2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型六 函数的实际应用
类型一 最值问题
1. “互联网＋”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网＋”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销，已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
(1)求每千克花生、茶叶的售价；
(2)已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克．甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？
2. 科学计算器是一种常见的生活和学习工具，它有着重要的作用．根据市场需求，某文具店代售A，B两种品牌的科学计算器，下表为其中两次的进货情况：
进货批次 进货数量(个) 进货花费(元)
A品牌 B品牌
第一次 10 15 510
第二次 15 20 720
(1)求A，B两种品牌科学计算器的进货单价；
(2)该文具店某次进货时，恰好赶上厂家的优惠活动，活动有两种方案：
方案一：购买A、B两种品牌的科学计算器，每满10个赠送2个B品牌科学计算器；
方案二：A、B两种品牌的科学计算器均按8.5折计算．
若该文具店老板计划购进A，B两种品牌的科学计算器共50个，且两种品牌的数量均不少于20个．请你帮老板算一算，如何购买能使花费最少？
(注：厂家规定，两种优惠方案不能同时使用)
3. 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非常畅销．小李在某网店选中A，B两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如下表：
价格 类别 A款玩偶 B款玩偶
进货价(元/个) 40 30
销售价(元/个) 56 45
(1)第一次小李用1100元购进了A，B两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；
(2)第二次小李进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
(3)小李第二次进货时采取了(2)中设计的方案，并且两次购进的玩偶全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算？(注：利润率＝×100% )
4. 某公司电商平台，在2021年“五一”长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据.
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
(3)因新冠肺炎疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m＞0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．
5. 甲，乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
说明：①汽车数量为整数；
②月利润＝月租车费－月维护费；
③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是______元；当每个公司租出的汽车为______辆时，两公司的月利润相等；
(2)求两公司月利润差的最大值；
(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a>0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a的取值范围．
6. 某体育专卖店销售A型和B型两种健身器材，其中A型健身器材每台的利润为400元，B型健身器材每台的利润为500元，该体育专卖店计划一次性购进两种型号的健身器材共100台，其中B型健身器材的台数不超过A型健身器材台数的3倍，设购进A型健身器材x台，销售这100台健身器材的总利润为y元．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当A型健身器材购进多少台时，销售的总利润最大？最大利润为多少？
(3)实际进货时，厂家对A型健身器材的出厂价下降m(0
1. 为响应国家深化具有中国特色体教融合发展的要求，某中学积极行动，并决定购买一批体育用品．在购买足球时，由于足球价格稍贵，该校与一运动器械专卖店议价，最终优惠如下：每个足球的原价为90元，若一次性购买不超过10个，则按原价销售；若一次性购买超过10个，前10个按原价销售，超过的部分打8折．
(1)设该中学购买足球x个，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式；
(2)若该中学计划购买足球的费用不超过1200元，则最多能购买几个足球？
(3)若购买了20个足球，则平均每个足球的售价为多少元？
2. 超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．
(1)求苹果的进价；
(2)如果购进这种苹果不超过100千克， 就按原价购进；如果购进苹果超过100 千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；
(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)
3. 某果品合作社收购了14吨水果，决定同时采用两种方式进行销售：
方式1：直接销售，每吨水果可获得利润0.2万元；
方式2：加工成水果制品销售，每吨水果可获得利润0.6万元，但需要支付加工费．
设加工成水果制品的水果为x吨，当0≤x≤8时，加工总费用y(万元)与x2成正比，当8＜x≤14时，加工总费用y(万元)与x满足一次函数关系，经过统计得到如下数据：
x(吨) 5 10 12
y(万元) 1.25 3.8 4.4
若将x吨水果加工成水果制品销售，其余直接销售．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若将这14吨水果全部销售完所获得的总利润w为3.4万元，求x的值；
(3)求这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润w是多少？
类型三 面积问题
1. 为了节省材料，某水产养殖户计划用长为96米的围网在水塘中围成如图所示的①②③三块区域，其中区域①是正方形，区域②、③是矩形，已知AG∶BG＝3∶2，设BG的长为2x米．
(1)是否存在x，使得矩形CDFE的面积为180平方米，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
(2)当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
第1题图
2. 工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？
第2题图
3. 为了美化校园，某校计划在如图所示的一块边长为40米的正方形区域ABCD上建造花坛，其中E、F、G、H分别为正方形区域各边中点，铺灰区域为四个全等的矩形，在四边形EFGH区域种植甲种花，在铺灰区域种植草坪，剩余部分种植乙种花．设AM的长为x米，种植草坪的区域面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)种植甲种花每平方米的价格为20元，种植乙种花每平方米价格为30元，种植草坪每平方米的价格为10元，设建造花坛的总费用为W元，求W的最小值．
第3题图
参考答案
类型一 最值问题
1. 解：(1)设每千克花生的售价为x元，则每千克茶叶的售价为(40＋x)元，
根据题意，得50x＝10(40＋x)，
解得x＝10，
∴40＋x＝40＋10＝50(元)，
答：每千克花生的售价为10元，每千克茶叶的售价为50元；
(2)设花生销售m千克，茶叶销售(60－m)千克获利最大，所获利润为w元，
由题意，得
解得30≤m≤40，
w＝(10－6)m＋(50－36)(60－m)
＝4m＋840－14m
＝－10m＋840，
∵－10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∵30≤m≤40，
∴当m＝30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60－30＝30千克，w最大＝－10×30＋840＝540(元)，
答：当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．
2. 解：(1)设A，B两种品牌科学计算器的进货单价分别为x元和y元，根据题意，得
解得
答：A，B两种品牌科学计算器的进货单价分别为24元和18元；
(2)设总花费为w元，购买m 个A品牌科学计算器，则购买(50－m)个B品牌科学计算器．
选择方案一购买：根据题意可知，最少花费为购买任意42个科学计算器，赠送8个B品牌科学计算器，则需花钱购买B品牌科学计算器的数量为(42－m)个，
∴最少花费w＝24m＋18×(42－m)＝6m＋756，
∵6＞0，根据题意可得，20≤m≤30，
∴当m＝20时，总花费最少，为6×20＋756＝876(元)；
选择方案二购买：最低花费w＝[24m＋18×(50－m)]×0.85＝5.1m＋765，
∵5.1＞0，根据题意可得20≤m≤30，
∴当m＝20时，总花费最少，为5.1×20＋765＝867(元)．
∵876＞867，
∴选择方案二，购买20个A品牌科学计算器，30个B品牌科学计算器时，花费最少．
3. 解：(1)设A款玩偶购进x个，B款玩偶购进y个，
根据题意，得
解得
答：A款玩偶购进20个，B款玩偶购进10个；
(2)设A款玩偶购进a个，则B款玩偶购进(30－a)个，利润为w.
由题意可知，a≤(30－a)，
解得a≤10，
∴w＝(56－40)a＋(45－30)(30－a)
＝16a＋15(30－a)
＝a＋450.
∵1>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝10时，w有最大值，w最大＝10＋450＝460(元)，
答：购进A款玩偶10个，B款玩偶20个时，利润最大，最大利润为460元；
(3)第一次利润率为≈42.7%，
第二次利润率为＝46%，
∵46%>42.7%，
∴从利润率的角度分析，对于小李来说第二次更合算．
4. 解：(1)设y＝kx＋b(k≠0)，把(40，180)，(70，90)代入得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300；
(2)由(1)得，W＝(－3x＋300)(x－a)，
把x＝40，W＝3600，代入上式，
得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，
解得a＝20，
∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800.
∵－3＜0，
∴售价x＝60元/件时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；
(3)由题意得，W＝－3(x－100)(x－20－m)(x≤55)，
∵－3＜0，对称轴为直线x＝60＋＞60，
∴当0＜x≤55时，w随x的增大而增大，
∴当x＝55时，周销售利润最大，
∴4050＝－3(55－100)(55－20－m)，
∴m＝5.
答：当周销售最大利润是4050元时，m的值为5.
5. 解：(1)48000，37；
【解法提示】[(50－10)×50＋3000]×10－200×10＝48000元，∴当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x辆，由题意可得，[(50－x)×50＋3000]x－200x＝3500x－1850，解得x＝37或x＝－1(舍)，∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等．
(2)设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[(50－x)×50＋3000]x－200x，
y乙＝3500x－1850，
当甲公司的利润大于乙公司时，0＜x＜37，
y＝y甲－y乙＝[(50－x)×50＋3000]x－200x－(3500x－1850)＝－50x2＋1800x＋1850，
∵－50＜0，
∴当x＝－＝18时，利润差最大，最大值为18050元；
当乙公司的利润大于甲公司时，37＜x≤50，
y＝y乙－y甲＝3500x－1850－[(50－x)×50＋3000]x＋200x＝50x2－1800x－1850，
∵50＞0，对称轴为直线x＝－＝18，
∴当x＝50时，利润差最大，最大值为33150元．
∵18050＜33150，
∴两公司月利润差的最大值为33150元；
(3)∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为y＝－50x2＋1800x＋1850－ax＝－50x2＋(1800－a)x＋1850，
对称轴为直线x＝，
∵－50＜0，x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，
∴16.5<<17.5，
解得50
∴购进B型健身器材(100－x)台，
根据题意，得y＝400x＋500(100－x)＝400x＋50000－500x＝－100x＋50000，
即y关于x的函数关系式为y＝－100x＋50000；
(2)∵B型健身器材的台数不超过A型健身器材台数的3倍，
∴100－x≤3x，解得x≥25.
∵y＝－100x＋50000，－100＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝25时，y有最大值，y最大＝47500元．
答：当购进A型健身器材25台时，销售的总利润最大，最大利润为47500元；
(3)根据题意得y＝(400＋m)x＋500(100－x)，
即y＝(m－100)x＋50000，其中25≤x≤80.
①当0
即该体育专卖店购进25台A型健身器材和75台B型健身器材才能使得总利润最大；
②当m＝100时，m－100＝0，y＝50000.
即该体育专卖店购进A型健身器材数量满足25≤x≤80的整数时，总利润相同；
③当100
∴当x＝80时，y取最大值．
即该体育专卖店购进80台A型健身器材和20台B型健身器材才能使得总利润最大．
类型二 分段函数
1. 解：(1)由题意知，当一次性购买足球不超过10个时，y＝90x，
当一次性购买足球超过10个时，y＝90×10＋90×0.8×(x－10)＝72x＋180，
∴y＝
(2)当x＝10时，y＝90×10＝900，
1200－900＝300＞90，
∴购买的数量超过10个，
∴72x＋180≤1200，
解得x≤.
∵x为整数，
∴最多能购买14个足球；
(3)∵20＞10，
∴y＝72×20＋180＝1620，
则平均售价为1620÷20＝81元，
答：平均每个足球的售价为81元．
2. 解：(1)设苹果的进价为m元/千克，根据题意，得＝，
解得m＝10，
经检验，m＝10是原分式方程的解，且符合题意．
∴苹果的进价为10元/千克；
(2)根据题意，当0≤x≤100时，y＝10x；
当x＞100时，y＝100×10＋(10－2)(x－100)＝8x＋200，
∴超市购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式是y＝
(3)根据题意，购进苹果数量与销售数量都为x千克，且购进量不超过300千克，
①当0≤x≤100时，w＝xz－y＝(－x＋12)x－10x
＝－x2＋2x＝－(x－100)2＋100.
∵－＜0，
∴当x＝100时，w取最大值，最大值为100；
②当100＜x≤300时，w＝xz－y＝(－x＋12)x－(8x＋200)＝－x2＋4x－200＝－(x－200)2＋200.
∵－＜0，
∴当x＝200时，w取最大值，最大值为200.
∵100＜200，
∴要使超市销售苹果利润最大，则一天购进的苹果数量为200千克．
3. 解：(1)当0≤x≤8时，设y＝ax2(a≠0)，
由题意得，1.25＝a×52，解得a＝0.05，
∴y＝0.05x2；
当8＜x≤14时，设y＝kx＋b(k≠0)，
由题意得
解得
∴y＝0.3x＋0.8.
综上所述，y与x的函数关系式为
y＝
(2)由题意得，x吨水果加工成水果制品销售，则(14－x)吨直接销售，
当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝3.4，
解得x1＝2，x2＝6；
当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝3.4，
解得x＝14.
综上所述，当销售总利润w为3.4万元时，x的值为2或6或14；
(3)设销售完这14吨水果所获得的利润为w，由题意得，当0≤x≤8时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－0.05x2＝－0.05x2＋0.4x＋2.8＝－0.05(x－4)2＋3.6，
∵－0.05<0，
∴当x＝4时，w有最大值，最大值为3.6万元；
当8＜x≤14时，w＝0.2(14－x)＋0.6x－(0.3x＋0.8)＝0.1x＋2，
∵0.1>0，
∴当x＝14时，w有最大值，最大值为3.4万元．
∵3.4＜3.6，
∴这14吨水果全部销售完的情况下，能获得的最大总利润为3.6万元．
类型三 面积问题
1. 解：(1)存在，理由如下：
由题意可得，AG＝3x，在矩形CDFE中，DC＝AG＋BG＝5x，
DF＝＝48－12x，
∴5x(48－12x)＝180，
解得x＝1或x＝3，
∴当矩形CDFE的面积为180平方米，
(2)设矩形ABCD的面积为S，则S＝5x(48－12x＋3x)＝－45x2＋240x＝－45(x－)2＋320，
∵－45<0，
∴当x＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为320平方米．
2. 解：(1)裁剪示意图如解图所示，
第2题解图
设裁掉的正方形边长为x分米，由题意，得(12－2x)(8－2x)＝32，
解得x1＝2，x2＝8(不合题意，舍去)．
答：裁掉的正方形边长为2分米；
(2)由题意，得12－2x≤5(8－2x)，
解得x≤.
∵x＞0，∴0＜x≤.
设防锈处理所需总费用为y元，
由题意，得y＝[(12－2x)×x＋(8－2x)×x]×2×0.5＋(12－2x)(8－2x)×2＝4x2－60x＋192＝4(x－)2－33，
∵4＞0，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵0＜x≤，
∴当x＝时，y有最小值，y最小＝4(－)2－33＝4×16－33＝31(元)．
答：当裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．
3. 解：(1)∵E、F、G、H分别为正方形区域各边中点，铺灰部分为四个全等的矩形，
∴AE＝AF＝AB＝20，PE＝PQ.
∵AM＝x，则PQ＝PE＝x，
∴AP＝20－x，
∴y＝4x(20－x)＝－4x2＋80x(0＜x＜20)；
(2)由题意得四边形EFGH为正方形，其面积为＝800，
∴W＝800×20＋10y＋(402－800－y)×30＝－20y＋40000＝－20(－4x2＋80x)＋40000＝80(x－10)2＋32000，
∵80>0，0
∴建造花坛总费用W的最小值为32000元．
