5.3.1化简绝对值
一、单选题
1.有理数a、b、c在数轴上位置如图,则|c﹣a|+|a+b|﹣|b﹣c|的值为( )
A.2a+2b﹣2c B.0 C.﹣2c D.2a
2.若,则代数式的值为( )
A.3 B.1 C.﹣1 D.﹣2
3.若,则化简结果为( )
A.3 B. C. D.
4.数a、b、c在数轴上对应的位置如图,化简的结果( )
A. B. C. D.
5.有理数a,b,c在数轴上对应的点如图所示,则下列各式:①;②;③;④;⑤.正确的有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若abc≠0,则++的值为( )
A.3 B.±3 C.±1 D.±3或±1
7.已知,那么的最大值与最小值的和等于( )
A. B. C. D.
8.设x为一个有理数,则必定是( )
A.负数 B.正数 C.非负数 D.零
9.有理数在数轴上的位置如图所示,下列各数中,①;②;③;④,在到之间数的个数是( )
A. B. C. D.
10.|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a,,那么的值为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.不确定
二、填空题
11.如图,数轴上点A,B,C所对应的数分别为a,b,c且都不为0,BC=2AC.若|2a+b|=|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|,则|a+2b+3c|=_____(用含a,b的式子表示).
12.若有理数a、b满足,则的值为________.
13.a,b,c在数轴上的位置如图所示,化简:__________.
14.三个有理a、b、c满足abc<0,(a+b)(b+c)(a+c)=0,则代数式的值为_____.
15.若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则可化简为__.
16.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,若m=|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|,则m=____.
17.若a 、b 、 c 为整数,且 | a b |19 | c a |99 1,则| c a | | a b | | b c |=________.
18.若三个非零有理数a,b,c满足,则_______.
19.如图,已知a、b、c、在数轴上的位置,求的值______________
20.若a、b、c为整数,且|a-b|21+|c-a|2021=1,则|a-b|+|b-c|+|c-a|=______.
三、解答题
21.计算:
22.如图所示,数轴上从左到右的三个点A,B,C所对应数的分别为a,b,c.其中点A、点B两点间的距离AB的长是20,点B、点C两点间的距离BC的长是8,
(1)若以点C为原点,直接写出点A,B所对应的数;
(2)若原点O在A,B两点之间,求的值;
(3)若O是原点,且点B到原点O的距离是6,求的值.
23.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,且.
(1)用“>”“<”或“=”填空: , , , ;
(2)化简:
24.有理数a>0,b>0,c<0,且|a|<|c|<|b|.
(1)在数轴上将a,b,c三个数在数轴上表示出来如图所示;
(2)化简:|b+c|-|a-b|+|2a-c|.
25.已知、两数在数轴上表示如图.
(1)试在数轴上找出表示,的点,并用“<”连接,,,.
(2)若的绝对值等于3,的倒数等于它本身,化简求值:.
26.在数轴上,|a-b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离,点P为数轴上任意一点,其代表的数为x.如|x-2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离.
(1)若|x+4|+|x-1|=7,则x=_______,|x+4|+|x-1|的最小值是_______;
(2)若2x+|10-5x|+|3-3x|-7的值恒为常数,求x该满足的条件及此时常数的值.
答案
一、单选题
1.C
【思路指引】
由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负,利用绝对值的代数意义化简,去括号合并即可得到结果.
【详解详析】
解:根据数轴上点的位置得:b<c<0<a,且|a|<|b|,
则c﹣a<0,a+b<0,b﹣c<0,
则|c﹣a|+|a+b|﹣|b﹣c|=a﹣c﹣a﹣b+b﹣c=﹣2c.
故选:C.
2.B
【思路指引】
根据题意分两类情况:, 或,,利用的正负,进行去绝对值、约分计算即可得到正确答案.
【详解详析】
解:
, 或,
当,时,
原式.
当,时,
原式.
综上所述:原式值为:1.
故选:B.
3.B
【思路指引】
直接利用x的取值范围再结合绝对值的性质化简得出答案.
【详解详析】
解:当x≤-1时,可得:x+1≤0,x-2<0,
∴|x+1|-|x-2|=-x-1+x-2=-3,
故选:B.
4.A
【思路指引】
根据数轴判断、、与0的大小关系,然后根据绝对值的意义化简,根据整式的运算法则计算即可.
【详解详析】
解:由数轴可知:,
∴、、,
∴
=
=
=,
故选:A.
5.B
【思路指引】
根据数轴图可得,即可判断①;根据,可得,两边同时加b即可判断②;由绝对值的性质将式子进行化简可得,,即可判断③;由,可得即可判断④;根据,先判断各个绝对值内的符号,然后去绝对值,化简合并同类项即可判断⑤.
【详解详析】
解:由数轴可得:,
∴,
故①错误;
∵,
∴,
∵,
∴,
故②错误;
,
,
∴,
故③正确;
∵,
∴,
∵,
∴,
故④错误;
,,,
∴
,
,
,
故⑤正确;
综上可得:③⑤正确,正确个数有两个,
故选:B.
6.D
【思路指引】
根据有理数乘法的性质,得,,;根据有理数绝对值的性质,结合题意,分四种情况分析,并结合有理数加减法性质计算,即可得到答案.
【详解详析】
∵abc≠0
∴,,,
∴,,
∴当、、均为1时,++;
当、、有两个值为1时,另一个值为时,++;
当、、有两个值为时,另一个值为1时,++;
当、、均为时,++;
∴++的值为或或或,即:±3或±1
故选:D.
7.D
【思路指引】
由于,则及的符号不能确定,故应分类讨论出及的符号,再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可.
【详解详析】
解:①当时,
,
当时,达到最大值5;
②当时,
;
③当时,
,
∴当时,达到最小值1;当时,达到最大值3;
综上分析,最大值是5,最小值是1,
∴的最大值与最小值的和为5+1=6.
故选:D.
8.C
【思路指引】
分三种情况:x=0,x>0,x<0进行分析即可.
【详解详析】
解:当x=0时,|x|-x=0,
当x>0时,|x|-x=0,
当x<0时,|x|-x=-2x>0,
则|x|-x≥0,
故选:C.
9.D
【思路指引】
根据数轴得出-2<a<-1,再逐个判断即可.
【详解详析】
解:①根据数轴可以知道:-2<a<-1,
∴1<-a<2,
∴0<-a-1<1,符合题意;
②∵-2<a<-1,
∴-1<a+1<0,
∴0<|a+1|<1,符合题意;
③∵-2<a<-1,
∴1<|a|<2,
∴-2<-|a|<-1,
∴0<2-|a|<1,符合题意;
④∵1<|a|<2,
∴,符合题意.
故选:D.
理数的加法和减法运算,其中,用绝对值的定义去判断是解题的关键.
10.C
【思路指引】
根据绝对值的意义,先求出a的值,然后进行化简,得到,则,,再进行化简计算,即可得到答案.
【详解详析】
解:∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a,
∴当时,|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,,
∴
∴
=
=
=
=
=0;
故选:C.
二、填空题
11.3a+3bb+3a
【思路指引】
根据BC=2AC,可得2a+b=3c,|2a+b|=|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|可得b>0,2a<0或b<0,2a>0,根据a
【详解详析】
解:由数轴可知,a
∴b-c=2(c-a),
∴2a+b=3c,
∴ |2a+b|=|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|
=|2a﹣(2a+b)|﹣|b﹣(2a+b)|
=|b|﹣|2a|.
∵|2a+b|去绝对值符号后a,b前系数的符号相同,等号右边与左边应一致,
∴ b>0,2a<0或b<0,2a>0.
∵a
∴|2a+b|=2a+b,
∴2a+b>0.
∵b>0,a<0,
∴a+b>0,
∴|a+2b+3c|
=|a+2b+ 2a+b |
=3|a+b |
=3a+3b,
故答案为:3a+3b.
12.2021
13.
【思路指引】
由题意可得:再判断
【详解详析】
解:
故答案为:
14.
【思路指引】
根据已知条件可得a、b、c这三个数其中一个为负数,其余两个为正数数,分为三种情况:①当时,a与b异号,a与c异号,,,②当时,a与b异号,b与c异号,,,③当时, b与c异号, a与c异号,,,由此即可求出答案.
【详解详析】
解:∵(a+b)(b+c)(a+c)=0,
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0
∴a与b异号,或b与c异号,或a与c异号,
∵abc<0,
符合条件的只有一种情况: a、b、c这三个数其中一个为负数,其余两个为正数,
分为以下三种情况:
①当时,a与b异号,a与c异号,,,
;
②当时,a与b异号,b与c异号,,,
;
③当时, b与c异号, a与c异号,,,
,
综上所述,的值为.
故答案为.
15.或
【思路指引】
根据数轴判断出,,即可得到,,再利用绝对值性值计算即可;
【详解详析】
由数轴可得:,,
∴原式;
故答案是:.
16.-1-c
【思路指引】
根据数轴上点的位置可得,即可推出,,,由此化简绝对值求解即可.
【详解详析】
解:由数轴上点的位置可知:,
∴,,,
∴
,
故答案为:.
17.2
【思路指引】
根据题意,三个数中有2个数相等,设,则,,进而即可求得答案.
【详解详析】
解:为整数,则也为整数,且| a b |19 与| c a |99 为非负数,和为1,
三个数中有2个数相等,
当时,则,,,
| c a | | a b | | b c |=,
同理,当或时,均得到| c a | | a b | | b c |=2,
故答案为:2.
18.﹣1
【思路指引】
根据绝对值的性质对a、b、c的正负讨论化简绝对值,进而求解即可.
【详解详析】
解:当a、b、c同正数时,则,不符合题意,故舍去,
当a、b、c同负数时,则,不符合题意,故舍去,
当a、b、c两正数、一负数时,则,符合题意,
∴abc<0,
∴,
当a、b、c两负数、一正数时,则,故舍去,
综上,﹣1,
故答案为:﹣1.
19.a+b
【思路指引】
根据数轴可得a<0<b<c,|a |>|b |,从而去掉绝对值,然后合并即可.
【详解详析】
解:由数轴可得a<0<b<c,|a |>|b |,
∴原式=b+c+a-b-c+b=a+b.
故答案为:a+b.
20.2
【思路指引】
因为、、都为整数,而且,所以与只能是0或者1,于是进行分类讨论即可得出.
【详解详析】
解:、、为整数,且,
有,或,,
①若,,
则,,
,
,
②,,
则,,
,
,
故答案为:2.
三、解答题
21.
解:原式=
.
22.
解:(1)∵点A、点B两点间的距离AB的长是20,点B、点C两点间的距离BC的长是8,
∴点A、点C两点间的距离AC的长是20+8=28,
∵以点C为原点,
∴点A表示的数是-28,点B表示的数是-8;
(2)如图所示,当原点O在A,B两点之间时,
∴,,
∴,
∴
;
(3)若原点O在点B的左边,
∴点B对应的数为6,
∴点A,C所对应数分别是-14,14,
∴
若原点O在点B的右边,
∴点B对应的数为-6,
∴点A,C所对应数分别是-26,2,
∴,
∴综上所述,或.
23.
(1)由数轴得
∴,
∴,
∵
∴a、b互为相反数,即a= b
∴,
故答案为:=;>;<;=
(2)由(1)得,,,
=
=
=
24.
解:(1),,,且.
.
在数轴上将,,三个数在数轴上表示出来如图所示:
(2)根据数轴位置关系,可得:、、.
.
25.
解:(1)利用相反数的含义确定表示的点如图示,
所以
(2) 的绝对值等于3,的倒数等于它本身,
即x=3,y=1
当时,
当时,
当时,
当时,
26.
解:(1)如图所示,-4和1之间的距离为,当P点在-4和1之间时,;
当P点在-4左侧时,,所以,此时x=-4-1=-5;
当P点在-4右侧时,,所以,此时x=1+1=2;
综上所述x=-5或2;
由上分析可知,|x+4|+|x-1|的值大于等于5,且当P点在-4和1之间时等号成立,因此|x+4|+|x-1|的最小值是5;
故答案为:-5或2;5;
(2),
当时,,不是定值;
当时,,是定值;
当时,,不是定值;
综上所述当时,2x+|10-5x|+|3-3x|-7的值恒为常数,常数值为0.