华东师大遗附中2023学年第二学期高二年级
期中考试数学试题
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 直线倾斜角为________.
2. 若直线与平行，则________.
3. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________.
4. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．
5. 正四面体中，则其侧面与底面的二面角的余弦值等于__________________
6. 二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示）
7. 已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则________.
8. 如图，圆柱底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________.
9. 已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________.
10. 已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为________.
11. 已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________.
12. 已知是曲线上的动点，则的取值范围是________.
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13. 设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
14. 从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ）
A. 小麦麦穗长度的极差是3.9 B. 小麦麦穗长度的中位数等于众数
C. 小麦麦穗长度中位数小于平均数 D. 小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件
C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件
16. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为的最小值为
B. 最小值为的最大值为
C. 的最小值大于的最小值大于
D. 的最大值小于的最大值小于
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知直线，圆．
（1）求直线与圆相交所得的弦长；
（2）求圆关于直线对称所得的圆的方程．
18. 如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为．
（1）求圆锥的体积；
（2）设是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少 （结果精确到0.1米）
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽 （结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式．
②柱体的体积为底面积乘以高，，．
20. 已知抛物线的焦点为，过在第一象限上的任意一点作的切线，直线交轴于点．过作的垂线，交于两点．
（1）若点在的准线上，求直线的方程；
（2）求的中点的轨迹方程；
（3）若三角形面积为，求点的坐标．
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为．
（1）若三角形的面积为2，求点的坐标；
（2）若，证明：直线过定点；
（3）若，求满足的关系式．华东师大遗附中2023学年第二学期高二年级
期中考试数学试题
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 直线的倾斜角为________.
【答案】
【解析】
【分析】由直线的一般方程可以求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角之间的关系可得.
【详解】因为直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则
故答案为：
【点睛】本题考查了直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
2. 若直线与平行，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行得到，解得即可.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得，经检验符合题意.
故答案为：
3. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可.
【详解】因直线过点，法向量为，
所以直线的方向向量可取，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
4. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.
5. 正四面体中，则其侧面与底面的二面角的余弦值等于__________________
【答案】1/3
【解析】
【详解】设正四面体的棱长为.过点作平面于点，连结并延长交于点，连结，则为侧面与底面的二面角的平面角.
由于均为边长为的正三角形，为的中点，则
在中，由余弦定理得
即侧面与底面的二面角的余弦值为
6. 的二项展开式中的常数项为________．（结果用数字表示）
【答案】
【解析】
【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解.
【详解】，
由得，
所以常数项为.
故答案为：
7. 已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据条件，利用排列及古典概率公式，建立等式，即可求出结果.
【详解】因为事件表示“甲乙两人不能排在一起”，所以，
事件表示“丙必须排在前两位”，则，
所以，解得，
故答案为：.
8. 如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】由平方求解.
【详解】解：因为分别是圆柱的上下底面的中心，
所以,
又因为圆柱的底面半径为2，高为5，，
且，
所以，
，
，
所以，
故答案为：.
9. 已知椭圆经过直角三角形的直角顶点，且以另外两个顶点作为的焦点，则的离心率的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理、椭圆的离心率公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】不妨设该椭圆的焦点在横轴上，如图所示：
在直角三角形中，，，
则有，设椭圆的标准准方程为，
则有，椭圆的焦距为，
因此的离心率为，
当 时，由当且仅当时，取等号，
于是有，时，取等号，
故的离心率的最小值为，
故答案为：
10. 已知双曲线的右顶点为，点都在上，且关于轴对称，若直线的斜率之积为，则的渐近线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求出即可.
【详解】依题意，点，设点，则，
显然，即，
由直线的斜率之积为，
得，
则，又因为双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为：.
故答案为：.
11. 已知直棱柱的高为，底面三角形的三边长分别为．过三条侧棱中点的截面把三棱柱分成两个完全相同的三棱柱，然后用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或者四棱柱，计算后发现表面积都比原来三棱柱的表面积小，那么正数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】当拼成一个三棱柱时，有两种情况；拼成一个四棱柱时，有四种情况，分别求出其全面积比较大小，解关于不等式即可.
【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，
设棱、、的中点分别为、、.
原三棱柱全面积（）.
由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：
当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：
图①的全面积（），
图②的全面积（），
当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：
图③的全面积（），
图④的全面积（），
图⑤的全面积（），
图⑥的全面积（），
由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），
则（），解得：，
故a的取值范围是.
故答案为：.
12. 已知是曲线上的动点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】利用点到直线距离公式及点到点的距离公式，将问题转化成，进而求出与，的夹角的正弦值，即可求出结果.
【详解】如图，直线为，作于，则，
是双曲线上的动点，双曲线的渐近线方程为，
所以的图象在直线图象的上方，得到，
又，所以，
设直线与的倾斜角分别为，易知，
则，所以，
设设直线的倾斜角分别为，易知，
则，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用点到线和点到点的距离公式，将问题转化成，再求出双曲线的渐近线方程与直线的夹角的正弦值，即可解决问题.
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13. 设是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为（ ）
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据面面平行的性质判断A，根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断B、C、D.
【详解】对于A：若，，则，故A正确；
对于B：若，则或与异面，故B错误；
对于C：若，则或，故C错误；
对于D：若，则或与相交，故D错误.
故选：A
14. 从某个品种的小麦中随机选取14株，测量麦穗长度（单位：），所得的样本数据用茎叶图表示如图，据此可估计该品种小麦麦穂长度情况，那么下列说法错误的是（ ）
A. 小麦麦穗长度的极差是3.9 B. 小麦麦穗长度的中位数等于众数
C. 小麦麦穗长度的中位数小于平均数 D. 小麦麦穗长度的第75百分位数是10.6
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据茎叶图可得这14组数据，然后求极差，中位数，众数，平均数，百分位数即可求解.
【详解】由题可知最大的数是11.7，最小的数是7.8，故极差为3.9，A正确；
中位数为：；众数为：9.7；
平均数为：
，
，故第75百分位数为：10.6，
由以上数据可知：ACD正确，
故选：ACD.
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ）
A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件
C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件
【答案】D
【解析】
【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，
即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；
对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，
对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，
对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确，
故选：D.
16. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面．设与平面所成的角为与所成的角为，那么下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为的最小值为
B. 的最小值为的最大值为
C. 的最小值大于的最小值大于
D. 的最大值小于的最大值小于
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作图，首先找到点的轨迹，构造出，再分析极端位置的情况，分别求出后，找到进行比较即可得到结果.
【详解】
如图，取的中点，连接；
设正方体的棱长为，
因，且平面，平面，
平面；
同理平面，且；
∴平面平面，∴;
∵面，所以与平面所成的角为；
又，
所以与所成角为（或其补角）；
；
当为中点时，此时最小，则最大，最大值为，此时的最大值为；
当与或重合时，此时最大，则最小，最小值为2，此时的最小值为；
，；
对于，当为中点时，；
当与或重合时，最小，又，
，
，
，，故A正确，BC错误，
又，，所以D选项错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先分析出点轨迹，再根据线线角和线面角的定义在图中找到该角，分析极端情况即可得到其角度范围.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知直线，圆．
（1）求直线与圆相交所得的弦长；
（2）求圆关于直线对称所得的圆的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果.
【小问1详解】
设直线与圆相交的弦为线段，
因为圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则，
所以直线与圆相交所得的弦长为.
【小问2详解】
设圆关于直线对称所得的圆为圆，
由题意可得圆心与圆心关于直线对称，
设圆心，则，解得，
则，则圆的方程为.
18. 如图，圆锥的底面半径为3，圆锥的表面积为．
（1）求圆锥的体积；
（2）设是底面圆周上的两点，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆锥全面积公式，结合圆锥体积公式进行求解即可.
（2）根据面面垂直的性质、圆锥的几何性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为圆锥的表面积为，
所以，
由勾股定理可得：，
所以圆锥的体积为：；
【小问2详解】
因为是圆锥的高，
所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，而平面，
所以，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
于是有，
设直线与平面所成角为，
所以，
因此直线与平面所成角的正弦值为.
19. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少 （结果精确到0.1米）
（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽 （结果精确到0.1米）
以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式．
②柱体的体积为底面积乘以高，，．
【答案】（1）
（2）拱高、拱宽
【解析】
【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解；
（2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解.
【小问1详解】
如图建立平面直角坐标系，
依题意可得点在椭圆上，
又，将点代入椭圆方程得，解得，
此时，
因此隧道设计的拱宽约为米；
【小问2详解】
设隧道上方半椭圆部分的面积为，
由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得，
因为，即，当且仅当时取等号，
所以，
由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量，
当取得最小值时，有且，得，，
此时，，
即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小.
20. 已知抛物线的焦点为，过在第一象限上的任意一点作的切线，直线交轴于点．过作的垂线，交于两点．
（1）若点在的准线上，求直线的方程；
（2）求的中点的轨迹方程；
（3）若三角形面积为，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设，利用导数的几何意义表示出切线方程，依题意可得，即可求出，从而求出切线方程；
（2）设，则，再由点在抛物线上，代入抛物线方程，即可求出动点的轨迹方程；
（3）首先得到直线的方程，设，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再由点到线的距离公式及面积公式得到方程，求出，即可求出点坐标.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，准线方程为，
准线与轴的交点为，
由，可得，设，则，
所以过点的切线方程为，即，
则切线与轴的交点，
依题意可得，解得或（舍去），
所以切线方程为；
【小问2详解】
设，则，
又点在抛物线上，所以，即，
即的中点的轨迹方程为.
【小问3详解】
依题意直线的方程为，设，，
由得，显然，则，，
所以，
又点到直线的距离，
所以，
解得或或（舍去），
所以或，
即或.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于两点，为上异于的点．设直线的斜率分别为．
（1）若三角形的面积为2，求点的坐标；
（2）若，证明：直线过定点；
（3）若，求满足的关系式．
【答案】（1）或
（2）直线过定点，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设点，由椭圆方程得出，结合三角形的面积为2得出，代入椭圆方程得出，即可得出点的坐标；
（2）设，联立椭圆与直线的方程，得出，结合及即可得出，即可证明；
（3）由得出，代入，得出，两边平方，结合即可得出满足的关系式．
【小问1详解】
设点，
由，得，所以，
所以，即，，
代入，则，即，
所以点的坐标为或．
【小问2详解】
设，
联立得，，
，
则，
，即，
所以，即直线过定点．
【小问3详解】
设，
由（1）（2）得，，
，
因为，所以，即，
代入，得，
则，
所以，
因为，
所以，整理得，
故满足的关系式为．
