2024年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
2．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）2023年我国城镇新增就业12440000人，将数字12440000用科学记数法表示为（ ）
A．0.1244×108 B．1.244×108
C．1.244×107 D．1244×107
4．（4分）剪纸艺术是我国独有的艺术形式之一，下列剪纸既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）如图，AB∥CD，∠ECD＝80°，EF平分∠BEC，则∠AEF＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
6．（4分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．﹣2a＞﹣2b D．
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）2
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
D．（ab2） （﹣2ab2）＝﹣2a2b4
8．（4分）某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九（1）班的小华，小丽，小军，小明积极报名参赛，从他们4人中选2名参赛，选中小华和小军的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝36°，以点A为圆心，以AC为半径作弧交AB于点D，连接CD，以点D为圆心，以CD为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线DP交AC于点F，以下结论不正确的是（ ）
A．∠CDF＝36° B．AF＝BD
C． D．
10．（4分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论：
①已知△ABC是比例三角形，AB＝4，BC＝5，那么；
②在△ABC中，点D在AC上，且AD＝BC，∠ABD＝∠C，那么△ABC是比例三角形；
③如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，AB⊥AC，AD⊥CD，那么△ABC是比例三角形；
④已知直线与x轴、y轴交于点A、B，点C（3，0），那么△ABC是比例三角形．
其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案）
11．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ ．
12．（4分）为刺激消费，某商店举行促销活动，凡在本店购物总额超100元，便有一次转动转盘（如图）返现金机会，指针停在线上无效，重转一次，某顾客购物超100元，他获得20元返现金的可能是 ．
13．（4分）已知代数式比大2，则x＝ ．
14．（4分）如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE＝ 度．
15．（4分）某学校的八年级学生到距学校2千米的劳动基地参加植树活动，一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往，如图，l1，l2分别表示步行和骑车的人前往目的地所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象，则骑车的人用 分钟追上步行的人．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点F为CD的中点，将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D′，连接FD′并延长，交BC于点P，CP的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并写出所有整数解．
19．（6分）已知：如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O作直线分别交AB、CD的延长线于点E、F．求证：BE＝DF．
20．（8分）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板AB＝120mm，支撑板CD＝110mm，底座DE，托板AB固定在支撑板顶端C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（精确到0.1mm）
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转20°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，≈1.732）
21．（8分）某校对九年级学生进行了一次“读名著诵经典”知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如图所示（数据分为6组：A：40≤x＜50，B：50≤x＜60，C：60≤x＜70，D：70≤x＜80，E：80≤x＜90，F：90≤x≤100），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，72，73，74，75，76，77，77，78，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表：
平均数 中位数 优秀人数
甲班成绩 76 m 3
乙班成绩 73 72 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计图中50≤x＜60组对应扇形的圆心角是 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）表中m的值是 ；
（4）如果该校九年级学生有300名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，垂足为点D．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝6，CB＝4，求CD的长．
23．（10分）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元．
（1）求篮球，足球的单价分别是多少元；
（2）该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？
24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P（a，2），与y轴交于点Q．
（1）求a、k的值；
（2）直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP＝PB，连接AQ．
①求△APQ的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线AC上的一点，连接BD，线段BD绕点D逆时针旋转到DE，旋转角等于α，连接BE、CE．
（1）当点D在线段AC上时，
①如图1，若α＝60°，则线段CE与线段AD的数量关系是 ，此时，∠DCE＝ °；
②如图2，若α＝120°，则线段CE与线段AD有怎样的数量关系？请给出说明，并求出此时∠DCE的度数；
（2）当点D在射线AC上时，若α＝90°，过点A作AM∥DE交BD于点M，AC＝2CD，猜想CE与AM的数量关系，并说明理由．
26．（12分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点B（﹣4，0），C（0，4）．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）当△PMD是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长；
（3）过点P作x轴的垂线PN，垂足为N，设直线MN交直线BC于点F，是否存在这样的m值，使MN＝2MF？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
2024年山东省济南市莱芜区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C． D．2
【解答】解：∵﹣2×＝1．
∴﹣2的倒数是﹣，
故选：B．
2．（4分）下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：圆锥的主视图是三角形，故A选项合题意；
球的主视图是圆，故B选项不合题意，
三棱柱的主视图是长方形（长方形部分有一条纵向的虚线），故C选项不符合题意，
圆柱的主视图是长方形，故D选项不合题意．
故选：A．
3．（4分）2023年我国城镇新增就业12440000人，将数字12440000用科学记数法表示为（ ）
A．0.1244×108 B．1.244×108
C．1.244×107 D．1244×107
【解答】解：12440000＝1.244×107，
故选：C．
4．（4分）剪纸艺术是我国独有的艺术形式之一，下列剪纸既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（4分）如图，AB∥CD，∠ECD＝80°，EF平分∠BEC，则∠AEF＝（ ）
A．100° B．120° C．130° D．160°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ECD+∠BEC＝180°，
∵∠ECD＝80°，
∴∠BEC＝100°，
∵EF平分∠BEC，
∴∠BEF＝∠BEC＝50，
∴∠AEF＝180﹣50＝130．
故选：C．
6．（4分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．﹣2a＞﹣2b D．
【解答】解：由图可知，b＜﹣1＜2＜a，
A、∵b＜﹣1＜2＜a，∴a+b＞0，故选项A不符合题意；
B、∵b＜﹣1＜2＜a，∴a﹣b＞0，故选项B符合题意；
C、∵b＜﹣1＜2＜a，∴﹣a＜﹣b，∴﹣2a＜﹣2b，故选项C不符合题意；
D、∵b＜﹣1＜2＜a，∴＞，故选项D不符合题意；
故选：B．
7．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）2
B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（﹣ab2）3＝﹣a3b5
D．（ab2） （﹣2ab2）＝﹣2a2b4
【解答】解：A．∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2≠（a+b）2，故此选项不符合题意；
B．∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴（a﹣b）2≠a2﹣b2，故此选项不符合题意；
C．∵（﹣ab2）3＝﹣a3b6，∴（﹣ab2）3≠﹣a3b5，故此选项不符合题意；
D．∵（ab2） （﹣2ab2）＝﹣2a2b4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
8．（4分）某校开展“龙的传人”演讲比赛，每班选两名选手参加比赛，九（1）班的小华，小丽，小军，小明积极报名参赛，从他们4人中选2名参赛，选中小华和小军的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：列表如下：
小华 小丽 小军 小明
小华 （小华，小丽） （小华，小军） （小华，小明）
小丽 （小丽，小华） （小丽，小军） （小丽，小明）
小军 （小军，小华） （小军，小丽） （小军，小明）
小明 （小明，小华） （小明，小丽） （小明，小军）
共有12种等可能的结果，其中选中小华和小军的结果有2种，
∴选中小华和小军的概率为．
故选：B．
9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠BAC＝36°，以点A为圆心，以AC为半径作弧交AB于点D，连接CD，以点D为圆心，以CD为半径作弧交AD于点E，分别以点C、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线DP交AC于点F，以下结论不正确的是（ ）
A．∠CDF＝36° B．AF＝BD
C． D．
【解答】解：根据题中的作图步骤可知，
AC＝AD，DP平分∠CDA．
因为∠BAC＝36°，
所以∠CDA＝，
所以∠CDF＝．
故A选项中的结论正确．
因为∠A＝∠ADE＝36°，
所以AF＝DF．
因为∠FCD＝∠CFD＝72°，
所以DF＝CD．
因为∠B＝∠DCB＝36°，
所以CD＝BD，
所以AF＝BD．
故B选项中的结论正确．
由上述过程可知，
点F为线段AC的黄金分割点，
所以．
不妨令CF＝，AF＝2，
则AD＝AC＝．
又因为BD＝AF＝2，
所以AB＝，
则＝．
故C选项中的结论正确．
因为，
所以．
又因为，
所以
故D选项中的结论错误．
故选：D．
10．（4分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．有下列结论：
①已知△ABC是比例三角形，AB＝4，BC＝5，那么；
②在△ABC中，点D在AC上，且AD＝BC，∠ABD＝∠C，那么△ABC是比例三角形；
③如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，AB⊥AC，AD⊥CD，那么△ABC是比例三角形；
④已知直线与x轴、y轴交于点A、B，点C（3，0），那么△ABC是比例三角形．
其中，正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①根据比例三角形的定义，
则有三种情况AB2＝BC AC，BC2＝AB AC，AC2＝BC AB，
故AC有三种结果，
故①错误；
②∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACD，
∴，
∴AD BC＝AB BD，
∵AD＝BC，
∴BC2＝AB BD，
∴△ABC是比例三角形，
故②正确；
③∵AD∥BC，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，∠CAD＝∠ACB，∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
又∵AB⊥AC，AD⊥CD，
即∠BAC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC∽△DCA，
∴，
∴AC2＝BC AD，
∴AC2＝BC AB，
∴△ABC是比例三角形，
故③正确；
④直线与x轴、y轴交于点A、B，
当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（0，），
在Rt△ABO中，tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3+3＝6，
AC2＝6×6＝36，
AB BC＝6×6＝36，
∴AC2＝AB BC，
∴△ABC是比例三角形，
故④正确，
∴正确的个数是3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案）
11．（4分）因式分解：x2﹣3x＝ x（x﹣3） ．
【解答】解：原式＝x x﹣x 3
＝x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
12．（4分）为刺激消费，某商店举行促销活动，凡在本店购物总额超100元，便有一次转动转盘（如图）返现金机会，指针停在线上无效，重转一次，某顾客购物超100元，他获得20元返现金的可能是 ．
【解答】解：获得20元返现金的次数是1，则获得20元返现金的可能是．
故答案为：．
13．（4分）已知代数式比大2，则x＝ 1 ．
【解答】解：由题意得﹣＝2，
去分母得：x+1＝2（3x﹣2），
整理得：x+1＝6x﹣4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，3x﹣2≠0，
故原方程的解为x＝1，
故答案为：1．
14．（4分）如图，正五边形的一条边AB在正六边形的一条边AC上，则∠DAE＝ 12 度．
【解答】解：正五边形的内角∠DAB＝＝108°，
正六边形的内角是∠EAB＝＝120°，
∵∠DAE＝∠EAB﹣∠DAB＝120°﹣108°＝12°，
故答案为：12．
15．（4分）某学校的八年级学生到距学校2千米的劳动基地参加植树活动，一部分人步行，另一部分人骑自行车，他们沿相同的路线前往，如图，l1，l2分别表示步行和骑车的人前往目的地所走的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象，则骑车的人用 7.5 分钟追上步行的人．
【解答】解：设直线l1的解析式为y＝kx，把（30，2）代入得：2＝30k，
解得k＝，
∴直线l1的解析式为y＝x，
设直线l2的解析式为y＝mx+n，把（15，0），（25，2）代入得：
，
解得，
∴直线l2的解析式为y＝x﹣3，
联立，
解得，
∵22.5﹣15＝7.5（分钟），
∴骑车的人用7.5分钟追上步行的人；
故答案为：7.5．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点F为CD的中点，将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D′，连接FD′并延长，交BC于点P，CP的长为 ．
【解答】解：如图，过点D′作MN∥AD，分别交AB、CD于点M、N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，AB＝CD＝2，
∵MN∥AD，
∴∠AMN+∠BAD＝180°，∠D+∠DNM＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°，
∴四边形AMND是矩形，∠AD′M+∠MAD′＝90°，
∴MN＝AD＝3，
∵点F为CD的中点，
∴DF＝CF＝1，
∵将△ADF沿AF折叠，点D的对应点为D′，
∴∠D＝∠AD′F＝90°，DF＝D′F＝1，AD＝AD′＝3，
∴∠AD′M+∠FD′N＝90°，
∴∠MAD′＝∠FD′N，
又∵∠AMN＝∠DNM，
∴△AMD′∽△D′NF，
∴＝，
设D′N＝x，则MD′＝3﹣x，
∴AM＝＝＝，
∴＝，
∴x＝或x＝0（舍去），
即D′N＝，
∴FN＝＝＝，
∴tan∠CFP＝＝＝＝，
∴CP＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：．
【解答】解：|﹣|﹣+（π﹣3.14）0﹣cos45°
＝﹣3+1﹣
＝﹣2．
18．（6分）解不等式组，并写出所有整数解．
【解答】解：由3（x﹣1）＜x+1得：x＜2，
由得x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x＜2，
∴整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1．
19．（6分）已知：如图，点O是 ABCD对角线的交点，过点O作直线分别交AB、CD的延长线于点E、F．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，AB∥DC，
∵AB∥DC，
∴∠F＝∠E，∠DCA＝∠CAB，
在△COF和△AOE中，
，
∴△COF≌△AOE（AAS），
∴AE＝CF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AE﹣AB＝CF﹣CD，即BE＝DF．
20．（8分）如图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板AB＝120mm，支撑板CD＝110mm，底座DE，托板AB固定在支撑板顶端C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）若∠DCB＝70°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离．（精确到0.1mm）
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转20°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上，求CD旋转的角度大约是多少度？
参考数据：（sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，≈1.732）
【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE于点F，过点A作AG⊥CF于点G，
在Rt△CDF 中，∠CDE＝60°，
则sin∠CDE＝，
其中CD＝110mm，
则mm，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠DCF＝90°﹣∠CDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCF＝∠DCB﹣∠DCF＝70°﹣30°＝40°，
则∠BCF＝∠ACG＝40°，
在 Rt△ACG 中，∠ACG＝40°，
则cos∠ACG＝，
解得：CG＝61.28，
∴（mm），
∵平行线间的距离处处相等，
∴点A到直线DE的距离是156.5mm．
（2）旋转后如图所示，
则∠DCB＝70°+20°＝90°，
在Rt△BCD 中，，
∴∠BDC＝20°，
∴60°﹣20°＝40°，
∴CD旋转40°．
21．（8分）某校对九年级学生进行了一次“读名著诵经典”知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班学生（人数相同）的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析，下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图和扇形统计图如图所示（数据分为6组：A：40≤x＜50，B：50≤x＜60，C：60≤x＜70，D：70≤x＜80，E：80≤x＜90，F：90≤x≤100），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在70≤x＜80这一组的是：71，72，72，73，74，75，76，77，77，78，78，78，79．甲、乙两班成绩的平均数、中位数和优秀人数如表：
平均数 中位数 优秀人数
甲班成绩 76 m 3
乙班成绩 73 72 5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计图中50≤x＜60组对应扇形的圆心角是 57.6 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）表中m的值是 77 ；
（4）如果该校九年级学生有300名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
【解答】解：（1）甲班学生人数为：17÷34%＝50（人），
统计图中50≤x＜60组对应扇形的圆心角是360°×＝57.6°，
故答案为：57.6；
（2）甲班C：60≤x＜70组人数为：50﹣3﹣8﹣13﹣17﹣3＝6（人），
补全条形统计图：
（3）班成绩的中位数m的值是＝77，
故答案为：77；
（4） （人）；
∴估计九年级学生成绩优秀的有24人．
22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，BE与⊙O相交于点C，过点C的切线CD⊥AE，垂足为点D．
（1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝6，CB＝4，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
又∵CD⊥AE，
∴AE∥OC，
∴∠E＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠E，
∴AE＝AB；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∵AB＝AE，AC⊥BE，
∴∠EAC＝∠BAC，
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即，
∴．
23．（10分）为全面贯彻党的教育方针，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某校计划采购部分篮球和足球，已知1个篮球和2个足球一共120元，3个篮球和4个足球一共270元．
（1）求篮球，足球的单价分别是多少元；
（2）该校需购买足球和篮球一共100个，且足球的数量不少于篮球数量的，那么购买足球和篮球各多少个时花费最少？最少花费是多少元？
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
∴每个篮球的价格为30元，每个足球的价格为45元；
（2）设购买a个足球，则购买（100﹣a）个篮球，购买足球和篮球总花费为W元，
根据题意得：a≥（100﹣a），
解得a≥20，
W＝45a+30（100﹣a）＝15a+3000，
∵15＞0，
∴W随a的增大而增大，
∴当a＝20 时，W取最小值；
∴当a＝20时，W取最小值，最小值为15×20+3000＝3300，
∴足球购买20个，篮球购买80个，总费用最少，最少总费用为3300元．
24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P（a，2），与y轴交于点Q．
（1）求a、k的值；
（2）直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP＝PB，连接AQ．
①求△APQ的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
【解答】解：（1）把点P（a，2）代入 得，a＝﹣2，
把 P（﹣2，2）代入 得，k＝﹣4；
（2）①∵k＝﹣4，
∴，
设B的坐标（b，0），点A的坐标为（t，h），
∵AP＝PB，P（﹣2，2），
∴h＝4，
把A（t，4）代入 得：t＝﹣1，
∴点A（﹣1，4），
∵一次函数 的图象与y轴交于点Q．
∴Q的坐标为（0，1），
如图，过点A作AH∥y轴，交PQ于点H，
则点H坐标 ，
∴，
∴；
②设点 ，N（n，0），
∵P（﹣2，2），Q（0，1），点M、N、P、Q构成平行四边形，
当MN和PQ为对角线时，﹣2+1＝n+m，2+1＝0﹣，
∴，
∴M的坐标为 ，
当MP和NQ为对角线时，m﹣2＝n+0，﹣+2＝0+1，
∴m＝4，
∵x＜0，
∴m＝4（舍去）；
当MQ和NP为对角线时，m+0＝n﹣2，﹣+1＝0+2，
∴m＝﹣4，
∴M的坐标为 （﹣4，1）．
综上所述，点M坐标为 ，（﹣4，1）．
25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线AC上的一点，连接BD，线段BD绕点D逆时针旋转到DE，旋转角等于α，连接BE、CE．
（1）当点D在线段AC上时，
①如图1，若α＝60°，则线段CE与线段AD的数量关系是 AD＝CE ，此时，∠DCE＝ 120 °；
②如图2，若α＝120°，则线段CE与线段AD有怎样的数量关系？请给出说明，并求出此时∠DCE的度数；
（2）当点D在射线AC上时，若α＝90°，过点A作AM∥DE交BD于点M，AC＝2CD，猜想CE与AM的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵线段BD绕点D逆时针旋转到DE，
∴DB＝BE，∠DBE＝60°＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE，∠A＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝120°，
故答案为：CE＝AD，120；
②EC＝AD，∠DCE＝150°，理由如下：
∵AC＝AB，ED＝BD，∠BAC＝∠BDE＝120°
∴∠CBA＝∠ACB＝∠DBE＝30°，，
∴∠CBA﹣∠CBD＝∠DBE﹣∠CBD，，
即∠ABD＝∠CBE，，
∴△ABD∽△CBE，
∴，∠BAD＝∠BCE＝120°，
∴CE＝AD，∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝30°+120°＝150°；
（2）CE＝AM或CE＝AM，理由如下：
设AC＝2x，①当点D在线段AC上时，
∵AB＝AC，BD＝DE，∠BAC＝∠BDE＝90°
∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，
∴∠ABC＝∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC，，
即：∠DBA＝∠EBC． ，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴CE＝x，
∵CA＝2DA，
∴CA＝BA＝2x，AD＝DC＝x，
∴在Rt△ABD中，BD＝x，
∵AM∥DE，
∴∠AMD＝∠BDE＝90°，
∴S△ABD＝×AM BD＝AB AD，
∴x AM＝2x x，
∴x＝AM，
∴CE＝AM，
即 CE＝AM；
②当点D在线段AC延长线上时，
∵AD＝AC+CD＝2x+x＝3x，AB＝2x，
∴BD＝x，
由 S△ABD＝AB AD
∴x AM＝（2x） （3x），
∴x＝AM，
∴CE＝AM，
∴CE＝AM，
综上所述，CE＝AM或CE＝AM．
26．（12分）抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．已知点B（﹣4，0），C（0，4）．抛物线的对称轴是直线，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）当△PMD是等边三角形时，求m的值及此时三角形的边长；
（3）过点P作x轴的垂线PN，垂足为N，设直线MN交直线BC于点F，是否存在这样的m值，使MN＝2MF？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣，过点B（﹣4，0），
∴A（1，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+4），
将C（0，4）代入得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），
即：y＝﹣x2﹣3x+4，
把x＝﹣代入y＝﹣x2﹣3x+4得，
，
∴顶点D的坐标为（﹣，）；
（2）∵点P的横坐坐标为m（m＞﹣），
∴P（m，﹣m2﹣3m+4），
设抛物线的对称轴交PM于E，
∵△PMD是等边三角形，
∴∠DPM＝60°，E（﹣，﹣m2﹣3m+4），
∴DE＝﹣（﹣m2﹣3m+4）＝m2+3m+＝（m+）2，
EP＝m+，
在Rt△PED中，
，
∴m＝﹣，
∴EP＝m+＝，
∴，
∴m的值为﹣，此时三角形的边长为；
（3）存在，
∵B（﹣4，0），C（0，4）．
∴直线BC的解析式为y＝x+4，
∵P（m，﹣m2﹣3m+4），PM∥x轴，
∴M（﹣3﹣m，﹣m2﹣3m+4），N（m，0）．
当 时，点P在x轴的上方，
∵MN＝2MF，
∴点F为线段MN的中点，
∴，
，
将，代入y＝x+4整理得，m2+3m+1＝0，
解得 ，（不合题意，舍去），
当m＞0时，如图，设线段NM的中点为R，
∴，，
∵MN＝2MF，
∴M为RF的中点，
∴，，
∴xF＝2xM﹣xR＝2（﹣3﹣m）+＝﹣﹣2m，yF＝2yM﹣yR＝2（﹣m2﹣3m+4）﹣＝﹣m2﹣m+6，
∴点F（﹣﹣2m，﹣m2﹣m+6），
代入y＝x+4整理得，3m2+5m﹣13＝0，
解得：，（不合题意，舍去），
综上可知，存在这样的m值，使MN＝2MF，此时m的值为或．
