2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二）
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号 考场/座位号填涂在答题卡规定位置上，答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.
考试结束后，将答题卡交回.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：
1.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
2.本卷共9小题，每小题共5分，共45分.
参考公式：
如果事件互斥，那么
柱体的体积公式.其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.
一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.研究函数图象的特征，函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4.为深入贯彻落实习近平总书记对天津工作“三个着力”重要要求，天津持续深化改革，创建全国文明城区，城市文明程度显著提升，人民群众的梦想不断实现.在创建文明城区的过程中，中央文明办对某小区居民进行了创建文明城区相关知识网络问卷调查，从本次问卷中随机抽取了50名居民的问卷结果，统计其得分数据，将所得50份数据的得分结果分为6组：，并整理得到如下的频率分布直方图，则该小区居民得分的第70百分位数为（ ）
A.89.09 B.86.52 C.84.55 D.81.32
5.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6.天津包子是一道古老的传统面食小吃，是经济实惠的大众化食品，在中国北方，在全国，乃至世界许多国家都享有极高的声誉.某天津包子铺商家为了将天津包子销往全国，学习了“小罐茶”的销售经验，决定走少而精的售卖方式，争取让天津包子走上高端路线，定制了如图所示由底面圆半径为的圆柱体和球缺（球的一部分）组成的单独包装盒，球缺的体积（为球缺所在球的半径，为球缺的高）.若，球心与圆柱下底面圆心重合，则包装盒的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知向量，其中且，则的最小值为（ ）
A. B. C.4 D.
8.已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左 右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.6
9.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.落相邻两条对称轴的距离为，则；
B.若，则时，的值域为；
C.若在上单调递增，则；
D.若在上恰有2个零点，则.
第II卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二 填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分.
10.已知是虚数单位，则复数的共轭复数为__________.
11.在的二项式展开式中的系数为160，则实数__________.
12.设直线和圆相交于两点，若，则实数__________.
13.为缓解高三学习压力，某高中校举办一对一石头 剪刀 布猜拳比赛，比赛约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛；若猜拳4局仍末分出胜负，则比赛结束.在一局猜拳比赛中，已知每位同学赢 输 平局的概率均为，每局比赛的结果相互独立.现甲 乙两位同学对战，则甲同学比赛三局获胜的概率为__________；已知比赛进行了四局的前提下，两位选手末分出胜负的概率为__________.
14.已知菱形边长为1，且为线段的中点，雀在线段上，且，则__________，点为线段上的动点，议点作的平行线交边于点，过点做的垂线交边于点，则的最小值为__________.
15.设，函数若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是__________.
三 解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，
①求的值：
②求的值.
17.（本小题满分15分）
如图，垂直于梯形所在平面，为线段上一点，，四边形为矩形.
（1）若是的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值：
（3）若点到平面的距离为，求的长.
18.（本小题满分15分）
设是等差数列，其前项和是等比数列，且.
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分15分）
已知椭圆的左 右顶点分别为和，上顶点为，左 右焦点分别为和，满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2）点在椭圆上（异于椭圆左 右顶点），直线与直线交于点，线段与线段交于点，过中点作的外接圆的两条切线，切点分别为和，且的面积为，求椭圆的标准方程.
20.（本小题满分16分）
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围：
（3）已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：.
2024年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二）
数学参考答案
一 选择题：每小题5分，满分45分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A B C C B A D D
二 填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）
10. 11. 12.
13.； 14.； 15.
三 解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
解：（1）因为，利用正弦定理可得：
，
即.
因为，所以，即，
又，可得.
（2）①由余弦定理及已知可得：
即，又因为，所以
联立或（舍）
②由正弦定理可知：
因为，则，故为锐角，17.（本小题满分15分）
（1）设，连接四边形为矩形，为中点，又为中点，
，又平面平面平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量，
，令，解得：；
设直线与平面所成角为.
则直线与平面所成角正弦值为.
（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）
（3），设
由平面的法向量，
点到平面的距离.
解得
所以
18.（本小题满分15分）
解：（1）设数列的公差为，数列的公比为，
由题意知，
解之得
（2）当为奇数时，
设
当为偶数时，
（3）方法一：恒成立，化简得
设
单调增数列
方法二：即恒成立，
设，
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于对称轴，则在上单调递减，
恒成立，则满足条件，
综上所述，实数的取值范围是.
19.（本小题满分15分）
解：（1），解得，则
（2）法一：由（1）知椭圆方程为
设直线方程为，联立，
得，解得，代入，
解得.又因为.
联立，解得
所以
因此，所以，垂足为
因此的外接圆是以为直径，中点为圆心的圆.
（另解：接方法一：
则联立直线和直线得.
的外接圆圆心为线段的中垂线与线段中垂线的交点.
线段的中垂线为，线段的中垂线为.
两直线方程联立得：.
因此的外接圆圆心是，半径为
因此，圆的方程为，
因此.所以是等边三角形，边长，因此
，解得.
因此椭圆的标准方程为
法二：由（1）知椭圆方程为
设直线方程为，联立，
得，解得，代入，
解得.又因为.
联立，解得
所以
则联立直线和直线得.
以下方法同法一.
法三：设直线方程为，
直线与直线的交点坐标，
已知，令，则，
因此，从而，
以下方法同法一.
20.（本小题满分16分）
解：（1）
令，解得当变化时，的变化情况如下表：
1
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
以，的单调减区间为：，单调增区间为：
（2）依题意，从而可得
①当时，令，解得
当变化时，的变化情况如下表：
1
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增
以函数在处取到极小值，不合题意；
②当时，即时，
若则，所以函数在处不可能取到极大值；
③当时，即时，令，解得或
当变化时，的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数在处取到极大值；所以.
（3）因为因为过有三条不同的切线，设切点为，
故，故方程有3个不同的根，
该方程可整理为，
设，则，
令，解得或，因为，所以
当变化时，的变化情况如下表：
2
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
因为，则，
因为有3个不同的零点，
故且，
整理得到：，
又，
设，
则方程即为：
记则为有三个
不同的根，设
要证：，即证，
即证：，即证：即证：
，即证：
又因为：且，
故，故，
故即证：，
即证：
设
记，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，故在上为增函数，故，
所以
记，
则，
所以在为增函数，故，
故即，
故原不等式得证.
