2023-2024学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝a（a+）
3．（4分）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB∥DC，AD＝BC
C．AO＝CO，BO＝DO D．AB＝DC，AD＝BC
4．（4分）如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
5．（4分）如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
6．（4分）如图4×4的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则其旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转70°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．100°
8．（4分）如图，y1，y2分别表示某一品牌燃油汽车和电动汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，燃油汽车花费25元和电动汽车花费10元的行车里程数相同．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的2倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC 绕点B按逆时针方向旋转 30° 后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C． D．9
10．（4分）已知y1＝，且y2＝，y3＝，y4＝ yn＝，则y2024为（ ）
A． B．2﹣x C． D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式4xy﹣6xz＝ ．
12．（4分）在平面直角坐标系中，点M（2，﹣6）向上移动5个单位长度后的对应点M′的坐标是 ．
13．（4分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为 ．
14．（4分）夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为 m．
15．（4分）若关于x的方程﹣1＝无解，则a的值是 ．
16．（4分）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）分解因式：
（1）16﹣b2；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
19．（6分）先化简，再求值：求：（ ﹣1）÷，在1，﹣1，2四个数中选一个适合的数，说明理由并代入求值．
20．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A2B2C2可看作△A1B1C1以点（ ， ）为旋转中心，旋转180°得到的．
21．（8分）如图，已知 ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）若点E是BC的中点，∠C＝108°，求∠BAE的度数．
22．（8分）如图， ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF＝BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE＝∠BCF．
（2）连接AF、CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
23．（10分）在数学课上，老师出了这样一道题：甲、乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，求高铁列车从甲地到乙地的时间．
老师要求同学先用列表方式分析再解答．下面是两个小组分析时所列的表格
小组甲：设特快列车的平均速度为x km/h
时间/h 平均速度/（km/h） 路程/km
高铁列车 1400
特快列车 x 1400
小组乙：高铁列车从甲地到乙地的时间为yh．
时间/h 平均速度/（km/h） 路程/km
高铁列车 y 1400
特快列车 1400
（1）根据题意，填写表格中空缺的量；
（2）结合表格，选择一种方法进行解答．
24．（10分）综合与实践：
数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．我们常利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，如：探索整式乘法的一些法则和公式．
探索整式乘法的一些法则和公式．
（1）探究一：将图1的阴影部分沿虚线剪开后，拼成图2的形状，拼图前后图形的面积不变，因此可得一个多项式的分解因式 ．
（2）探究二：类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图3所示，则得到的几何体的体积为 ；
（3）将图3中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图4，图5所示，∵BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，∴长方形①的体积为ab（a﹣b）．类似地，长方体②的体积为 ，长方体③的体积为 ；（结果不需要化简）
（4）用不同的方法表示图3中几何体的体积，可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为 ．
（5）问题应用：利用上面的结论，解决问题：已知a﹣b＝6，ab＝2，求a3﹣b3的值．
25．（12分）【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．
【解决问题】
（1）若n＞0，试判断： 0（填“＞”，“＝”或“＜”）；
（2）已知A＝，B＝，当m＞﹣3时，试比较与B的大小，并说明理由；
（3）嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品，嘉嘉两次都买了m千克该商品，琪琪两次购买该商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且a≠b）．请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买商品的平均价格的高低．
26．（12分）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D＝180°时，是否仍有EF＝BE+DF，并说明理由．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
2023-2024学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【解答】解：选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
3．【分析】利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
【解答】解：A、AB∥DC，AD∥BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB∥DC，AD＝BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO＝CO，BO＝DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB＝DC，AD＝BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
4．【分析】根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
【解答】解：由平移的性质可知：CF＝BE＝2，
故选：A．
【点评】本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等是解题的关键．
5．【分析】根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
【解答】解：＝＝，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数（或除以同一个不等于0的数），分式的值不变．
6．【分析】根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心．
【解答】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B为旋转中心．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．
7．【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝70°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转70°得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠ADB＝＝55°，
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．【分析】设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.1）元，根据行驶路程＝所需费用÷每千米所需费用，结合行驶路程相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设电动汽车每千米所需的费用为x元，则燃油汽车每千米所需费用为（2x+0.1）元，
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B＝AB＝6，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA＝30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC＝S△A1BA，最终得到阴影部分的面积．
【解答】解：在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3，
∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
10．【分析】分别用式子表示出y1、y2、y3、y4、y5、y6……的结果，再根据规律得到结果．
【解答】解：∵y1＝，
∴y2＝＝，
y3＝＝，
y4＝＝＝y1，
y5＝，
y6＝，
由此类推，2024＝674×3+2，
得y2024＝y2＝，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据式子的变化规律来解答．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．【分析】运用提公因式因式分解的方法进行求解，
【解答】解：4xy﹣6xz
＝2x×2y﹣2x×3z
＝2x（2y﹣3z），
故答案为：2x（2y﹣3z）．
【点评】此题考查了运用提公因式法进行因式分解的能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行分解．
12．【分析】让点M的纵坐标加5即可得到M′的坐标．
【解答】解：由题中平移规律可知：点M（2，﹣6）向上移动5个单位长度后的对应点M′的坐标是（2，﹣6+5），即（2，﹣1）．
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．【分析】由平行四边形的性质得OC＝AC，OD＝BD，CD＝AB＝7，则OC+OD＝（AC+BD）＝9，所以OC+OD+CD＝9+7＝16，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，CD＝AB＝7，
∵AC+BD＝18，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝×18＝9，
∴OC+OD+CD＝9+7＝16，
∴△OCD的周长为16，
故答案为：16．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，证明OC＝AC，OD＝BD，并且求得OC+OD＝9是解题的关键．
14．【分析】利用平移的性质直接得出答案即可．
【解答】解：根据题意得出：小桥可以平移到矩形的边上，得出小桥的长等于矩形的长与宽的和，
故小桥总长为：280÷2＝140（m）．
故答案为：140．
【点评】此题主要考查了生活中的平移，根据已知正确平移小桥是解题关键．
15．【分析】把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x＝2代入即可求得a的值．
【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2．
方程去分母，得：ax﹣x+2＝4，即（a﹣1）x＝2
把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，
解得：a＝2．
当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．
故答案为：2或1．
【点评】本题主要考查了分式方程的增根问题，分式方程的增根就是方程的最简公分母等于0的未知数的值，代入进行计算即可求解．首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．
16．【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t＝，
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：4s或s．
【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可；
（2）首先提公因式3a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（4+b）（4﹣b）；
（2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣（x+3）（x﹣3）＝18，
化简得3x+9＝18，
解得：x＝3，
经检验x＝3是增根，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19．【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出a不能为1和﹣1，取a＝2，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（ ﹣1）÷
＝
＝
＝，
要使分式有意义，必须a﹣1≠0且a+1≠0，
所以a不能为1和﹣1，
取a＝2时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，则△A2B2C2可看作△A1B1C1以点M为旋转中心，旋转180°得到的，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标为（﹣1，2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点C2的坐标为（﹣3，﹣2）．
（3）连接A1A2，B1B2，C1C2，相交于点M，
则△A2B2C2可看作△A1B1C1以点M为旋转中心，旋转180°得到的，
由图可知，点M的坐标为（﹣2，0）．
故答案为：﹣2；0．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
21．【分析】（1）由AD∥BC可得∠ADE＝∠DEC，再由∠ADE＝∠EDC，从而可得∠DEC＝∠EDC，继而可证得CD＝CE；
（2）由题意可得AD∥BC，AB＝CD，继而可求得∠BAD的度数，AB＝BE，从而可求得∠BAE的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠C＝108°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣72°）÷2＝54°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
22．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF，即可推出∠DAE＝∠BCF；
（2）由平行四边形的判定可证四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△ABE与△CDF中
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠BCF．
（2）证明：连接AO交BD于点O，连接AF、CE．
由（1）得，△ABE≌△CDF，
∴∠AED＝∠CFB，AE＝CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23．【分析】（1）根据两车速度之间的关系及时间＝路程÷速度（速度＝路程÷时间），即可找出表格中空缺的量；
（2）任选一种方法，利用乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h（或高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍），即可得出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：（1）设特快列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为2.8x km/h，特快列车从甲地到乙地所需时间为h，高铁列车从甲地到乙地所需时间为h；
设高铁列车从甲地到乙地的时间为yh，则特快列车从甲地到乙地的时间为（y+9）h，高铁列车的平均速度为km/h，特快列车的平均速度为km/h．
（2）选择小组甲：依题意，得：﹣＝9，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，
∴＝5．
答：高铁列车从甲地到乙地的时间为5h．
选择小组乙：依题意，得：＝2.8×，
解得：y＝5，
经检验，y＝5是原分式方程的解，且符合题意．
答：高铁列车从甲地到乙地的时间为5h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．【分析】（1）图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，图2中阴影部分的面积等于长为a+b、宽为a﹣b的长方形的面积，由此即可得；
（2）直接利用大正方体的体积减去小正方体的体积即可得出答案；
（3）根据长方体的体积公式即可得；
（4）根据（2）和（3）的结论可得a3﹣b3＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b），再将等号右边利用提取公因式分解因式即可得出答案；
（5）先利用完全平方公式求出a2+b2＝40，再根据（4）的结论即可得．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，
图2中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
∵拼图前后图形的面积不变，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可得一个多项式的分解因式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）由题意，得到的几何体的体积为a3﹣b3，
故答案为：a3﹣b3．
（3）∵EN＝b，DE＝b，DM＝a﹣b，
∴长方体②的体积为b2（a﹣b），
∵GH＝a，FG＝a﹣b，HR＝a，
∴长方体③的体积为a2（a﹣b），
故答案为：b2（a﹣b），a2（a﹣b）．
（4）由（2）和（3）得：a3﹣b3＝ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b），
则可以得到的恒等式（将一个多项式因式分解）为a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
（5）∵a﹣b＝6，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，即36＝a2+b2﹣4，
∴a2+b2＝40，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+b2+ab）＝6×（40+2）＝252．
【点评】本题考查了平方差公式与图形面积、利用完全平方公式变形求值、利用提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式是解题关键．
25．【分析】（1）根据分式的基本性质化简﹣＝，进而求解．
（2）化简﹣B＝，由m＞﹣3可得＜0，进而求解．
（3）分别求出嘉嘉与琪琪两次购买商品的平均价格为＝和＝，然后通过作差法求解．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝，
∵n＞0，
∴n（n+1）＞0，
则＞0，
∴＞0，
故答案为：＞；
（2）﹣B＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝，
∵m＞﹣3，
∴＜0，
∴＜B．
（3）嘉嘉两次购买商品的平均价格为＝，
琪琪两次购买商品的平均价格为＝，
∴﹣＝＞0，
∴嘉嘉两次购买商品的平均价格高于琪琪两次购买商品的平均价格．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
26．【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋转到△ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．
【解答】解：（1）∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
则∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，BE＝DG，
∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，
即∠EAF＝∠FAG，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；
故答案为：△AFG；
（2）当∠B+∠D＝180°时，仍有EF＝BE+DF；理由如下：
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：
∴∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∵∠ADC+∠B＝180°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF，
∴EF＝BE+DF；
（3）DE2＝BD2+EC2．理由如下：
把△ACE绕点A逆时针旋转90°到△ABF的位置，连接DF，如图3所示：
则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，
∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，
∴∠FAE＝∠BAC＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FAD＝∠DAE＝45°，
在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF＝DE，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠C＝∠ABF＝45°，
∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2＝DF2，
∴BD2+EC2＝DE2．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性比较强，能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键．
