2022-2023学年江苏省盐城市盐都区七年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在△ABC中，∠BAC是钝角，下列图中画AB边上的高线正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）若3×9m×27m＝321，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边为偶数，则此三角形的周长是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．15或17
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．b3 b3＝2b3
C．（a2）5＝a10 D．（a3b）2＝a6b
6．（3分）已知xm＝3，xn＝2，则x3m+2n的值是（ ）
A．31 B． C．23 D．108
7．（3分）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：
①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（a﹣b） （b﹣a）4＝ ．
10．（3分）若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为 ．
11．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝ ．
12．（3分）如图，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，则∠A的度数为 ．
13．（3分）一机器人以3m/s的速度在平地上按图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为 s．
14．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AD的中点，点F在BE上，且EF＝2BF，若S△BCF＝2cm2，则S△ABC等于 ．
15．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 度．
16．（3分）如果三角形的两个内角α与β满足2β+α＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为 ．
三、解答题（72分）
17．（12分）计算：
（1）m3 m （m2）3；
（2）（﹣a3）2 （﹣a2）3；
（3）（﹣2x2）3+x2 x4+（﹣3x3）2；
（4）．
18．（8分）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
（1）画出△A'B'C'；
（2）画出△ABC的高BD；
（3）连接AA'、CC'，那么AA'与CC'的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ．
（4）在AB的右侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有 个．
19．（8分）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（4，16）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：
①计算（9，100）﹣（81，10000）；
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
20．（8分）已知：如图，点D、E、F、G都在△ABC的边上，DE∥AC，且∠1+∠2＝180°
（1）求证：AD∥FG；
（2）若DE平分∠ADB，∠C＝40°，求∠BFG的度数．
21．（8分）如图，∠1＝∠2，∠DEH+∠EHG＝180°，∠C＝∠A．
（1）试说明：∠AEH＝∠F；
（2）若∠B＝40°，∠F＝25°，则∠DEF＝ °．
22．（8分）如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补．
（1）求证：∠1＝∠2．
（2）若∠A＝80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数．
23．（8分）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
（1）如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB﹣∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
初步应用：
（2）如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P＝ ．
解决问题：
（3）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
24．（12分）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．
（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为 倍角三角形．
（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．
2022-2023学年江苏省盐城市盐都区七年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．【分析】根据平移变换，轴对称变换中心对称对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是利用中心对称设计的，不合题意；
B，C是利用轴对称设计的，不合题意；
D、是利用平移设计的，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．【分析】根据三角形的高的定义可知，AB边上的高线是经过C点向AB边所作的垂线段，依此求解即可．
【解答】解：由题意可得，在△ABC中，∠BAC是钝角，画AB边上的高线是CD，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的高，解题的关键是正确理解定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．【分析】先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．
【解答】解：3 9m 27m＝3 32m 33m＝31+2m+3m＝321，
∴1+2m+3m＝21，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．
4．【分析】从边的方面考查三角形形成的条件，利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，进而就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：设第三边为a cm，根据三角形的三边关系可得：7﹣2＜a＜7+2．
即：5＜a＜9，
由于第三边的长为偶数，
则a可以为6cm或8cm．
∴三角形的周长是 2+7+6＝15或2+7+8＝17．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、2a2+3a2＝5a2，故A不符合题意；
B、b3 b3＝b6，故B不符合题意；
C、（a2）5＝a10，故C符合题意；
D、（a3b）2＝a6b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．【分析】首先根据幂的乘方公式以及同底数的幂的乘法公式把原式化成＝（xm）3 （xn）2代入计算即可．
【解答】解：原式＝（xm）3 （xn）2＝33 22＝27×4＝108．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方公式以及同底数的幂的乘法公式，正确对所求的式子进行变形是关键．
7．【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，
∴∠1＝∠DEC，
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC+∠2＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，故①正确；
∴∠ADN＝∠BAD，
∵∠ADC+∠ADN＝180°，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠AEB≠∠BAD，
∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；
∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，
∴∠2＝∠4，
∴ED平分∠ADC，故③正确；
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．
∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，
∴∠EAF+∠EDF＝×270°＝135°．
∵AE⊥DE，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
8．【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'FG+∠B'GF）以及（∠C'HI+∠C'IH）和（∠A'DE+∠A'ED），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝720°﹣（∠B'FG+∠B'GF）﹣（∠C'HI+∠C'IH）﹣（∠A'DE+∠A'ED）＝720°﹣（180°﹣∠B'）﹣（180°﹣C'）﹣（180°﹣A'）＝180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，∠A＝∠A'，
∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．【分析】将（b﹣a）4转化为（a﹣b）4，再根据同底数幂乘法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（a﹣b） （b﹣a）4＝（a﹣b）（a﹣b）4＝（a﹣b）1+4＝（a﹣b）5，
故答案为：（a﹣b）5，
【点评】考查同底数幂的乘法的计算方法，把具有互为相反数的底数幂，化成同底数幂是正确计算的前提．
10．【分析】根据多边形的内角和和外角和公式即可求解．
【解答】解：设边数为n，
∵多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，
∴多边形的每个内角为：，
∵多边形的外角和公式为：360°，
∴多边形的每个外角为：，
∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，
∴＝×2，
∴n＝6，
故答案为：六．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和公式，本题的解题关键是由公式得出边数．
11．【分析】三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【解答】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝a+b﹣c﹣a+b+c＝2b．
故答案为：2b．
【点评】此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
12．【分析】先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°，
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°，
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°，
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°，
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°，
∴α＝20°，β＝25°，
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键．
13．【分析】该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【解答】解：360°÷45°＝8，
则所走的路程是：6×8＝48（m），
则所用时间是：48÷3＝16（s），
故答案为：16．
【点评】本题主要考查多边形的外角和及有理数的乘除法的应用，熟练掌握运用多边形外角的定理是解题关键．
14．【分析】根据EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，求得S△BEC＝3S△BCF＝6cm2，根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，从而求出S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，再根据S△ABC＝2S△ABD计算即可得解．
【解答】解：如图，∵EF＝2BF，S△BCF＝2cm2，
∴S△BEC＝3S△BCF＝3×2＝6cm2，
∵D是BD的中点，
∴S△BDE＝S△CDE＝S△BEC＝3cm2，
∵E是AD的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝2S△BDE＝6cm2，
∴S△ABC＝2S△ABD＝12cm2，
∴△ABC的面积为12cm2，
故答案为：12cm2．
【点评】本题考查了三角形的面积，解题主要利用了三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形，理论依据是等底等高的三角形的面积相等，需熟记．
15．【分析】如图连接CE，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，在△DCE中有∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，即可得∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°．
【解答】解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°．
【点评】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．
16．【分析】由∠C＝100°，∠A＝∠B，得∠A＝∠B＝40°，根据将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，可得∠EDF＝∠A＝40°，当△BED为“准直角三角形”时，2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，可解得x＝25°或x＝10°，①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，可得∠CFD＝55°，2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，故△CDF不是“准直角三角形”；②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，可得∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，2∠CDF+∠CFD＝90°，△CDF是“准直角三角形”，即可得到答案．
【解答】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查三角形中的折叠问题，涉及新定义，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．
三、解答题（72分）
17．【分析】（1）根据同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方的运算法则即可解答；
（2）幂的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则即可解答；
（3）先利用积的乘方的运算法则及同底数幂的运算法则计算，再利用整式的加减法则计算即可解答；
（4）利用逆用积的乘方的运算法则化简，再利用积的乘方的运算法则即可解答．
【解答】解：（1）m3 m （m2）3＝m4 m6＝m10；
（2）（﹣a3）2 （﹣a2）3＝a6 （﹣a6）＝﹣a12；
（3）（﹣2x2）3+x2 x4+（﹣3x3）2＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6；
（4）＝＝＝＝＝．
【点评】本题考查了积的乘方的运算法则，同底数幂测运算法则，幂的乘方运算法则，掌握积的乘方运算法则是解题的关键．
18．【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形ACBQ，利用等高模型解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，线段BD即为所求作．
（3）AA′∥CC′，AA′＝CC′．
线段AC扫过的图形的面积为2×10﹣2××1×4﹣2××1×6＝10．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′.10．
（4）满足条件的点Q有8个，
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．【分析】（1）根据所给的新定义运算即可解答；
（2）①根据新定义给出的特征运算即可；②根据新定义给出的特征运算即可．
【解答】解：（1）∵42＝42＝16，
∴（4，16）＝2，
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4，
故答案为：2，4．
（2）①∵9＝32，100＝102，
∴（9，100）＝（3，10），
∵81＝34，10000＝104，
∴（81，10000）＝（3，10），
∴（9，100）﹣（81，10000）＝（3，10）﹣（3，10）＝0；
②∵16＝42，49＝72，（16，49）＝a，
∴（4，7）＝a，即4a＝7，
∵（4，3）＝b，
∴4b＝3，
∵42＝16，212＝441，（16，441）＝c，
∴（4，21）＝c，即4c＝21，
∴4a×4b＝4c，
∴a+b＝c．
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法法则，掌握并灵活运用对应法则是解题的关键．
20．【分析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）利用平行线的性质和判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC
∴∠2＝∠DAC
∵∠l+∠2＝180°
∴∠1+∠DAC＝180°
∴AD∥GF
（2）∵ED∥AC
∴∠EDB＝∠C＝40°
∵ED平分∠ADB
∴∠2＝∠EDB＝40°
∴∠ADB＝80°
∵AD∥FG
∴∠BFG＝∠ADB＝80°
【点评】此题考查三角形的内角和定理，关键是根据平行线的判定和性质解答．
21．【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DEH+∠EHG＝180°，
∴ED∥AC（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠1＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
∠2＝∠DGC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2，∠C＝∠A，
∴∠A＝∠DGC．
∴AB∥DF（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AEH＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
（2）解：∵AB∥DF，
∴∠CDF＝∠B＝40°，
∵∠1+∠2+∠CDF＝180°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝70°，
∵∠F＝25°，∠F+∠2+∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣25°﹣70°＝85°．
故答案为：85．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．【分析】（1）根据已知条件得到∠GFH+∠FHD＝180°，根据平行线的判定得出FG∥BD，根据平行线的性质得出∠1＝∠ABD，求出∠2＝∠ABD，等量代换即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BHC＝∠FHD，∠GFH+∠BHC＝180°，
∴∠GFH+∠FHD＝180°，
∴FG∥BD，
∴∠1＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠2＝∠ABD，
∴∠1＝∠2；
（2）∵∠A＝80°，FG⊥AC，
∴∠1＝90°﹣80°＝10°，
∴∠2＝∠1＝10°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝20°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝80°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，三角形内角和，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
23．【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
故答案为：＝；
（2）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案为：90°﹣∠A，
（3）∠P＝180°﹣（∠BAD+∠CDA），
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠BAD+∠CDA）]＝180°﹣（∠BAD+∠CDA）．
【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
24．【分析】（1）由∠E＝40°，∠F＝35°可知∠D＝105°，再根据n倍角三角形的定义可得结论．
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果．
（3）首先证明∠EAF＝90°，分四种情形分别求出即可．
【解答】解：（1）∵∠E＝40°，∠F＝35°，
∴∠D＝180°﹣40°﹣35°＝105°，
∴∠D＝3∠F，
∴△ABC为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵∠POM＝30°，
∴∠OAB+∠OBA＝150°．
又∵BC平分∠OBA，AC平分∠OAB，
∴∠CBA+∠CAB＝∠OAB+∠OBA＝75°，
∴∠C＝105°．
①当∠CBA＝2∠CAB时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝25°；
②当∠CAB＝2∠CBA时，∵∠CBA+∠CAB＝75°，
∴∠BAC＝50°；
③当∠C＝2∠CAB时，∵∠C＝105°，
∴∠BAC＝∠C＝52.5°；
④当∠C＝2∠CBA时，∵∠C＝105°，
∴∠CBA＝∠C＝52.5°，
∴∠BAC＝22.5°．
综上，在△ABC中当一个角是另一个角的2倍时，∠BAC等于50°、52.5°、25°或22.5°；
（3）解：∵AE平分∠BAO，AF平分∠OAG，
∴∠BAE＝∠EAO，∠OAF＝∠GAF，
∴∠EAF＝∠EAO+∠OAF＝90°，
∴∠E+∠F＝90°；
又∵EF平分∠BOQ，
∴∠EOQ＝∠E+∠EAO＝45°①，
∠BOQ＝∠ABO+∠BAO＝90° ②；
①×2﹣②得：∠ABO＝2∠E．
若△AEF为3倍角三角形：
i）若∠F＝3∠E，∵∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝22.5°，
∴∠ABO＝45°；
ii）若∠E＝3∠F，
∴∠E＝67.5°，
∴∠ABO＝135°（不符合题意，舍去）；
iii）若∠EAF＝3∠E，∴∠E＝30°，
∴∠ABO＝60°；
iv）若∠EAF＝3∠F，∴∠F＝30°，∠E＝60°，
∴∠ABO＝120°（不符合题意，舍去）；
综上所述，∠ABO等于45°或60°时，△AEF为3倍角三角形．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义，不等式组的解法和应用等知识，读懂新定义n倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
