山西省大同市2023-2024学年高二下学期4月期中教学质量监测数学试题
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
5.本试题共5页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.现有4名志愿者去3个社区参加志愿活动,每名志愿者可自由选择其中的1个社区,不同选法的种数是
A. B. C.12 D.7
2.为了了解双减政策的执行情况,某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研,每个学校至少安排一人,则不同的安排方法种数有
A.12种 B.24种 C.36种 D.72种
3.为了了解学生们的视力状况,某学校决定采用分层抽样的方法,从高一、高二、高三三个年级共抽取60人进行视力检测.已知高三年级有500人,高二年级有700人,高一年级有800人,则高二年级抽取的人数为
A.25 B.24 C.21 D.15
4.对两个变量进行线性相关性检验,得线性相关系数,对两个变量进行线性相关性检验,得线性相关系数,则下列判断正确的是
A.变量与变量正相关,变量与变量负相关,变量与变量的线性相关性更强
B.变量与变量负相关,变量与变量正相关,变量与变量的线性相关性更强
C.变量与变量负相关,变量与变量正相关,变量与变量的线性相关性更强
D.变量与变量正相关,变量与变量负相关,变量与变量的线性相关性更强
5.有一组样本数据,由这组数据得到新样本数据,其中为非零常数,则
A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本标准差相同
C.两组样本数据的样本中位数相同 D.两组样本数据的样本众数相同
6.数轴上一个质点在随机外力的作用下,从原点出发,每隔1秒向左或向右移动一个单位,已知向右移动的概率为,向左移动的概率为,共移动8次,则质点位于-2的位置的概率是
A. B. C. D.
7.现有3道选择题和2道填空题共5道题,若不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为
A. B. C. D.
8.有4张相同的卡片,分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1张卡片,表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”,表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”,表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则
A.与为相互独立事件 B.与为互斥事件
C.与为相互独立事件 D.与为对立事件
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有错选的得0分.
9.下列有关回归分析的结论中,正确的有
A.若回归方程为,则变量与正相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C.若决定系数的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好
D.若散点图中所有点都在直线上,则相关系数
10.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项,某地区高三男生的“50米跑”测试成绩(单位:秒)服从正态分布,且.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个,其中成绩在内的个数记,则下列说法正确的有
A. B.
C. D.
11.已知,则
A. B.
C.展开式中系数最大的项为第七项 D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.从1到9的九个正整数中,任意抽取三个相加,所得和为奇数的不同取法有___________种.
13.已知变量的分布列如下表,则的值为___________.
-1 0 1
14.小李经常参加健身运动,他周一去健身的概率为,周二去健身的概率为,且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍,则小李周一、周二都去健身的概率为_________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知是等差数列,是等比数列,且.
(1)求数列与的通项公式;
(2)求数列的前项和.
16.(15分)
2023年12月25日,由科技日报社主办,部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况,按照性别和了解情况分组,得到如下列联表:
不太了解 比较了解 合计
男生 15 45 60
女生 25 15 40
合计 40 60 100
(1)判断是否有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异;
(2)将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地大量学生中,采用随机抽样方法每次抽取1名学生,抽取3次,若每次抽取的结果是相互独立的,记“被抽取的3名学生中恰有1名学生是属于比较了解的”为事件,求发生的概率.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)
从4名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中男生的人数,求:
(1)的分布列以及期望与方差;
(2)设为事件“抽取的3人中,既有男生,也有女生”,求事件发生的概率.
18.（17分)
已知函数.
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)若函数在区间上不是单调函数,求的取值范围;
(3)若无零点,求的取值范围.
19.(17分)
已知数列为有穷数列,且,若数列满足如下两个性质,则称数列为的增数列:①;②对于,使得的正整数对有个.
(1)写出所有4的1增数列;
(2)当时,若存在的6增数列,求的最小值;
(3)若存在100的增数列,求的最大值.
2023—2024学年度第二学期高二年级期中教学质量监测
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：A 2.答案：C 3.答案：C 4.答案：D 5.答案：B 6.答案：D 7.答案：B 8..答案：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9.答案：ABC 10.答案：ACD 11.答案：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．答案：40 13.答案: 14.答案:
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解析：(1)设数列的公差为,数列的公比为,
由,求得,所以;…………………………………………3分
由,得,所以,所以;………………6分
(2)因为,
所以
………………………………………………8分
………………………………………………13分
16.（15分）
解析：（1）根据列联表中的数据，得
……………………………5分
所以有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异……………………………..7分
(2)记事件抽取的学生比较了解,则……………………………10分
……………………………15分
17.（15分）
解析：（1）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
所以，随机变量X的分布列为
0 1 2 3
随机变量的数学期望............8分
方差
……………………………10分
（2）设.
所以,事件发生的概率为………………………….15分
18.(17分)
解析:(1)时,,
所以在处的切线方程为…………………………3分
（2）因为在区间上不是单调函数,
所以在上有变号解,即在上有变号解.
因为,所以,所以.…………………………7分
(3)因为,.…………………………10分
当,即时,,
所以在上单调递减,
因为,
所以在上无零点,符合题意;.…………………………12分
当时,令,则,
当时,,当时,,
所以的单调递减区间是;单调递增区间是,
所以的最小值为,………………………….15分
当,即时,无零点,符合题意;
当时,有一个零点,此时,不符合题意;
当时,的最小值,
因为,
所以,使得,不符合题意;
综上所述,当时,
无零点.…………………………17分
19.(17分)
解析:(1)由题意得,和为4的数列可能由4个1或1、1、2或1、3构成,满足条件的有或,
故所有4的1增数列有数列1,2,1和数列1,3. …………………………..3分
(2)当时,因为存在的6增数列,
所以数列的各项必有不同的项,所以,且,
若,满足要求的数列中有四项为1,一项为2,
则,不符合题意,所以,
若,满足要求的数列中有三项为1,两项为2,此时,数列1,1,1,2,2符合的6增数列
所以,当时,若存在的6增数列,的最小值为7..…………………………7分
(3)若数列中的每一项都相等,则,
若,则数列中存在大于1的项,
若首项,则将拆分成个1后值将变大,
所以此时不是最大值,所以,
当时,若,交换的顺序后变为,
所以此时不是最大值,所以,
若,则,
所以将改为,并在数列首位前添加一项1,则的值变大,
所以此时不是最大值,所以,
若数列中存在相邻的两项,设此时中有项为2,
将改为2,并在数列首位前添加个1后,的值至少变为,
所以此时不是最大值,
所以数列的各项只能为1或2,
所以数列为的形式,
设其中有项为1,有项为2,
因为存在100的增数列,所以,
又
所以,当且仅当时,取最大值为1250.…………………………17分
