2024年安徽省合肥市百校联赢名校大联考中考数学模拟试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）﹣6的绝对值是（ ）
A．﹣6 B．﹣ C． D．6
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣a）2+a3＝a5 B．a2 （﹣a）3＝﹣a6
C．（﹣a）3÷a2＝a D．[（﹣a）2]3＝a6
3．（4分）某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4分）下列函数中，当x＜0时，y的值随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝﹣x B． C．y＝x﹣1 D．y＝x2﹣1
6．（4分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上，连接BE，CE，若∠ABE＝18°，则∠BEC﹣∠DCE＝（ ）
A．16° B．17° C．18° D．20°
7．（4分）如果从两个奇数和两个非0的偶数中任选两个不重复的数组成一个两位数，恰好组成偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（4分）如图，点P在正方形ABCD的边BC上，以PD为边作矩形PDEF，且边EF过点A．若AB＝1，则矩形PDEF的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（4分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，M为AB的中点，D，E分别是线段BM，BC上的动点，CE＝2BD，以DE为边向上作等边△DEF，则线段MF的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小级，每小题5分，满分203）
11．（5分）计算：1﹣＝ ．
12．（5分）国家统计局公布了2023年的人口数据：2023年末全国人口140967万人，比上年末减少208万人，其中208万用科学记数法表示为 ．
13．（5分）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图，在△ABC中，∠C＝90°，四边形CDEF为正方形，△AFE≌△AGE，△BGE≌△BDE，AC＝4，BC＝3，则CD＝ ．
14．（5分）如图，O为坐标原点，反比例函数的图象与矩形OABC的两边AB，BC相交于点D，E，点A，C分别在x，y轴上，DF⊥y轴于点F，EG⊥x轴于点G．若．
（1）线段EG的长为 ；
（2）连接EF，若EF＝EG，则矩形OABC的面积为 .．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）先化简，再求值：，其中．
16．（8分）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段AB先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1；
（2）将线段AC绕点B顺时针旋转90°，得到线段A2C2，画出线段A2C2；
（3）在△ABC外找一点P，画出射线CP，使得CP平分∠ACB．
18．（8分）【观察思考】
如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．
【规律总结】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中黄梅花的盆数为 ；
（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为1×2，第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×3，第3个图案中红梅花的盆数可表示为3×4，第4个图案中红梅花的盆数可表示为4×5，…，第n个图案中红梅花的盆数可表示为 ；
【问题解决】
（3）已知按照上述规律摆放的第n个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n的值．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，无人机在点A处测得大楼顶端D的俯角为24°，垂直上升8米到达B处，测得大楼底端C的俯角为64°，已知BC＝50米，求大楼CD的高度．
参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．
20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD的两个顶点A，B均在⊙O上，边BC与⊙O相交于点E，OA⊥AD，连接AC交⊙O于点F，延长AO交BE于点G．
（1）若平行四边形ABCD的面积为80，BE＝8，CE＝2，求OA的长；
（2）求证：CD2＝AC AF．
六、（本题满分12分）
21．（12分）寒假期间，某校举行学生参加家务劳动视频评比，成绩记为x分（60≤x≤100），分为四个分数段：①60≤x＜70，②70≤x＜80，③80≤x＜90，④90≤x≤100．学校从600人的参赛视频中随机抽取了部分视频统计成绩，并绘制了统计图表，部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）样本成绩的中位数落在第 分数段中；
（3）若80分以上（含80分）成绩的学生被评为“劳动能手”，根据统计成绩，试估计全校被评为“劳动能手”的学生人数．
七、（本题满分12分）
22．（12分）在四边形ABCD中，点E为AB的中点，分别连接CE，DE．
（1）如图1，若∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC．
（i）求证：AE2＝AD BC；
（ii）若DE平分∠ADC，求证：∠AED＝∠DCE；
（2）如图2，若∠DAB+∠B＝90°，∠DEC＝90°，AD＝3，BC＝1，求CD的长．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求a，b的值；
（2）点M为线段BC上一动点（不与B，C重合），过点M作MP⊥x轴于点P，交抛物线于点N．
（i）如图1，当时，求线段MN的长；
（ii）如图2，在抛物线上找一点Q，连接AM，QN，QP，使得△PQN与△APM的面积相等，当线段NQ的长度最小时，求点M的横坐标m的值．
2024年安徽省合肥市百校联赢名校大联考中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：|﹣6|＝6．
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．【分析】同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项的方法进行逐项解题即可．
【解答】解：A、（﹣a）2＝a2，a2与a3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a2 （﹣a）3＝﹣a5，故该项不正确，不符合题意；
C、（﹣a）3÷a2＝﹣a，故该项不正确，不符合题意；
D、[（﹣a）2]3＝a6，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
3．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A．选项A的三视图均不符合题意，故本选项不符合题意；
B．选项B的主视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意；
C．选项C的三视图均符合题意，故本选项符合题意；
D．选项D的左视图和俯视图均不符合题意，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义．
4．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x≤3，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
5．【分析】根据解析式判断函数的类型及增减性即可．
【解答】解：A、y＝﹣x，y随x的增大而减小，不符合题意；
B、y＝，x＜0，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、y＝x﹣1，y随x的增大而增大，符合题意；
D、y＝x2﹣1，x＜0，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数性质、一次函数性质、二次函数性质，熟练掌握相关函数的性质是关键．
6．【分析】连接AC，由圆周角定理可得∠ACE、∠BEC的度数，然后根据正方形的性质可得∠DCE的度数，因而可得答案．
【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，点E在⊙O上，∠ABE＝18°，
∴∠ACE＝∠ABE＝18°，∠ABC＝90°，∠BAC＝∠ACD＝∠BEC＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣18°＝27°，
∴∠BEC﹣∠DCE＝45°﹣27°＝18°，
故选：C．
【点评】此题考查的是正多形和圆、正方形的性质、圆周角定理，正确作出辅助线是解决此题的关键．
7．【分析】根据题意可得出所有等可能的结果数以及恰好组成偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：设两个奇数分别为a，b，两个非0的偶数分别记为c，d，
则任选两个不重复的数组成一个两位数的所有等可能的结果有：ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc，共12种，
其中恰好组成偶数的结果有：ac，ad，bc，bd，cd，dc，共6种，
∴恰好组成偶数的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．【分析】连接AP，过点A作AH⊥PD于点H，先推出ED＝AH＝FP，再证得矩形PDEF的面积等于△ADP面积的2倍，根据三角形的面积公式计算出△ADP的面积，即可得出矩形PDEF的面积．
【解答】解：如图，连接AP，过点A作AH⊥PD于点H，
∵四边形PDEF是矩形，
∴ED＝AH＝FP，S矩形PDEF＝PD ED，
∴S矩形PDEF＝PD AH，
∵，
∴S矩形PDEF＝2S△ADP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝1，∠BAD＝90°，
∴，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键．
9．【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
10．【分析】在AB边上截取BG＝BE，连接GF，GE，取AG的中点N，连接NF，连接AF并延长交BC于点H，证△BDE和△GFE全等得BD＝GF，∠B＝∠EGF＝60°，则∠AGF＝60°，再证AG＝2BD＝2GF，则AN＝GN＝GF，由此得△GFN为等边三角形，则∠GNF＝60°，FN＝GN，进而可得∠NAF＝30°，则点F始终在等边△ABC的角平分线AH上运动，根据“垂线段最短”得当MF⊥AF时，MF为最小，此时MF＝AM＝AB，由此可得线段MF的最小值．
【解答】解：在AB边上截取BG＝BE，连接GF，GE，取AG的中点N，连接NF，连接AF并延长交BC于点H，如下图所示：
∵△ABC，△DEF均为等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝60°，ED＝EF，∠DEF＝60°，
∵BG＝BE，∠B＝60°，
∴△AEG为等边三角形，
∴BE＝GE，∠BEG＝∠BGE＝60°，
∴∠BED+∠DEG＝∠BEG＝60°，
又∵∠DEG+∠GEF＝∠DEF＝60°，
∴∠BED＝∠GEF，
在△BDE和△GFE中，
，
∴△BDE≌△GFE（SAS），
∴BD＝GF，∠B＝∠EGF＝60°，
∴∠AGF＝180°﹣（∠BGE+∠EGF）＝60°，
∵AB＝BC，BG＝BE，
∴AG＝CE，
∵CE＝2BD，
∴AG＝2BD＝2GF，
∵点N为AG的中点，
∴AN＝GN＝GF，
∵∠AGF＝60°，
∴△GFN为等边三角形，
∴∠GNF＝60°，FN＝GN，
∴AN＝FN，
∴∠NAF＝∠NFA，
∵∠NAF+∠NFA＝∠GNF＝60°，
∴∠NAF＝30°，
∴AH为等边△ABC的角平分线，
∴点F始终在等边△ABC的角平分线AH上运动，
根据“垂线段最短”得：当MF⊥AF时，MF为最小，
此时MF＝AM，
又∵点M为AB的中点，AB＝2，
∴AM＝AB＝1，
∴MF＝AM＝．
∴线段MF的最小值为．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，证明点F始终在等边△ABC的角平分线AH上运动，利用垂线段最短得出当MF⊥AF时，MF为最小是解决问题的难点．
二、填空题（本大题共4小级，每小题5分，满分203）
11．【分析】首先计算开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
【解答】解：1﹣
＝1﹣（﹣2）
＝1+2
＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：208万＝2080000＝2.08×106，
故答案为：2.08×106．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
13．【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据全等三角形的性质得出AG＝AF，BG＝BD，得出AF+BD＝AG+BG＝5，从而推出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝，
∴AG+BG＝5，
∵△AFE≌△AGE，△BGE≌△BDE，
∴AG＝AF，BG＝BD，
∴AF+BD＝AG+BG＝5，
又∵AC+BC＝BD+CD+CF+AF＝3+4＝7，CD＝CF，
∴2CD＝7﹣5＝2，
∴CD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，由勾股定理得出AB的长是解题的关键．
14．【分析】（1）先推出D（k，1），根据条件可得到点E的横坐标为，代入解析式求出点E纵坐标就是EG长；
（2）利用勾股定理求出FH长，利用比例关系计算出OA长，根据进行面积计算方法计算即可．
【解答】解：（1）∵OF＝1，
∴点D点的纵坐标为1，
∵点D在反比例函数 的图象上，
∴D（k，1），
∴OA＝k，
∵，
∴OG＝k，即点E的横坐标为
∵点E在反比例函图象上，
∴点E的纵坐标为，
∴EG＝．
故答案为：．
（2）令EG与DF交于点H，
∵，GH＝OF＝1，
∴
∴FH＝OG＝，
∵，
∴OA＝，
∴矩形OABC的面积为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】根据分式的加法法则、约分法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的加法法则是解题的关键．
16．【分析】设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据去年计划实现总销售利润200万元，实际总销售利润为225万元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，
根据题意得：，
解得：，
∴（1+5%）x＝（1+5%）×50＝52.5，（1+15%）y＝（1+15%）×150＝172.5，
答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）结合网格可知，△ABC为等腰直角三角形，取斜边AB的中点M，连接CM并延长，交格点于点P，作射线CP即可．
【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求．
（2）如图，线段A2C2即为所求．
（3）由网格图可知，△ABC为等腰直角三角形，
取斜边AB的中点M，连接CM并延长，交格点于点P，作射线CP，
如图，射线CP即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、等腰直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
18．【分析】（1）根据上述中国结的图形进行归纳计算即可；
（2）结合上述图形和题目即可得出结果；
（3）结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，列出代数式并求解即可．
【解答】解：（1）根据上述图形可知，
第1个图案中黄梅花的盆数可表示为2×1+4，
第2个图案中红梅花的盆数可表示为2×2+4，
第3个图案中红梅花的盆数可表示为2×3+4，
第4个图案中红梅花的盆数可表示为2×4+4，
…，
∴第n个图案中黄梅花的盆数为：2n+4，
故答案为：2n+4；
（2）根据题意可知：
第n个图案中红梅花的盆数表示为：n（n+1），
故答案为：n（n+1）；
（3）由题意得：n（n+1）﹣（2n+4）＝68，
解得：n＝9，n＝﹣8（不符合题意，舍去），
即第9个图案中红梅花比黄梅花多68盆．
【点评】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出梅花的变化规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】延长CD交AF于点G，交BE于点H，根据题意可得：AB＝GH＝8米，AG＝BH，CG⊥AF，CH⊥BE，然后在Rt△BCH中，利用锐角三角函数的定义求出BH和CH的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：延长CD交AF于点G，交BE于点H，
由题意得：AB＝GH＝8米，AG＝BH，CG⊥AF，CH⊥BE，
在Rt△BCH中，∠CBF＝64°，BC＝50米，
∴CH＝BC sin64°≈50×0.9＝45（米），
BH＝BC cos64°≈50×0.44＝22（米），
∴AG＝BH＝22（米），
在Rt△ADG中，∠DAE＝24°，
∴DG＝AG tan24°≈22×0.45＝9.9（米），
∴CD＝CH﹣HG﹣DG＝45﹣8﹣9.9＝27.1（米），
∴大楼的高度CD约为27.1米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．【分析】（1）连接OB，由BE＝8，CE＝2，得BC＝10，由平行四边形的性质得BC∥AD，而OA⊥AD，所以∠AGB＝∠DAG＝90°，则AG⊥BE，由垂径定理得BG＝EG＝4，因为平行四边形ABCD的面积为80，所以AG＝8，由勾股定理得（8﹣OA）2+42＝OA2，求得OA＝5；
（2）连接AE、BF，由AE＝AB，得∠ABC＝∠AEB，由圆周角定理得∠AFB＝∠AEB，所以∠AFB＝∠ABC，而∠FAB＝∠BAC，则△FAB∽△BAC，所以＝，则AB2＝AC AF，所以CD2＝AC AF．
【解答】（1）解：如图1，连接OB，
∵BE＝8，CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝8+2＝10，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∵OA⊥AD，
∴∠AGB＝∠DAG＝90°，
∴AG⊥BE，
∴BG＝EG＝BE＝4，
∵平行四边形ABCD的面积为80，
∴BC AG＝10AG＝80，
∴AG＝8，
∵OG2+BG2＝OB2，且OG＝8﹣OA，OB＝OA，
∴（8﹣OA）2+42＝OA2，
解得OA＝5，
∴OA的长是5．
（2）证明：如图2，连接AE、BF，
∵AG垂直平分BE，
∴AE＝AB，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴∠AFB＝∠AEB，
∴∠AFB＝∠ABC，
∵∠FAB＝∠BAC，
∴△FAB∽△BAC，
∴＝，
∴AB2＝AC AF，
∵AB＝CD，
∴CD2＝AC AF．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）由60≤x＜70频数和频率求得总数，根据频率＝频数÷总数求得第③④分数段的值，即可补全频数分布直方图；
（2）由中位数定义求解即可得；
（3）总数乘以80分以上的频率即可．
【解答】解：（1）本次调查的总数为18÷36%＝50（人），
第③段人数为50×24%＝12（人），
第④段人数为50﹣18﹣17﹣12＝3（人），
频数分布直方图，如图所示，
（2），查的总数为50，中位数为第25、26个数的平均数，
∴中位数落在②70≤x＜80分数段中，
故答案为：②；
（3）600×（24%+×100%）＝180（人），
答：估计全校被评为“劳动能手”的学生人数为180人．
【点评】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，以及扇形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）（i）根据对应角相等证明△AED∽△BCE，所以对应边成比例，再根据E是AB中点，代入比例式即可求证；
（ii）根据三角形内角和定理以及平角的定义求证即可；
（2）过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接DF，根据全等三角形的判定与性质，构造Rt△DAF，在根据等腰三角形的判定得出△CDF为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出CD的长．
【解答】（1）证明：（i）∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC，
∴△AED∽△BCE，
∴，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴，即AE2＝AD BC；
（ii）∵∠AED+∠DEC+∠CEB＝180°，∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠A+∠ADE＝∠DEC+∠CEB，
∵∠ADE＝∠BEC，
∴∠A＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°，
∴∠AED＝∠DCE；
（2）解：如图，过点A作AF∥BC，交CE的延长线于点F，连接DF，
∴∠FAE＝∠B，
∵AE＝BE，∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA），
∴AF＝BC，EF＝EC，
∵∠DAB+∠B＝90°，
∴∠DAB+∠BAF＝90°，
∴∠DAF＝90°．
∵∠DEC＝90°，
∴DF＝DC，
在Rt△ADF中，AD2+AF2＝DF2
∵AD＝3，BC＝1，
∴AF＝1，
∴CD＝DF＝．
【点评】本题主要考查了三角形综合题，熟练运用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理是本题解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解；
（2）（i）由，即，即可求解；
（ⅱ）△PQN与△APM的面积相等，得到QR＝1求出点Q的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
则﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
即a＝1，b＝﹣2；
（2）（i）由抛物线的表达式知，C（0，﹣3），
由点B、C的坐标得，直线BC为y＝x﹣3，
设M（m，m﹣3），
则PM＝PB＝3﹣m，PA＝m+1，
∵，即，
解得m＝2，经检验m＝2 符合题意，
当m＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴PN＝3，PM＝PB＝3﹣m＝1，
∴MN＝2；
（ⅱ）作 QR⊥PN于点R，
由（i）知PA＝m+1，PB＝PM＝3﹣m，PN＝﹣m2+2m+3，
∵△PQN 的面积为（m2+2m+3） QR，△APM的面积为：×AP PM＝（m+1）（3﹣m）＝（m2+2m+3） QR，
解得：QR＝1；
当点Q在PN的左侧时，如图1，
Q点的横坐标为 m﹣QR＝m﹣1，纵坐标为 （m﹣1）2＝2×（m﹣1）﹣3＝m2﹣4m，
即点Q（m﹣1，m2﹣4m）
∵N点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
则QN2＝1+（3﹣2m）2，
故当时，NQ取最小值；
当点Q在PN的右侧时，如图2，
同理可得，点Q（m+1，m2﹣4），
N点的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
由点N、Q的坐标得：NQ2＝（2m﹣1）2+1，
∴当，NQ取最小值．
综上，m的值为 或．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
