陕西省咸阳市实验中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷
注意事项:
1.本试题共4页,满分150分,时间120分钟.
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效
4.考试结束后,监考员将答题卡按顺序收回,装袋整理；试题不回收.
第I卷(选择题 共58分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.现有科普类读物4本,艺术类读物3本,每本图书各不相同,若要将这些图书摆在同一层空书架中,则不同的摆放方法数为
A.12 B.64 C.81 D.5040
2.某区高三年级1000名学生参加了区统一考试,考试成绩X服从正态分布.统计结果显示,考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为
A.100 B.200 C.400 D.800
3.已知随机变量分别服从二项分布,若,则下列结论正确的是
A. B. C. D.
4.已知现需派6名专员去共3个单位进行慰问,每个单位去两人,其中专员甲不去单位的派法种数为
A.30 B.60 C.120 D.180
5.已知函数在上单调递减,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
6.围棋起源于中国,据先秦典籍世本记载:“尧造围棋,丹朱善之”,至今已有四千多年历史.围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智,而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联,蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际围棋比赛最后,中国队有两名选手日本队有一名选手,韩国队有一名选手,规定与对阵,与对阵,两场比赛的胜者争夺冠军,根据以往战绩,四位选手之间相互获胜的概率如下:
获胜概率 / 0.5 0.6 0.8
b获胜概率 0.5 / 0.5 0.6
c获胜概率 0.4 0.5 / 0.4
d获胜概率 0.2 0.4 0.6 /
则最终中国队获得冠军的概率为
A.0.240 B.0.328 C.0.672 D.0.760
7.已知函数均是在上的偶函数,且,则
A.为奇函数 B.
C.当时, D.当时,
8.已知函数有两个零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若展开式中各项系数的和为1,则下列结论正确的有
A.的值可能为3 B.展开式的常数项为1120
C.展开式中第4项的二项式系数最大 D.展开式系数的绝对值之和可能为
10.有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分,否则得0分;类问题中的每个问题回答正确得分,否则得0分.已知小明能正确回答类问题的概率为,能正确回答类问题的概率为,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.为使累计得分的期望最大,下列哪些条件下小明应选择先回答类问题
A.且 B.
C.且 D.
11.若函数的极大值为,极小值为,则
A. B. C. D.
第II卷(非选择题 共92分)
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.随机变量的分布列如表所示,且,则______________.
0 1 2 3
0.1 0.1
13.有30件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽取10件产品,最可能抽到的次品数是_____________.
14.数字波是由0和1组成的脉冲信号序列,某类信号序列包含有个数字0和个数字1,且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当时,这样的信号序列有_____________种.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)
已知6件不同的产品中有2件次品,4件正品,现对这6件产品一一进行测试,直至确定出所有次品则测试终止.(请用数字表示下面问题的结果)
(I)若恰在第2次测试时,找到第一件次品,且第4次测试时,才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况
(II)若至多测试4次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况
16.(本小题满分15分)
已知.
(I)若,求的值;
(II)若,求的值;
(III)用只含有的式子表示.
17.(本小题满分15分)
某足球队为评估球员的场上作用,对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置,根据过往多场比赛,其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
场上位置 边锋 前卫 中场
出场率 0.2 0.5 0.3
球队胜率 0.5 0.6 0.8
(I)当甲出场比赛时,求球队赢球的概率;
(II)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下,求球员甲担当前卫的概率;
(III)如果你是教练员,将如何安排球员甲在场上的位置 请说明安排理由.
18.(本小题满分17分)
某群体有4000人,假设携带乙肝病毒的占,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验4000次.为减轻化验工作量,统计专家给出了一种化验方法:随机按照个人进行分组,将各组个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对该组每个人的血样再分别化验一次.假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.设每人血样单独化验一次的费用为10元,个人混合化验一次的费用为元.
(I)若,记每人血样化验的费用为元,求的数学期望;
(II)若,求当取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并估计化验总费用.
参考公式:.
19.(本小题满分17分)
设函数的定义域为开区间,若存在,使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点,则称为“函数”,切线为一条“切线”.已知函数.
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)判断(I)中所求切线是否是函数的一条“切线”,并说明理由;
(III)当时,求证:函数为“函数”.
咸阳市实验中学学年度第二学期第二次月考
高二数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.B
二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.AD 10.ACD 11.BC
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.1.5 13.3 14.14
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.解:(I)6件不同的产品中有2件次品,4件正品,现对这6件产品一一进行测试,需测试4次,按顺序可看作为4个位置,
两件次品置于第二,四位,有方法数;
其余二个位置放二个正品,有方法数,
由分步乘法计数原理知共有种不同的测试情况…………………………………………(6分)
(II)6件不同的产品中有2件次品,4件正品,现对这6件产品一一进行测试,至多4次可分为恰好2次,恰好3次,恰好4次找到所有次品,恰好2次,即前2次测试都是次品,方法数为;
恰好3次,即第3次是次品,前2次中有1次是次品,方法数为;
恰好4次,即第4次是次品,前3次中有1次是次品,方法数为;
也可以是前四次全是正品,方法数为,
故共有种不同的测试情况.………………………………………(13分)
16.解:(I)的展开式的通项为,
.…………………………………………………………(5分)
(II)令可得,
令可得,
.……………………………………………………(10分)
(III),
两边求导得:,
令可得.…………………………………………(15分)
17.解:(I)设表示“甲球员担当边锋”,表示“甲球员担当前卫”,表示“甲球员担当中场”,表示“球队赢了某场比赛”,
则,
球队某场比赛赢球的概率为0.64.
(II)由(I)知,
,
球员甲担当前卫的概率为.……………………………………………………………………(10分)
(III)同(II),
,
由于,
应多安排甲球员担任前卫,来增大赢球的几率.……………………………………………(15分)
18.解:(I)每人血样化验的费用为元,
若混合血样呈阴性,则,
若混合血样呈阳性,则,
,
2.5.
的数学期望为2.5(元).………………………………………………………………(8分)
(II)设每组人,每组化验总费用为元,
若混合血样呈阴性,则;若混合血样呈阳性,则,
且,
,
,
则每人血样化验的费用为
,
当且仅当,即时取等号,
即100个人一组,每人血样化验费用的数学期望最小,
此时化验总费用估计为(元).………………………………………(17分)
19.解:(I),
,
,
所求切线方程为,即.…………………………………………(5分)
(II)(I)中所求切线不是函数的一条“切线”.………………………………………(6分)
理由如下：
假设切线是函数的一条“切线”,
则方程,即只有一个解.
记函数,则只有一个零点.
(方法一),
当时,单调递增;
当时,单调递减;
当时,单调递增,
的极大值为,极小值为,
又时,,
函数有两个零点,这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.……………………………………(10分)
(方法二),
函数至少有两个零点,这与其只有一个零点矛盾.
切线不是函数的一条“切线”.……………………………………(10分)
(III)证明:由(I)知,
设,
在处的切线方程为,
即,
只需方程,即只有一个解,令,
则,
令,则,
取,则,
单调递增,
又,
函数只有一个零点,即只有一个解,
函数为“函数”………………………………………………………….(17分)
