九年级数学练习题
一、选择题，每小题4分，共48分．
1. 以下是今年2月10号春节这天4个城市一天温度范围，温差最小的城市是（ ）
A. 哈尔滨 B. 沈阳
C. 呼和浩特 D. 银川
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法及有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键．
用最高温度减去最低温度即可求出温差，然后比较大小即可．
【详解】解：A、温差为：；
B、温差为：；
C、温差为：；
D、温差为：．
，
故选：C．
2. 信息网络技术的高速发展深刻影响着社会发展，与此同时，犯罪活动日益向网络空间滋生蔓延，国家安全、经济发展和社会稳定面临新的挑战．2023年，全国检察机关起诉涉嫌网络罪犯（含利用网络和利用电信实施的犯罪及其上下游关联罪犯）14.2万人，同比上升47.9％，有力维护了网络秩序．14.2万用科学记数法表示正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法：，，n是整数，当原数大于10时，n等于原数整数数位减去1，据此解答．
【详解】14.2万，
故选：A．
3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查的是三视图的知识，熟练掌握简单组合图形的三视图的画法是解题的关键； 首先根据左视图是从左往右看得到的视图，三通从左往右看得到上面的圆柱看到的视图是一个矩形； 然后下半部分看到的则是一个圆，由此可得到它的左视图．
【详解】它的左视图是下面一个圆，上面一个不完整矩形，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方，同底数幂除法，完全平方公式，合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
5. 如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数．由三角形外角的性质求出，然后由平行线的性质即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
6. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；由题意可根据分式的运算进行排除选项．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、，不全面，故不符合题意；
C、，，不符合题意；
D、或，符合题意；
故选D．
7. 如图，是的直径，点是的中点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是利用直径所对的圆周角为直角，结合求出，再根据同（等）弧所对的圆周角相等即可求出结果．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
故选B．
8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．利用排除法求解即可．
【详解】解：∵关于y轴对称，
∴可排除选项A、B；
∵点，可知在y轴左侧，y随x的增大而减小，可排除选项D．
故选C．
9. 已知：如图，的圆心为，半径为2，切于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质定理，扇形面积计算公式，锐角三角函数求角的度数，连接，得到，，根据求解．
【详解】连接，
∵切于点，
∴，
∴，
∵的圆心为，半径为2，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
11. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A. 或 B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．
【详解】解：由题意得，当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
当时，
即时，，
则，
解得，
∴此时原不等式的解集为；
综上所述，不等式的解集是或．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．
12. 如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，动点问题的函数图象，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．设，分两种情况：①当点在上运动，即时，②当点运动到点时，点恰好运动到点，当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，分别求出函数关系式，根据时，，列出方程，求出，（舍去），得出的长是即可．
【详解】解：设．
①当点在上运动，即时，由题意知：
，
，
∵在等腰中，，
，
，
∴，
，其函数图象为抛物线对称轴（轴）右侧的一部分；
②当点运动到点时，点恰好运动到点，如图，
当点在上运动，即时，点与点重合，且停止运动，
，
，
由图2知，当时，，
，
解得，（舍去），
的长是．
故选：C．
二、填空题，每小题4分，共24分．
13. 的绝对值是________．
【答案】2024
【解析】
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．
根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：的绝对值是2024，
故答案为：2024．
14. 如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得________度．
【答案】25
【解析】
【分析】题目主要考查角平分线的作法及垂直平分线的作法，根据题意得出，再由等边对等角得出，结合图形确定，利用角平分线求解即可，熟练掌握两种基本的作图方法是解题关键．
【详解】解：∵，．
∴，
根据作法得：垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
由作法得：平分，
∴，
故答案为：．
15. 如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是________．
【答案】24
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式的应用，理解题意，根据正方形的面积确定大正方形的边长即可求解．
【详解】解：∵两个面积分别为8和18的小正方形，
∴大正方形的边长为：，
∴大正方形的面积为：，
∴剩余的面积为：，
∴阴影部分的面积是24，
故答案为：24．
16. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】6.7
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出 ，，然后根据勾股定理求出答案即可．
【详解】过点A作，交的延长线于点D，连接．
∵，
∴．
在中，，，，
解得（m），（m），
∴（m）．
在中，（m）．
故答案为：6.7．
17. 把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取最小值，则此时________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．
由变换后解析式可得变换前解析式，再展开，对应b和c，进而求解．
【详解】解：变换后图象解析式为，
抛物线顶点坐标为，
原函数图象解析式为，
∴，
∴
故答案为：2．
18. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________．
【答案】386
【解析】
【分析】根据图形可得第n个“三角形数”为，第n个“正方形数”为n2，在小于200的数中确定出m、n的值，即可得答案．
【详解】由图形知第个三角形数为，
第个正方形数为，
当时，，
当时，，
所以最大的三角形数；
当时，，当时，，
所以最大的正方形数，
则，
故答案为386．
【点睛】本题考查图形变化类规律，正确得出变化规律是解题关键．
三、解答题：本题7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）方程组的解为．
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解二元一次方程组；
（1）根据有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）解：，
得，
解得，
将代入②得，
解得，
∴方程组解为．
20. 中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：
随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下：
10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6
8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8
9 9 10 8 8 6 7 8 9 10
整理分析：
数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）这50名学生知识竞赛成绩的众数和中位数分别是多少；
数据运用：
请根据上述信息，解答下列问题：
（3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数；
（4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率．
【答案】（1）见解析；（2）众数是9分，中位数是8分；（3）240名；（4）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是：
（1）先用计算出成绩为7分人数和成绩为8的人数所占的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图；
（2）根据众数和中位数的求法计算即可；
（3）用1200乘以样本中成绩达到“10分”的学生对应百分比即可；
（4）画树状图（用、、、分别表示中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻）展示所有12种等可能的结果，再找出选中“中医针灸”和“中国剪纸”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1），
，
补全条形统计图和扇形统计图如下：
（2）众数是9分，中位数是8分；
（3）（名），
答：估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数为240名；
（4）画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的情况有2种，
∴所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率为．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．
（1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
（2）若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质；
（1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解．
【小问1详解】
过作于，
，，点．
，，
，
∵，
∴
，
若反比例函数的图象经过点，则，解得，，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
点，
将向下平移个单位长度，
，
两点同时落在反比例函数图象上，
，
．
22. 四五月份春夏之交，正值我区冬小麦浇灌拔穗的关键时期．某种粮大户计划安排甲乙两台水泵灌溉小麦，若只让甲水泵开机，可在规定时间内灌溉完成，若只让乙水泵开机，则比规定时间晚4天完成灌溉任务．若两台水泵同时开机3天，剩下的由乙水泵单独开机工作，也能按规定的时间完成灌溉任务．若甲水泵单独开机完成灌溉任务需要1920元，乙水泵单独开机完成灌溉任务需要2240元．求甲乙两台水泵单独工作一天各需要多少元钱？
【答案】甲水泵单独工作一天需要160元，乙水泵单独工作一天各需要140元．
【解析】
【分析】此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列得方程是解题的关键，设规定完成灌溉的时间为x天，列出方程求解即可．
【详解】解：设规定完成灌溉时间为天
解得
经检验，是原方程的解．
乙水泵单独开机需要16天
（元）
（元）
答：甲水泵单独工作一天需要160元，乙水泵单独工作一天各需要140元．
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）证明详见解析； （3）10．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【小问1详解】
证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
【小问2详解】
证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线，
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=DC=BC，
∴四边形ADCF是菱形；
【小问3详解】
解：连接DF，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=AC DF=×4×5=10．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
24. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
（3）若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）抛物线表达式为；所在直线的函数表达式为；
（2）；
（3）点的横坐标是或或或．
【解析】
【分析】（1）设出直线解析式，分别把，代入抛物线解析式中和直线解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）如图所示，取点，连接，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，得到，则点M即为为抛物线的交点，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则点M的坐标为；
（3）分点在直线的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：把，代入中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
设直线的解析式为，
把，代入中得：
，
∴，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：已知，
∴，则，
如图所示，取点，作轴于点，使得，，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴点M即为为抛物线的交点，
同（1）法可得直线解析式为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
∵，，
∴，
∴，
如图所示，
当点在直线上方时：
将直线向上平移1个单位，得到，设直线与轴的交点为，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴点为直线与抛物线的交点，
令，解得：，
当点在直线下方时，
将直线向下平移1个单位，得到直线，则点为直线与抛物线的交点，
令：，
解得：．
综上：点横坐标为：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，一次函数图象的平移等知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
25. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD长.
【答案】（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.
【解析】
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．
②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．
【详解】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，
，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC=，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD=．
综上所述，BD的长为或．九年级数学练习题
一、选择题，每小题4分，共48分．
1. 以下是今年2月10号春节这天4个城市一天温度范围，温差最小的城市是（ ）
A. 哈尔滨 B. 沈阳
C. 呼和浩特 D. 银川
2. 信息网络技术高速发展深刻影响着社会发展，与此同时，犯罪活动日益向网络空间滋生蔓延，国家安全、经济发展和社会稳定面临新的挑战．2023年，全国检察机关起诉涉嫌网络罪犯（含利用网络和利用电信实施的犯罪及其上下游关联罪犯）14.2万人，同比上升47.9％，有力维护了网络秩序．14.2万用科学记数法表示正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下图是一个三通水管，如图放置，则它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图为某品牌椅子的侧面图，若，与地面平行，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7. 如图，是的直径，点是的中点，，则的度数是（ ）
A B. C. D.
8. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知：如图，圆心为，半径为2，切于点，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
11. 定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A. 或 B. C. 或 D. 或
12. 如图1，在等腰中，，动点从点出发以的速度沿折线方向运动到点停止，动点以的速度沿方向运动到点停止．设的面积为，运动时间为，与之间关系的图象如图2所示，则的长是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题，每小题4分，共24分．
13. 的绝对值是________．
14. 如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得________度．
15. 如图，把一张大正方形按下图方式（两个小正方形分别有一边在大正方形的边上）剪去两个面积分别为8和18的小正方形，那么剩下的纸片（阴影部分）的面积是________．
16. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，）
17. 把二次函数：的图象作关于轴的对称变换，所得图象的解析式为：，若取最小值，则此时________．
18. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________．
三、解答题：本题7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）
（2）解方程组：．
20. 中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：
随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下：
10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6
8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8
9 9 10 8 8 6 7 8 9 10
整理分析：
数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图：
（1）将条形统计图和扇形统计图补充完整；
（2）这50名学生知识竞赛成绩的众数和中位数分别是多少；
数据运用：
请根据上述信息，解答下列问题：
（3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数；
（4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率．
21. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为．
（1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式；
（2）若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值．
22. 四五月份春夏之交，正值我区冬小麦浇灌拔穗的关键时期．某种粮大户计划安排甲乙两台水泵灌溉小麦，若只让甲水泵开机，可在规定时间内灌溉完成，若只让乙水泵开机，则比规定时间晚4天完成灌溉任务．若两台水泵同时开机3天，剩下的由乙水泵单独开机工作，也能按规定的时间完成灌溉任务．若甲水泵单独开机完成灌溉任务需要1920元，乙水泵单独开机完成灌溉任务需要2240元．求甲乙两台水泵单独工作一天各需要多少元钱？
23. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．
24. 如图，抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．
（1）求抛物线表达式及所在直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上在第三象限的一个点，且，求出点的坐标；
（3）若点是抛物线上的一个动点，连接，，当面积是面积的一半时，请直接写出点的横坐标．
25. 如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
（1）问题发现
① 当时， ；② 当时，
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.
（3）问题解决
当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.
