5.3.1化简绝对值
一、单选题
1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则|c﹣a|+|a+b|﹣|b﹣c|的值为（ ）
A．2a+2b﹣2c B．0 C．﹣2c D．2a
2．若，则代数式的值为（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣2
3．若，则化简结果为（ ）
A．3 B． C． D．
4．数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果（ ）
A． B． C． D．
5．有理数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列各式：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若abc≠0，则＋＋的值为（ ）
A．3 B．±3 C．±1 D．±3或±1
7．已知，那么的最大值与最小值的和等于（ ）
A． B． C． D．
8．设x为一个有理数，则必定是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．零
9．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，①；②；③；④，在到之间数的个数是（ ）
A． B． C． D．
10．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定
二、填空题
11．如图，数轴上点A，B，C所对应的数分别为a，b，c且都不为0，BC=2AC．若|2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|，则|a+2b+3c|＝_____（用含a，b的式子表示）．
12．若有理数a、b满足，则的值为________．
13．a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：__________．
14．三个有理a、b、c满足abc＜0，（a+b）（b+c）（a+c）＝0，则代数式的值为_____．
15．若有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则可化简为__．
16．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，若m＝|a＋b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|，则m＝____．
17．若a 、b 、 c 为整数，且 | a b |19 | c a |99 1，则| c a | | a b | | b c |=________．
18．若三个非零有理数a，b，c满足，则_______．
19．如图，已知a、b、c、在数轴上的位置，求的值______________
20．若a、b、c为整数，且|a－b|21＋|c－a|2021＝1，则|a－b|＋|b－c|＋|c－a|＝______．
三、解答题
21．计算：
22．如图所示，数轴上从左到右的三个点A，B，C所对应数的分别为a，b，c．其中点A、点B两点间的距离AB的长是20，点B、点C两点间的距离BC的长是8，
（1）若以点C为原点，直接写出点A，B所对应的数；
（2）若原点O在A，B两点之间，求的值；
（3）若O是原点，且点B到原点O的距离是6，求的值．
23．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且．
（1）用“＞”“＜”或“＝”填空： ， ， ， ；
（2）化简：
24．有理数a＞0，b＞0，c＜0，且|a|＜|c|＜|b|．
（1）在数轴上将a，b，c三个数在数轴上表示出来如图所示；
（2）化简：|b＋c|－|a－b|＋|2a－c|．
25．已知、两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示，的点，并用“<”连接，，，．
（2）若的绝对值等于3，的倒数等于它本身，化简求值：．
26．在数轴上，|a－b|可以表示数a、b所对应的两点之间的距离，点P为数轴上任意一点，其代表的数为x．如|x－2|可以表示点P与2所对应的点之间的距离．
（1）若|x＋4|＋|x－1|＝7，则x＝_______，|x＋4|＋|x－1|的最小值是_______；
（2）若2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，求x该满足的条件及此时常数的值．
答案
一、单选题
1．C
【思路指引】
由数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解详析】
解：根据数轴上点的位置得：b＜c＜0＜a，且|a|＜|b|，
则c﹣a＜0，a+b＜0，b﹣c＜0，
则|c﹣a|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a﹣c﹣a﹣b+b﹣c＝﹣2c．
故选：C．
2．B
【思路指引】
根据题意分两类情况：， 或，，利用的正负，进行去绝对值、约分计算即可得到正确答案．
【详解详析】
解：
， 或，
当，时，
原式．
当，时，
原式．
综上所述：原式值为：1．
故选：B．
3．B
【思路指引】
直接利用x的取值范围再结合绝对值的性质化简得出答案．
【详解详析】
解：当x≤-1时，可得：x+1≤0，x-2＜0，
∴|x+1|-|x-2|=-x-1+x-2=-3，
故选：B．
4．A
【思路指引】
根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据绝对值的意义化简，根据整式的运算法则计算即可．
【详解详析】
解：由数轴可知：，
∴、、，
∴
＝
＝
＝，
故选：A．
5．B
【思路指引】
根据数轴图可得，即可判断①；根据，可得，两边同时加b即可判断②；由绝对值的性质将式子进行化简可得，，即可判断③；由，可得即可判断④；根据，先判断各个绝对值内的符号，然后去绝对值，化简合并同类项即可判断⑤．
【详解详析】
解：由数轴可得：，
∴，
故①错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
故②错误；
，
，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④错误；
，，，
∴
，
，
，
故⑤正确；
综上可得：③⑤正确，正确个数有两个，
故选：B．
6．D
【思路指引】
根据有理数乘法的性质，得，，；根据有理数绝对值的性质，结合题意，分四种情况分析，并结合有理数加减法性质计算，即可得到答案．
【详解详析】
∵abc≠0
∴，，，
∴，，
∴当、、均为1时，＋＋；
当、、有两个值为1时，另一个值为时，＋＋；
当、、有两个值为时，另一个值为1时，＋＋；
当、、均为时，＋＋；
∴＋＋的值为或或或，即：±3或±1
故选：D．
7．D
【思路指引】
由于，则及的符号不能确定，故应分类讨论出及的符号，再由绝对值的性质求出所求代数式的值即可．
【详解详析】
解：①当时，
，
当时，达到最大值5；
②当时，
；
③当时，
，
∴当时，达到最小值1；当时，达到最大值3；
综上分析，最大值是5，最小值是1，
∴的最大值与最小值的和为5+1=6．
故选：D．
8．C
【思路指引】
分三种情况：x=0，x＞0，x＜0进行分析即可．
【详解详析】
解：当x=0时，|x|-x=0，
当x＞0时，|x|-x=0，
当x＜0时，|x|-x=-2x>0，
则|x|-x≥0，
故选：C．
9．D
【思路指引】
根据数轴得出-2＜a＜-1，再逐个判断即可．
【详解详析】
解：①根据数轴可以知道：-2＜a＜-1，
∴1＜-a＜2，
∴0＜-a-1＜1，符合题意；
②∵-2＜a＜-1，
∴-1＜a+1＜0，
∴0＜|a+1|＜1，符合题意；
③∵-2＜a＜-1，
∴1＜|a|＜2，
∴-2＜-|a|＜-1，
∴0＜2-|a|＜1，符合题意；
④∵1＜|a|＜2，
∴，符合题意．
故选：D．
理数的加法和减法运算，其中，用绝对值的定义去判断是解题的关键．
10．C
【思路指引】
根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案．
【详解详析】
解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，
∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴
∴
=
=
=
=
=0；
故选：C．
二、填空题
11．3a+3bb+3a
【思路指引】
根据BC=2AC，可得2a+b=3c，|2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|可得b>0，2a<0或b<0，2a>0，根据a
【详解详析】
解：由数轴可知，a
∴b-c=2(c-a)，
∴2a+b=3c，
∴ |2a+b|＝|2a﹣3c|﹣|b﹣3c|
=|2a﹣(2a+b)|﹣|b﹣(2a+b)|
=|b|﹣|2a|．
∵|2a+b|去绝对值符号后a，b前系数的符号相同，等号右边与左边应一致，
∴ b>0，2a<0或b<0，2a>0．
∵a
∴|2a+b|＝2a+b，
∴2a+b>0．
∵b>0，a<0，
∴a+b>0,
∴|a+2b+3c|
=|a+2b+ 2a+b |
＝3|a+b |
=3a+3b，
故答案为：3a+3b．
12．2021
13．
【思路指引】
由题意可得：再判断
【详解详析】
解：
故答案为：
14．
【思路指引】
根据已知条件可得a、b、c这三个数其中一个为负数，其余两个为正数数，分为三种情况：①当时，a与b异号，a与c异号，，，②当时，a与b异号，b与c异号，，，③当时， b与c异号， a与c异号，，，由此即可求出答案．
【详解详析】
解：∵（a+b）（b+c）（a+c）＝0，
∴a+b=0或b+c=0或a+c=0
∴a与b异号，或b与c异号，或a与c异号，
∵abc＜0，
符合条件的只有一种情况： a、b、c这三个数其中一个为负数，其余两个为正数，
分为以下三种情况：
①当时，a与b异号，a与c异号，，，
；
②当时，a与b异号，b与c异号，，，
；
③当时， b与c异号， a与c异号，，，
，
综上所述，的值为．
故答案为．
15．或
【思路指引】
根据数轴判断出，，即可得到，，再利用绝对值性值计算即可；
【详解详析】
由数轴可得：，，
∴原式；
故答案是：．
16．-1-c
【思路指引】
根据数轴上点的位置可得，即可推出，，，由此化简绝对值求解即可．
【详解详析】
解：由数轴上点的位置可知：，
∴，，，
∴
，
故答案为：．
17．2
【思路指引】
根据题意，三个数中有2个数相等，设，则，，进而即可求得答案．
【详解详析】
解：为整数，则也为整数，且| a b |19 与| c a |99 为非负数，和为1，
三个数中有2个数相等，
当时，则，，，
| c a | | a b | | b c |=，
同理，当或时，均得到| c a | | a b | | b c |=2，
故答案为：2．
18．﹣1
【思路指引】
根据绝对值的性质对a、b、c的正负讨论化简绝对值，进而求解即可．
【详解详析】
解：当a、b、c同正数时，则，不符合题意，故舍去，
当a、b、c同负数时，则，不符合题意，故舍去，
当a、b、c两正数、一负数时，则，符合题意，
∴abc＜0，
∴，
当a、b、c两负数、一正数时，则，故舍去，
综上，﹣1，
故答案为：﹣1．
19．a+b
【思路指引】
根据数轴可得a＜0＜b＜c，|a |＞|b |，从而去掉绝对值，然后合并即可．
【详解详析】
解：由数轴可得a＜0＜b＜c，|a |＞|b |，
∴原式=b+c+a-b-c+b=a+b．
故答案为：a+b．
20．2
【思路指引】
因为、、都为整数，而且，所以与只能是0或者1，于是进行分类讨论即可得出．
【详解详析】
解：、、为整数，且，
有，或，，
①若，，
则，，
，
，
②，，
则，，
，
，
故答案为：2．
三、解答题
21．
解：原式=
．
22．
解：（1）∵点A、点B两点间的距离AB的长是20，点B、点C两点间的距离BC的长是8，
∴点A、点C两点间的距离AC的长是20+8=28，
∵以点C为原点，
∴点A表示的数是-28，点B表示的数是-8；
（2）如图所示，当原点O在A，B两点之间时，
∴，，
∴，
∴
；
（3）若原点O在点B的左边，
∴点B对应的数为6，
∴点A，C所对应数分别是-14，14，
∴
若原点O在点B的右边，
∴点B对应的数为-6，
∴点A，C所对应数分别是-26，2，
∴，
∴综上所述，或．
23．
（1）由数轴得
∴，
∴，
∵
∴a、b互为相反数，即a= b
∴，
故答案为：=；＞；＜；=
（2）由（1）得，，，
=
=
=
24．
解：（1），，，且．
．
在数轴上将，，三个数在数轴上表示出来如图所示：
（2）根据数轴位置关系，可得：、、．
．
25．
解：（1）利用相反数的含义确定表示的点如图示，
所以
（2） 的绝对值等于3，的倒数等于它本身，
即x=3,y=1
当时，
当时，
当时，
当时，
26．
解：（1）如图所示，-4和1之间的距离为，当P点在-4和1之间时，;
当P点在-4左侧时，,所以,此时x＝-4-1=-5；
当P点在-4右侧时，,所以,此时x＝1+1=2；
综上所述x＝－5或2；
由上分析可知，|x＋4|＋|x－1|的值大于等于5，且当P点在-4和1之间时等号成立，因此|x＋4|＋|x－1|的最小值是5；
故答案为：－5或2；5；
（2），
当时，，不是定值；
当时，，是定值；
当时，，不是定值；
综上所述当时，2x＋|10－5x|＋|3－3x|－7的值恒为常数，常数值为0．
