2024年春九年级数学中考二轮复习《函数的应用》知识点分类专题提升训练（附答案）
一、一次函数的应用
1．我校运动会需购买，两种奖品，其中奖品的单价是元；奖品的单价是元．计划购买两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍．
(1)求出种奖品的数量范围；
(2)设购买费用为元，写出（元）与种奖品的数量（件）之间的函数关系，并确定最少费用的值．
2．世界水日为每年的3月22日，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某市节约用水，采取阶梯分段收费标准，已知用户每月用水量不超过15吨时，水费为a元/吨，每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的函数关系如图所示．
(1)填空：__________；
(2)当用水量x超过15吨时，求y与x之间的函数表达式；
(3)若某用户3月份交水费45元，求该用户3月份的用水量．
3．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离（千米）、（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)A，B两城相距________千米；
(2)分别求出甲乙两车离开A城的距离和关于t的函数关系式；
(3)乙车行驶过程中，当甲、乙两车相距50千米时，求出乙车行驶的时间．
4．新郑大枣“甜如蜜”，作为河南的名片，新郑大枣已经远销海内外．现外地某经销商准备从新郑购进A，B两种不同包装的大枣，已知购进3件A包装和2件B包装的大枣需要850元；购进2件A包装和3件B包装的大枣，需要900元．
(1)求A，B两种包装的大枣的进货单价分别是多少元？
(2)若该经销商购进A包装的大枣300件，B包装的大枣200件，并且准备把这些大枣全部运往甲、乙两家分店来进行销售，已知每件A运往甲、乙两家店的运费分别是15元和20元，每件B运往甲、乙两家店的运费分别是20元和18元．根据往年的销售情况，该经销商决定向甲店运260件大枣，向乙店运240件大枣．
①设该经销商运往甲店的A包装的大枣x（件），所花的总运费为w（元），请写出w关于x的函数关系式；
②怎样调运A，B两种包装的大枣可使总运费最低？最低费用是多少？
5．如图，直线与直线交于点，直线与x轴交于点，点C从点O出发沿向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿向终点O运动，作轴，交折线于点M，作轴，交折线于点N，设运动时间为t．
(1)求直线的表达式；
(2)在点C、点D运动过程中，当点M、N分别在，上时，求证：四边形是矩形．
(3)点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P、O、A、C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
二、反比例函数的应用
6．校绿色行动小组组织一批人参加植树活动，完成任务的时间是参加植树人数n（人）的反比例函数，且当时，．
(1)求这个反比例函数关系式；
(2)为了能在内完成任务，至少需要多少人参加植树？
(3)这次共计要植树480棵，求平均每人每小时植树多少棵．
7．很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示．
(1)当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？
(2)小明原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
8．学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．
9．为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分．
(1)当时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
10．综合与实践
【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式；
【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
三、二次函数的应用
11．悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求主索抛物线的函数表达式；
(2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？
12．为了给观光绿化带浇水，拟安装一排喷水口，如图 为喷水口喷水的横截面，该喷水口 离地竖直高度 为 ，可以把喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象：把绿化带横截面抽象为矩形，其中 ，其下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 离喷水口的水平距离为，高出喷水口， 喷水口到绿化带的水平距离 为（单位： ）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)通过计算求点的坐标；
(3)绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，要使喷出的水能浇灌到整个绿化带，同时不会淋湿行人，直接写出的取值范围．
13．小明和小亮在做传球训练，某同学借做此情境编了一道数学题．
在如图的平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m，小明从点处将球传出，其运动路线为抛物线的一部分，小亮在处接住球，然后跳起将球传出，球的运动路线是抛物线的一部分．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设抛物线的顶点为点，在轴上找一点，求使的值最大的点的坐标；
(3)若小明在轴上方2m的高度上，且到点水平距离不超过1m的范围内可以接到球，求符合条件的的整数值．
14．某工厂生产某种玩具的成本价为元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式同时销售该玩具．电商销售：售价为元件；门店销售：第一天售价为元件，此后售价每天比前一天每件降低元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用元．已知两种销售方式第天的销售数量（件）均满足．
(1)直接写出门店销售方式每天的售价（元/件）与的函数关系式；
(2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元）最大？利润总和最大是多少？
(3)该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？
15．电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）．
(1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价；
(3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值．
16．如图，中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．
(1)求运动几秒时的面积为？
(2)的面积能否等于？若能，求出运动时间；若不能；
(3)是否存在某个时刻t，使四边形的面积最小？若存在，求出运动时间，若不能，说明理由．
17．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水训练，水面边缘点，运动员（可视为一质点）在空中运动的路线经过原点的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点，正常情况下，运动员在距水面高度米前完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式，并求出入水点的坐标；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，则该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点的正前方两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面米．若该运动员的出水点在之间（含两点），求的取值范围．
18．如图，等腰的直角边，点、分别从、两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点沿射线运动，点沿边的延长线运动，与直线相交于点．
(1)设的长为，的面积为．求出关于的函数关系式；
(2)当的长为何值时，；
(3)作于点，当点、运动时，线段的长度是否改变？证明你的结论．
19．如图，在四边形中，A、B、C三点坐标分别为、、、上一动点P以每秒1.5个单位长度由点O向终点A运动；同时上一动点Q以每秒1个单位长度由点B向终点C运动，设运动的时间为t秒．
(1)设， 求y与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
(2)当时，求t值；
(3)无论t取何值，是否存在某一定点，使得直线恒过该定点．如果存在，请求出该定点的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值；
(3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（1）解：设种奖品的数量是件，则种奖品的数量是件，
，
解得：，
即种奖品的数量范围；
（2）解：由题意得，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，最小，为（元）．
2．（1）解：当每月用水量不超过15吨时，y与x之间的函数图象是一条过原点的线段，为一次函数，
当吨时，元，
水费元/吨．
（2）解： 当用水量x超过15吨时，根据y与x之间的函数图象可知，是关于的一次函数，设其解析式为∶，过点、，代入解析式得
，解得，
当用水量x超过15吨时，y与x之间的函数表达式为．
（3）解：由可知该用户3月份用水量超过15吨，
令，
解得，
该用户3月份的用水量为20吨．
3．（1）解：由函数图象可知，A，B两城相距300千米，
故答案为：300；
（2）解：设把代入中得：，
∴，
∴；
设
把，代入代入中得，
∴
∴；
（3）解：由题意得，，
∴
∴或
解得或
∴乙行驶的时间为或。
4．解：（1）设A，B两种包装的大枣的进货单价分别是m和n元．
由题意，得．
解得
答：A，B两种包装的大枣的进货单价分别是150元和200元．
（2）①，
，
解得．
即；
②是x的一次函数，且，
随x的增大而减小．
当时，运费最低，最低费用为（元）．
答：当时，运费最低为8300元．
5．（1）解：设直线的表达式为：，
，，
，解得，
直线的表达式为：；
（2）证明：，，
，，
，
，
轴，轴，
，，
由点C、D的运动可知，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（3）解：存在，理由如下：
若以点P、O、A、C为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形．
①如图，当时，此时，
四边形是菱形，
，，
，
；
②如图，当时，由（2）可知，点B与点C重合，此时，
四边形是菱形，对角线在轴上，
点P与点A关于x轴对称，
；
③如图，当，则t2＝（4﹣t）2+32，
，，
，
解得：，
，
四边形是菱形，
，，
综上可知，点P的坐标为或或．
6．（1）解：∵t是n的反比例函数，
∴设
当时，
∴
∴
∴．
（2）解：令，得，
根据反比例函数的性质，t随n的增大而减小，
因此，至少需要80人参加植树．
（3）解：设平均每人每小时植树x棵，
由题意可得：，即解得．
答：平均每人每小时植树4棵．
7．（1）解：设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，
由函数图象可得：，
解得：，
则近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，
当时，，
解得：，
当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是米；
（2）将代入得
，
，
故小明的眼镜度数下降了度．
8．（1）解：设该二次函数的解析式为，
把点代入，得，解得：
∴所求二次函数的解析式为
把点代入得：；
（2）解：没有超过15分钟，
理由如下：
由解得：，（舍去），
由，解得：，
，
所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟．
9．（1）解：设当时，y与x的关系式为，
把点代入得，
∴，
∴当时，y与x的关系式为，
∴当时，，
∴当时，y与x的关系式为，4月份的销售额为45万元；
（2）解：设当时，y与x的关系式为，
把点和点代入得，
∴，
∴当时，y与x的关系式为，
当时，令，则，
∴，
当时，，
∴2月、3月和4月销售额不超过90万元；
当时，令，解得，
∴5月、6月和7月销售额不超过90万元；
∴该村水果有6个月的月销售额不超过90万元．
10．解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：，
解得：，
，
当时，，即，
∴，
设双曲线的解析式为，将点代入得：，
；
（2）由得，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为13小时，
，
第二天早上不能驾车出行．
11．解：（1）由图可知，点C的坐标为．
设该抛物线的函数表达式为．
又点P坐标为，
，
，
∴主索抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，当时，，
此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
当时，，此时吊索的长度为．
由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为．
，
∴四根吊索的总长度为
12．（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：，
∵，
将其代入可得：，解得：，
∴上边缘抛物线的函数解析式为：，
令，解得：或，
∵点C在x轴的正半轴，
∴，即喷出水的最大射程米．
（2）解：∵关于对称轴的对称点为：，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，
∴下边缘抛物线为：，
令，解得：或，
∵点B在正半轴上，
∴．
（3）解：绿化带右侧（图中点的右侧）米外是人行道，
此时
则，
当d有最小值，
当上边缘抛物线过点时，有最大值，
∵，．
∴令，解得：或，
结合图象可知：
∴d的最大值为：；
∴．
13．（1）解：点在抛物线上，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：直线与轴的交点就是所求的点，如图所示：
的顶点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，解得，即直线与轴的交点为，
点坐标为；
（3）解：小明在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到球，
设接球点为点，点坐标为，如图所示：
则，
把代入，得，
解得；
把代入，得，
解得；
，
符合条件的的整数值为7，8．
14．（1）解：由题意可得，；
（2）解：由题意可得，
，
，
，
∵，二次函数的对称轴为直线，
又∵为整数，
∴当或时，取得最大值，
元，
答：第天或第天获得的利润总和最大，最大为元；
（3）解：由题意可得，，
整理得，，
解得，
∴第天门店销售的利润不低于电商销售的利润．
15．解：（1）由题意得：，
整理得：．
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍，
∴．
（2）由题意，得：，
解之得：， ，
∵，
∴．
答：该商品的销售单价为25元．
（3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得：
，
其对称轴为直线为：．
∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下，
∴w随x的增大而增大．
当时，．
∴，
解得．
答：m的值为5．
16．解：（1）设运动t秒后的面积等于，
根据题意得：，则，
则的面积，
解得：（舍去），
∴经过1秒后，的面积等于．
（2）的面积不能等于，理由如下：
若的面积等于，
则，
化简得，，
∵，
∴方程无实数根，
∴的面积不能等于；
（3）存在某个时刻t，使四边形的面积最小
由题意可得：，
∵，
∴四边形的面积有最小值，
∵，
∴当秒时，四边形的面积有最小值为．
17．（1）解：设空中运动的抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴，
∴，
∴空中运动时所对应抛物线的解析式为，
把代入得，
，
解得（不合，舍去），，
∴；
（2）解：会失误，理由如下：
∵，运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，
∴运动员调整入水姿势的点的横坐标为，
当时，，
∴调整点的坐标为，
∵运动员此时距离水面，
∴该运动员此次跳水会失误；
（3）解：∵，，
∴，，
当抛物线过点时，抛物线的对称轴为，
此时，；
当抛物线过点时，抛物线的对称轴为，
此时，，
∴点在之间时，取值范围为．
18．（1）解：①当点在线段上时，．
∵，，
∴．
即；
②当点在延长线上时，．
∵，．
∴．
即；
综上，；
（2）．
①令，即，此方程无解；
②令，即，解得，负值舍去．
故当的长为时，；
（3）当点、运动时，线段的长度不会改变，理由如下：
过作，交直线于点，连接、，
在和中
∵，，
∴，与都是等腰直角三角形，则，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，且是对角线的一半
又∵，
∴，
∴当点、运动时，线段的长度不会改变
同理，当点在点右侧时，，
综上所述，当点、运动时，线段的长度不会改变．
19．解：（1）过点P作，交于点D．
根据题意可知，，，，，
∵点，点，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴．
根据勾股定理，得，
即，
∴；
（2）当时，，
解得或；
（3）存在，连接，，交于点E．连接，
设直线的关系式为，直线的关系式为，得
，，
解得，，
所以直线的关系式为，，
将两个函数关系式联立，得
，
解得，
∴点E的坐标是，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∴共线，
所以直线恒过点．
20．（1）解：抛物线与轴相交于点，
，
抛物线与轴相交于点，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点．
直线的解析式为：．
设点坐标为，则点的坐标为，
．
，
，
当时，有最大值；
（3）解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：
，
顶点的坐标为，
，
．
设点的坐标为，分三种情况进行讨论：
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得，
所以点的坐标为；
当为直角顶点时，如图，
由勾股定理，得，
即，
解得或，
所以点的坐标为或；
综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．
