第十四章《 三角形》（能力提升测试卷）
一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分）
1.如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB＝∠DAB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ABD，只需再添加的一个条件不可以是（ ）
A．AC＝AD B．BC＝BD C．∠C＝∠D D．∠CBE＝∠DBE
2.如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
3.如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
小聪作法正确的理由是（ ）
A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
B．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
C．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOB
D．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB
6.如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、填空题（共12小题，每小题4分，共48分）
7.如图，△PBC的面积为4cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△ABC的面积为 cm2．
8.如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周长为17cm，则BC＝ cm．
9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝CD．若∠BAD＝40°，则∠C的大小为 度．
10.如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝ °．
11.如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为 cm．
12.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是 ．
13.如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为 ．
14.如图，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠A＝40°，∠B＝30°，∠D＝104°，则∠BEC的度数为 ．
15.在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，已知∠ACB＝50°，∠EAD＝10°，则∠ABC的度数为 ．
16.一副分别含有30°和45°的直角三角板，拼成如图，则∠BFD的度数是 ．
17.如图所示，在△ABC中，∠A＝80°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于A2点，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5点，则∠A5的度数是 ．
18.已知在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，AD⊥BC于点D，点E在AB上，点F在CA的延长线上，且∠EDF＝45°，若FG＝ED，BD＝3，S△DBE＝3，则AG的长为 ．
三、解答题（共78分）
19.（8分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，FB＝CE，AB∥ED．求证：AC∥FD．
20.（10分）已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC．
（1）求证：BE＝CD；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
21.（12分）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
22.（12分）如图1，四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，AF＝CE，AB＝CD．
（1）求证：BE＝DF；
（2）如图2，连接DE、BF，在添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对平行且相等的线段．
23.（12分）已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60时，
①请直接写出△ABC和△DEC的形状；
②求证：AD＝BE；
③请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．
24.（12分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．
（1）试证明：AD∥BC．
（2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．
25.（12分）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD．试探索以下问题：
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED．
（2）如图2，当点E不是AB的中点时，过点E作EF∥BC，交AC于点F，求证：△AEF是等边三角形．
（3）在（2）的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由．
答案
一、单选题
1.B
【分析】添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等；添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等．
【解答】解：A、添加AC＝AD，利用SAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
B、添加BC＝BD，不能判定两三角形全等，符合题意；
C、添加∠D＝∠C，利用AAS即可得到两三角形全等，不符合题意；
D、添加∠CBE＝∠DBE，利用ASA即可得到两三角形全等，不符合题意；
故选：B．
2.D
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得出AB的取值范围，进而得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OB＝BD＝4，
在△AOB中：4﹣3＜AB＜4+3，
即1＜AB＜7，
∴AB的长可能为6．
故选：D．
3.C
【分析】根据平行线求出∠ABE＝∠CDF，根据SAS推出△ABE≌△CDF，根据全等得出AE＝CF，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等求出AD＝BC，求出BF＝DE，根据SSS推出△ADE≌△CBF即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，
在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB（SAS），
∴AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中
∴△ADE≌△CBF（SSS），
即3对全等三角形，
故选：C．
4.C
【分析】根据等边三角形的性质推出AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，求出∠DAC＝∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝60°，根据等边三角形性质得出∠ADB＝∠AEC＝60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，
∴③错误；
故选：C．
5.A
【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．
故选：A．
6.D
【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．
【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，
当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，
∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，
故选：D．
二、填空题
7.8
【分析】延长AP交BC于点Q，则由条件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，则阴影部分面积为△ABC的一半，可得出答案．
【解答】解：如图，延长AP交BC于点Q，
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P，
∴AP＝QP，
∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，
∴S△ABC＝2S阴影＝8（cm2），
故答案为：8．
8.6
【分析】先求出AC长，再根据线段垂直平分线的性质求出AE＝BE，可得AE+BE＝AC＝AB，再根据△BCE的周长求出即可．
【解答】解：∵AB＝11cm，
∴AC＝AB＝11cm，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AE+BE＝AC＝AB＝11cm，
∵△BCE的周长为17cm，
∴BC＝17﹣11＝6（cm）．
故答案为：6．
9.35
【分析】在△ABD中利用等边对等角的性质以及三角形内角和定理求出∠ADB的度数，然后利用∠ADB是三角形ADC的一个外角即可求得答案．
【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝40°，
∴∠B＝∠ADC＝（180°﹣40°）＝70°，
∵在三角形ADC中，∠ADB是三角形ADC的外角，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C，
又∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝×70°＝35°，
故答案为：35．
10.20
【分析】由“HL”可证Rt△ABD≌Rt△EBD，可得∠ABD＝∠DBE，即可求解．
【解答】解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，
∴∠ABC＝40°，
∵DE⊥BC，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠ABC＝20°，
故答案为：20．
11.5
【分析】只要证明△BDF和△CEF为等腰三角形，即可解决问题．
【解答】证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5（cm），
故答案为：5．
12.∠1=2∠2
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
13.102°
【分析】由等边三角形的性质得∠BAC＝60°，再由平行线的性质得出∠2＝∠1+∠BAC，即可得出答案．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠1＝42°，a∥b，
∴∠2＝∠1+∠BAC＝42°+60°＝102°；
故答案为：102°．
14.57°
【分析】延长CD交AB于F，根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算即可．
【解答】解：延长CD交AB于F，
∵∠BDC是△BFD的一个外角，
∴∠BFD＝∠BDC﹣∠B＝104°﹣30°＝74°，
∵∠BFD是△AFC的一个外角，
∴∠ACF＝∠BFD﹣∠A＝74°﹣40°＝34°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠FCE＝∠ACF＝17°，
∵∠BEC是△AEC的一个外角，
∴∠BEC＝∠ACE+∠A＝17°+40°＝57°，
故答案为：57°．
15.70°或30°
【分析】分点E在线段CD上及点E在线段BD上两种情况考虑，当点E在线段CD上时，利用三角形的外角性质可求出∠AEC的度数，在△ACE中利用三角形内角和定理可求出∠CAE的度数，结合角平分线的定义可求出∠BAC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠ABC的度数；当点E在线段BD上时，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠CAD的度数，进而可求出∠CAE的度数，结合角平分线的定义可求出∠BAC的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠ABC的度数．
【解答】解：当点E在线段CD上时，如图1所示，
∵∠AEC为△ADE的外角，
∴∠AEC＝∠ADE+∠EAD＝100°，
∴∠CAE＝180°﹣∠ACB﹣∠AEC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝2×30°＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣60°＝70°；
当点E在线段BD上时，如图2所示，
在△ACD中，∠ADC＝90°，∠ACB＝50°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠EAD＝40°+10°＝50°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝2×50°＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠BAC＝180°﹣50°﹣100°＝30°．
故答案为：70°或30°．
16.15°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠CDF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△CDE中，∠C＝90°，∠E＝30°，
∴∠CDF＝60°，
∵∠CDF是△BDF的外角，∠B＝45°，
∴∠BFD＝∠CDF﹣∠B＝60°﹣45°＝15°．
故答案为：15°．
17.2.5°
【分析】由∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此推出∠A＝25∠A5，而∠A＝96°，即可求出∠A5．
【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠A1
同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，
∴∠A＝25∠A5，
∵∠A＝80°，
∴∠A5＝80°÷32＝2.5°．
故答案为：2.5°．
18.2
【分析】过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，结合等腰直角三角形的性质证明△FAG≌△DHE，可得AG＝EH，利用BD＝3，S△DBE＝3，可求解EH的长，进而可求解AG的长．
【解答】解：过E作EH⊥BC，垂足为H，则∠DHE＝90°，
∵在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠FAG＝90°，
∴∠FAG＝∠DHE，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，∠CAD＝45°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠EDH+∠ADF＝45°，
∵∠F+∠ADF＝∠CAD＝45°，
∴∠F＝∠EDH，
∵FG＝ED，
∴△FAG≌△DHE（AAS），
∴AG＝EH，
∵S△DBE＝BD EH＝3，
∴×3 EH＝3，
解得EH＝2，
∴AG＝2．
故答案为2．
三、解答题
19.证明：AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥FD．
20.证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴BE＝CD；
（2）点O在∠BAC的角平分线上．
理由：连接AO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
又∵∠BEC＝∠CDB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS）．
∴∠BAO＝∠CAO，
∴点O在∠BAC的角平分线上．
21.（1）证明：在△ACE和△BCE中，
∵，
∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE＝BE．
理由如下：
在CE上截取CF＝DE，
在△ADE和△BCF中，
∵，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，
∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，
∴∠BEF＝∠EFB，
∴BE＝BF，
∴AE＝BE．
22.证明：（1）∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°，BE∥DF，
∵AF＝CE，
∴AE＝CF，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝DF；
（2）∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF；
∵Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴∠BAC＝∠ACD，AB＝CD，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
23.解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形；
②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE，
③∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝120°，
又∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ADC＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝90°，
②∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4．
24.（1）证明：在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，
当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴，
∴v＝3；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴ （舍去）；
当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，
∴，
∴，
∴v＝1.5；
若△DEG≌△BGF，则，
∴，
∴，
∴v＝1．
综上，点G的速度为1.5或3或1．
25.证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，∠ECB＝∠ACB＝30°，
∵AE＝BD，
∴BE＝BD，
∴∠EDB＝∠DEB＝∠ABC＝30°，
∴∠EDB＝∠ECB，
∴EC＝ED．
（2）过E点作EF∥BC交AC于F点．如图2所示：
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
（3）ED＝EC． 理由如下：
∵△AEF是等边三角形．
∴∠AFE＝∠ABC＝60°
∴∠EFC＝∠DBE＝120°，
又∵AE＝BD，AB＝AC，
∴BD＝EF，BE＝FC，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED＝EC．
