2024年山东省济南市商河县清华园学校中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×102 B．2×109 C．2×1010 D．2×1011
3．（4分）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（4分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2 a3＝4a5 D．a6÷a2＝a3
7．（4分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．4
10．（4分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：m3﹣4m＝ ．
12．（4分）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2a＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 ．
14．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若DE＝2，则阴影部分的面积为 ．
15．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
三．解答题（共10小题，共86分）
17．（6分）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
18．（6分）解不等式组并写出该不等式组的整数解．
19．（6分）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，AC与BD相交于点O．求证：BE＝DF．
20．（8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
21．（8分）某校九年级举办“自强不息 百题闯关”活动，分为自强赛和不息赛两个阶段．已知年级所有学生都分别参加了两个阶段的活动．为了解年级活动情况，现在随机抽取n名学生，将他们两次得分情况分别按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95．F：95≤x≤100．
并绘制自强赛测试成绩频数分布直方图和不息赛测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知不息赛测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ ，a＝ ；
（2）不息赛测试成绩的中位数是 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生获得“闯关之星”称号，请说明在抽取的n名学生中，自强赛和不息赛获得“闯关之星”称号的人数至多是多少？并给出理由．
22．（8分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．
23．（10分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
24．（10分）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．
26．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．
（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；
（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．
2024年山东省济南市商河县清华园学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：这个立体图形的主视图为：
故选：B．
2．（4分）作为我国核电走向世界的“国家名片”，“华龙一号”是当前核电市场接受度最高的三代核电机型之一，是我国核电企业研发设计的具有完全自主知识产权的三代压水堆核电创新成果，中核集团“华龙一号”示范工程全面建成后，每台机组年发电能力近200亿千瓦时．200亿用科学记数法表示为（ ）
A．2×102 B．2×109 C．2×1010 D．2×1011
【解答】解：将200亿用科学记数法表示为：2×1010．
故选：C．
3．（4分）将含30°角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若∠1＝70°，则∠2等于（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【解答】解：如图，
∵直线a∥b∥c，
∴∠3＝∠1＝70°．
∴∠4＝∠3﹣30°＝70°﹣30°＝40°，
∴∠2＝∠4＝40°．
故选：C．
4．（4分）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．﹣c＜b B．a＞﹣c C．|a﹣b|＝b﹣a D．|c﹣a|＝a﹣c
【解答】解：由数轴可得，a＜b＜0＜c，|c|＜|b|＜|a|，
∴﹣c＞b，故选项A错误，不符合题意；
a＜﹣c，故选项B错误，不符合题意；
|a﹣b|＝b﹣a，故选项C正确，符合题意；
|c﹣a|＝c﹣a，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
6．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2 a3＝4a5 D．a6÷a2＝a3
【解答】解：A．a2+a2＝2a2，
则A不符合题意；
B．（﹣3a2）3＝﹣27a6，
则B不符合题意；
C．4a2 a3＝4a2+3＝4a5，
则C符合题意；
D．a6÷a2＝a4，
则D不符合题意；
故选：C．
7．（4分）函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
8．（4分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
试验总次数 100 200 300 500 1500 2000 3000
落在“心形线”内部的次数 61 93 165 246 759 996 1503
落在“心形线”内部的频率 0.610 0.465 0.550 0.492 0.506 0.498 0.501
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61
【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
9．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：如图，设BP交CD与点J，交CN与点T．过点J作JK⊥BD于点K．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，∠BCD＝90°，
∵CN⊥BT，
∴∠CTB＝∠CDN＝90°，
∴∠CBT+∠BCM＝90°，∠BCT+∠DCN＝90°，
∴∠CBT＝∠DCN，
∴△BTC∽△CDN，
∴＝，
∴BM CN＝CD CB＝3×4＝12，
∵∠BCD＝90°，CD＝3，BC＝4，
∴＝＝5，
由作图可知BP平分∠CBD，
∵JK⊥BD，JC⊥BC，
∴JK＝JC，
∵S△BCD＝S△BDJ+S△BCJ，
∴×3×4＝×5×JK+×4×JC，
∴JC＝KJ＝，
∴BJ＝＝＝，
∵cos∠CBJ＝＝，
∴＝，
∴BT＝，
∵CN BT＝12，
∴CN＝．
故选：A．
10．（4分）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴﹣＞2，
∴﹣＞2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）因式分解：m3﹣4m＝ m（m+2）（m﹣2） ．
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）＝m（m+2）（m﹣2），
故答案为：m（m+2）（m﹣2）
12．（4分）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．
【解答】解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由表可知共有36种等可能的情况，其中朝上一面的点数之和为7的结果有6种，
∴投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为＝，
故答案为：．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+4x+2a＝0有两个不相等的实数根，则整数a的最大值是 1 ．
【解答】解：根据题意得Δ＝42﹣4×2a＞0，
解得a＜2，
所以整数a的最大值是1．
故答案为：1．
14．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若DE＝2，则阴影部分的面积为 ． ．
【解答】解：连接OA、OB、OF、OC、OD，如图：
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴四边形AFOB是菱形，
∵DE＝2，
∴OA＝2，BM＝，ON＝，
∴BF＝，
∴S△AFB＝＝，
S扇形OCD＝，
S△OCD＝＝，
∴S阴影＝+﹣＝．
故答案为：．
15．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 5 ．
【解答】解：解法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，
将点A（0，2），B（2，3）代入得，，
解得：，
∴k1+b1＝，
设直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，
将点A（0，2），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k2+b2＝，
设直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值为5．
解法二：如图，作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，
设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，
即当x＝1时，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3＝5．
故答案为：5．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
【解答】解：∵点B和点F关于直线DE对称，DB＝DF，
∵AD＝DF，AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴，
∵，
∴BC＝k AB，
∴EC＝k AB，，
∴CF＝k2 AB，
∴＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共10小题，共86分）
17．（6分）计算：|﹣|+（﹣2023）0﹣2sin45°﹣（）﹣1．
【解答】解：原式＝+1﹣2×﹣2
＝+1﹣﹣2
＝﹣1．
18．（6分）解不等式组并写出该不等式组的整数解．
【解答】解：，
由①得：x≤1；
由②得：x＞﹣2，
所以不等式组的解集是：﹣2＜x≤1，
则不等式组的整数解是：﹣1，0，1．
19．（6分）如图，E，F是 ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，AC与BD相交于点O．求证：BE＝DF．
【解答】证明：连接BF，DE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵AF＝CE，
∴AF﹣OA＝CE﹣OC，即OF＝OE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴BE＝DF．
20．（8分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管AB＝24cm，，试管倾斜角α为10°．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1cm）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE＝27.36cm，MN＝8cm，∠ABM＝145°，求线段DN的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）
【解答】解：（1）如图，过点E作EG⊥AC于点G，
∵AB＝24cm，，
∴BE＝8cm，AE＝16cm，
在Rt△AEG中，AE＝16cm，∠AEG＝10°，
∴EG＝cos10° AE
≈0.98×16
≈15.7（cm）＝CD，
答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度约为15.7cm；
（2）如图，过点B分别作BH⊥DE，BP⊥FC，垂足分别为H、P，
在Rt△BEH中，BE＝10cm，∠EBH＝10°，
∴HE＝sin10° EB≈1.36（cm），BH＝cos10° EB≈7.84（cm），
∴HD＝DE﹣HE＝27.36﹣1.36＝26（cm）＝BP，
∵∠ABF＝145°，
∴∠PBF＝145°﹣90°﹣10°＝45°，
∴BP＝PF＝HD＝26cm，
∵MN⊥CF，∠NMF＝45°，MN＝8cm，
∴MN＝NF＝8cm，
∴DN＝DP+PF﹣NF
＝7.84+26﹣8
≈25.8（cm），
答：线段DN的长度约为25.8cm．
21．（8分）某校九年级举办“自强不息 百题闯关”活动，分为自强赛和不息赛两个阶段．已知年级所有学生都分别参加了两个阶段的活动．为了解年级活动情况，现在随机抽取n名学生，将他们两次得分情况分别按以下六组进行整理（得分用x表示）：
A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95．F：95≤x≤100．
并绘制自强赛测试成绩频数分布直方图和不息赛测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知不息赛测试成绩D组的全部数据如下：
86，85，87，86，85，89，88．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）n＝ 20 ，a＝ 4 ；
（2）不息赛测试成绩的中位数是 86.5 ；
（3）若测试成绩不低于90分，则认定该学生获得“闯关之星”称号，请说明在抽取的n名学生中，自强赛和不息赛获得“闯关之星”称号的人数至多是多少？并给出理由．
【解答】解：（1）n＝7÷35%＝20，a＝＝4，
故答案为：20、4；
（2）不息赛A等级的人数为：20×5%＝1（人），B等级的人数为：20×5%＝1（人），C等级的人数为：20×20%＝4（人），D等级人数为：20×35%＝7（人），
将抽取的20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝86.5，
故答案为：86.5；
（3）20×+20×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣35%）
＝4+7
＝11（人），
答：强赛和不息赛同时获得“闯关之星”称号的人数至多是11人．
22．（8分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．
【解答】解析：（1）连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而OA＝OB，
∴OD为△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF是⊙O的切线；
∴OD⊥EF
OD∥AC，
∴EF⊥AC；
（2）设⊙O的半径为R，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴＝，
∴＝，
∴R＝4或（﹣3舍弃）．
∴⊙O的半径为4．
23．（10分）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元．
（1）甲、乙两种头盔的单价各是多少元？
（2）商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？
【解答】解：（1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：甲种头盔单价是65元，乙种头盔单价是54元；
（2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，
根据题意，得m≥（40﹣m），
解得m≥，
w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，
∵4＞0，
∴w随着m增大而增大，
当m＝14时，w取得最小值，
即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为14×4+1920＝1976（元），
答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1976元．
24．（10分）【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是 ；
（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是 2 ，点O与双曲线C1之间的距离是 ；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝45°，
∵DH⊥BC，
∴△BDH是等腰直角三角形，
∴DH＝BD，
∵AB＝6，AD＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，
∴DH＝×2＝；
故答案为：；
（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入y＝，得：3＝，
∴k＝3，
∴双曲线C1的解析式为y＝，
联立，得：﹣x+4＝，
即x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴B（3，1），
∴AB＝＝2；
如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，
则﹣x+b＝，
整理得：x2﹣bx+3＝0，
∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，
∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），
∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，
由﹣x+2＝，
解得：x1＝x2＝，
∴K（，），
∴OK＝＝；
故答案为：2，；
（3）作直线l5：y＝﹣x+n交y轴于点P，交C2于M、N两点，作MG⊥l4，NH⊥l4，垂足为G、H两点，作OK⊥l5，垂足为K，当OK＝80时，隔音屏障为GH的长．
∵y＝﹣k+n，OK＝80，
∴∠POK＝45°，
∴OP＝OK＝80，即l5：y＝﹣x+80，
由l5与C2联立得，
解得：，，
∴M（20，60），N（60，20），
∴GH＝MN＝40×＝80，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求直线AD及抛物线的表达式；
（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．
【解答】（1）解：∵抛物线的对称轴x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
将A（1，0）代入直线y＝kx﹣1，得k﹣1＝0，
解得k＝1，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
将A（1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；
（2）存在点M，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2），
①当∠DAM＝90°时，
设直线AM的解析式为y＝﹣x+c，将点A坐标代入，
得﹣1+c＝0，
解得c＝1，
∴直线AM的解析式为y＝﹣x+1，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3）；
②当∠ADM＝90°时，
设直线DM的解析式为y＝﹣x+d，将D（3，2）代入，
得﹣3+d＝2，
解得d＝5，
∴直线DM的解析式为y＝﹣x+5，
解方程组，解得或，
∴点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，
∵PB＝2，
∴，
∵，
∴，
又∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PF＝PA，
∴PC+PA＝PC+PF≥CF，
∴当点C、P、F三点共线时，PC+ PA的值最小，即为线段CF的长，
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF＝，
∴PC+PA的最小值为．
26．（12分）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点D是BC的中点．四边形DEFG是菱形（D，E，F，G按逆时针顺序排列），∠EDG＝60°，且DE＝2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．
（1）在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；
（2）当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．
【解答】（1）解：AG＝CE，α＝60°，理由：
在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，
则AC＝ABtan30°＝2，则BC＝2AC＝4，
∵点D是BC的中点，则BD＝CD＝AD＝2，
则AG＝AD﹣GD＝2﹣2，CE＝CD﹣DE＝2＝AG，
在△ACD中，AD＝CD，∠C＝60°，
则△ACD为等边三角形，则∠ADC＝60°＝α；
（2）（1）的结论成立，理由：
证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，
∵∠ADG+∠GDC＝60°＝∠GDC+∠CDE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵AD＝CD，GD＝ED，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，∠DCE＝∠DAN，
∵∠ATD＝∠CTN，
∴∠ANC＝∠ADC＝60°＝α；
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，
根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是BC的中点，
则F、G、A共线，此时点G、P共点，
∵∠EDG＝60°，则∠BDE＝60°，
则∠EBC＝∠ECB＝30°，
则∠ACG＝30°+60°＝90°
则BH＝HD＝DM＝CM＝BC＝，
由（1）知△ADC为等边三角形，
由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，
在Rt△ACG中，AC＝2，则CG＝2，
则△APC的面积＝AC GC＝2×2＝2；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：
由（1）、（2）知，∠MPC＝60°，
在Rt△AEC中，AC＝2，AE＝AB＝BE＝6﹣2＝4，
则tan∠AEC＝＝＝，
设AM＝x，则PM＝x，则CM＝＝＝x，
而AC2＝AM2+CM2，
即12＝3x2+x2，
解得：x＝，
则△APC的面积＝AM PC＝x×（x+x）＝；
综上，△APC的面积为或2．
