大庆实验中学2024届高三得分训练（二）
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得如下数据：已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为，则该数据的残差为（ ）
A．0.6 B．0.4 C． D．
2．已知抛物线，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是三个不同的平面，，则“”是“”的（ ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
5．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在中，，，，则的九点圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．著名数学家欧几里得著的《几何原本》中记载：任何一个大于1的整数要么是一个素数，要么可以写成一系列素数的积，例如．对于，其中均是素数，则从中任选3个数，可以组成不同三位数的个数为（ ）
A．18 B．32 C．36 D．42
7．对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．四面体中，已知，且，则的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数为奇函数，则下列说法正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．的单调递增区间为
10．如图，在直三棱柱中，是的中点．则下列判断正确的是（ ）
A．平面
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．
D．平面与平面所成角的余弦值为
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数恰有1个零点
B．当时，函数恰有2个极值点
C．当时，函数恰有2个零点
D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，则的非空子集的个数是______．
13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则是斐波那契数列中的第______项．
14．已知正实数表示数集中的最大的数，则的最小．值为______；的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，且底面，若且．
（1）求的值；
（2）若平面，求点到平面的距离．
16．（15分）
ChatGPT作为一个基于大型语言模型的聊天机器人，最近成为全球关注的焦点．ChatGPT是一个超强的AI，它能像人类一样聊天交流，甚至能完成撰写邮件、文案、写论文、答辩、编程等任务．专家预言，随着人工智能技术的发展，越来越多的职业可能会被ChatGPT或其他类似的人工智能工具所取代．某地区为了了解ChatGPT的普及情况，统计了该地区从2023年1月至5月使用ChatGPT的用户人数（万人），详见下表：
（月份） 1 2 3 4 5
（万人） 3.6 6.4 11.7 18.8 27.5
（1）根据表中数据信息及模型①与模型②，判断哪一个模型更适合描述变量和的变化规律（无需说明理由），并求出关于的经验回归方程；
（2）为了进一步了解人们对适应人工智能所将带来的职业结构变化的自信程度（分为“基本适应”和“不适应”）是否跟年龄有关，某部门从该地区随机抽取300人进行调查，调查数据如下表：
基本适应 不适应
年龄小于30岁 100 50
年龄不小于30岁 75 75
根据小概率的独立性检验，分析该地区对职业结构变化的自信程度是否与年龄有关．
附参考数据：．
15 55 979 68 264 1122
0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
17．（15分）
已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值．
18．（17分）
已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且在第一象限内，满足．
（1）求的平分线所在的直线的方程：
（2）椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点：若不存在请说明理由；
（3）已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于，若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程．
19．（17分）
欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是"上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
（1）将复数表示成（为虚数单位的形式；
（2）求的最大值；
（3）若，则称为1的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
