450×3+300×5＝2850元；
∴花费最少的方案一租用了2辆A型车．
25．【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．
理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，到△ACE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又 BA＝CA，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE （SAS）
∴∠ACE＝∠B＝45°且 CE＝BD．
∵∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE＝BD；
（2）如图2，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接DG，
则△ACE≌△ABG．
∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°．
∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°．
∴∠GAD＝∠DAE＝45°，
在△ADG和△ADE中，
，
∴△ADG≌△ADE（SAS）．
∴ED＝GD，
又∵∠GBD＝90°，
∴BD2+BG2＝DG2，
即BD2+EC2＝DE2；
（3）如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转120°，得到△AFB，
∴△AEC≌△AFB，
∴AF＝AE，∠ABF＝∠ACB，EC＝BF，∠EAF＝120°
∵∠CAB＝120°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABF＝30°
∴∠FBD＝60°，
∵∠EAF＝120°，∠EAD＝60°，
∴∠DAE＝∠DAF＝60°，且AE＝AF，AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS）
∴DF＝DE，
∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，
∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形，
∴△BDF是直角三角形，
若∠BFD＝90°，且∠FBD＝60°，
∴BD＝2BF＝2EC＝2，
∴BF＝EC＝1，
∴DF＝BF＝DE＝，
综上所述，DE的长为．
