请在各科目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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2024 年春季期中教学质量测试
20．
1 1 x2
初二年数学答题卡 18．先化简，再求值： ( + ) ，其中 x = 2． x +3 x 3 x2 9
学 校
班 级 条 形 码 粘 贴 区 初 年 班
姓 名
注意事项：
1.答题前，务必先认真核对条码信息，并填写考生信息；
2.填涂时用 2B 铅笔将选项涂满涂黑，修改时用橡皮擦干净，请注意题号顺序；
3.在指示的答题区域内作答，要求字体工整，笔迹清晰；
4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁做任何标记，严禁使用涂改液和修正带。
涂 填 样 例 正确填涂 错误填涂
一、选择题
1. A B C D 5. A B C D 9. A B C D
2. A B C D 6. A B
3. A B C D 7. A B
C D 10. A B C D C D
4. A B C D 8. A B C D
二 、填空题
21．
x 5
19．解方程： =1+ ．
2x 5 5 2x
11. 12. 13.
14. 15. 16.
三、解答题
0 2024
1 7．计算： ( 2024) + 2 2 + 2 ( 1) ．
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22． 24． 25．
（
1）不论 k 取何值，直线 l 恒过定点P，则P的坐标是 ；
23．（1）
（2）观察图象，发现：
①当 x 时，y 随 x的增大而 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ；
（3） x的取值范围是 ．
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初二年数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神
进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，
但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是 1 分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B B C B A D A
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
11． 71 12．2 10 13．（ 3， 2 ）
29 12
14． x 2 15．m 6且m 3 16．（ 7， 4 ）或（- ， ）
5 5
三、解答题（共 86 分）
0
17．解： 2024 2 2
2024
2 1
1
＝1 2 6分（化简正确每个 2分）
4
1
＝3 ． 8 分
4
1 1 x2
18．解： ( )
x 3 x 3 x2 9
x 3 x +3 x2
2 分
(x +3)(x 3) (x +3)(x 3) (x +3)(x 3)
2x (x +3)(x 3)
4 分
(x +3)(x 3) x2
2
6 分
x
2
当 x 2时，原式 1． 8 分
2
初二年数学参考答案 第 1 页 共 7 页
x 5
19． 1
2x 5 5 2x
解：方程两边同乘以 (2x 5)，约去分母，得 1 分
x 2x 5 5 4 分
解得： x 10 6 分
检验：把 x 10代入2x 5得：2 10 5 0
所以 x 10是原方程的解． 8 分
20．解：
1
（1）当 y 0时， x 1 0 1 分
2
解得： x 2 2 分
∴点 A 的坐标（-2，0） 3 分
∵点 A 关于 y 轴的对称点为 A′
∴点 A′的坐标（2，0） 4 分
（2）∵直线 A′B 过点 A（′ 2，0）和 B（0，2）
2k b 0
∴ 6 分
b 2
k 1
解得： 7 分
b 2
∴直线 A′B 的函数表达式 y x 2． 8 分
21．解：
（1）∵函数 y2 k2(x 1) 3 的图象过点 A
当 x 1时， y2 3
∴点 A 的坐标（-1，3） 1 分
k
∵函数 y1
1 的图象过点 A（-1，3）
x
k
∴3 1
1
∴ k1 3 2 分
3
∴反比例函数表达式为 y ， 1
x
3
当 y1 2时， x
2
初二年数学参考答案 第 2 页 共 7 页
3
∴点 B 的坐标（ ，-2） 3 分
2
3
∵函数 y2 k2(x 1) 3 的图象过点 B（ ，-2） 2
3
∴ 2 k2 ( 1) 3
2
∴ k2 2 4 分
3
（2）由（1）得：点C 的坐标（ ，3），点D的坐标（ 1，-2） 5 分
2
设直线CD的解析式为 y kx b，得
3
k b 3
2
k b 2
k 2
解得： 6 分
b 0
∴直线CD的解析式为 y 2x 7 分
当 x 0时， y 0
∴点O在直线CD上
∴C ，O，D三点共线． 8 分
22．解：
（1）设每台 A 型小音箱的进价为 x元，则每台 B 型小音箱的进价为 x 10 元，
4500 4000
依题意得： 1.5 2 分
x x 10
解得： x 30
经检验： x 30是原方程的解，且符合题意. 3 分
∴每台 B 型小音箱的进价：30 10 40（元）
答：每台 A 型小音箱的进价为 30 元，每台 B 型小音箱的进价为 40 元．
4 分
初二年数学参考答案 第 3 页 共 7 页
（2）设购进 A 型小音箱m台，则购进 B 型小音箱 70 m 台，
依题意得：m 2 70 m
2
解得：m 46 6 分
3
设利润为W 元，则
W (35 30)m (48 40)(70 m)
3m 560 8 分
∵ k 3 0
∴W 随m的增大而减少
∴m取最小值 47 时，获得利润最大，
即当m 47时，W 3 47 560 419（元） 9 分
所以应购进 A 型小音箱 47 台，B 型小音箱 23 台，售完之后所获的利
润最大，最大利润是 419 元． 10 分
23．解：（1）如图所示：
3 分
（2）①1，增大， 5 分
② （1，0） 7 分
（3） x 1或x 2 10 分
初二年数学参考答案 第 4 页 共 7 页
24．解：
4
（1）∵点D在反比例函数 y （ x 0）的图象上，DC 2，
x
4
令 y 2，则 2 ，
x
∴ x 2，即OC 2 1 分
∵原点O恰好是线段 AC 的中点
∴OA OC 2
即 A 2，0 2 分
k
∴B( 2，- ) 3 分
2
k
∴ AB -
2
∵ S S梯形ABDC △ABC S△BOD S△DOC
1 k k
∴ (2 ) 4 6 2 4 分
2 2 2
解得： k 8
8
∴反比例函数的解析式为 y 5 分
x
（2）存在点 P 、Q，使得△ APQ是等腰直角三角形．理由如下：
由（1）得：B( 2，4)
∴直线OB 的表达式为 y 2x
∵Q是线段OB 上的一个动点
∴设Q(t， 2t) .
①当 PAQ 90 ， AP AQ时，点Q与原点O重合，
∴P( 2，2)，Q(0,0）； 7 分
②当 APQ 90 ， AP PQ时，如图 1，
初二年数学参考答案 第 5 页 共 7 页
2
∴ t ( 2) 2t，解得 t
3
4
∴ AP PQ
3
4 2 4
∴P( 2，)，Q( , ） 9 分 3 3 3
③当∠AQP=90°，QP QA时，如图 2，
过点Q作QN ⊥ AP于点 N
4 2 4
由②的解法可求得：N ( 2，)，Q( , ）
3 3 3
8
∴ AP 2AN
3
8 2 4
∴ P( 2，)，Q( , ） 11 分 3 3 3
4 2 4 8 2 4
综上所述：当P( 2，2)，Q(0，0）或P( 2，)，Q( , ）或P( 2，)， Q( ，）
3 3 3 3 3 3
时，△ APQ是等腰直角三角形． 12 分
25．解：（1） (2，2) 3 分
（2）①当 k 0时， 2k 2 1
1
解得： k 2
5 分
②当 k 0时，3k 2k 2 0
解得： k 2 7 分
1
综上所述：当 k 2或 k 时，直线 l 与线段 AB 相交． 8 分
2
（3）当 k 0时，直线 y kx 2k 2中， y 随 x的增大而增大，
∴当0 x 3时， 2k 2 y k 2 9 分
∵以 y 、 、 为长度的 3 条线段能围成三角形 1 y2 y3
初二年数学参考答案 第 6 页 共 7 页
2k 2 0 2
∴ 解得： k 10 分
2( 2k 2) k 2 5
2
∴0 k 11 分
5
当 k 0时，直线 y kx 2k 2中， y 随 x的增大而减少，
∴当0 x 3时， k 2 y 2k 2 12 分
∵以 y 、1 y 、 y 为长度的 3 条线段能围成三角形 2 3
k 2 0 1
∴ ，解得： k
2(k 2) 2k 2 2
1
∴ k 0 13 分
2
1 2
∴ k 0或0 k 14 分
2 5
初二年数学参考答案 第 7 页 共 7 页2024 年春季期中教学质量测试
初二年数学试题
（满分：150 分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案都必须填涂（写）在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。
学校 班级 姓名 考号
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．下列代数式中是分式的是
a 3 3 a a
A． B． C． D．
4 2 3 a 1
2
2．若分式 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
x 1
A． x 1 B． x 0 C． x 1 D． x 1
3．下列分式中，是最简分式的是
x y a2 b29 5ab
A． B． C． D．
x y 6x 3b2 2a 2b
4．在下列图象中，表示 y 是 x 的函数的是
A B C D
5．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面
积 S（m2）的反比例函数，其函数图象如图
所示，当 S 0.25m2时，该物体承受的压
强 P 的值为
A．100 B． 400
C．1000 D． 2500
初二年数学试题 第 1 页（共 6 页）
6．一次函数 y 4x 5的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1 m x
7．若关于 x 的方程 2 有增根，则 m 的值是
x 2 x 2
A．5 B．3 C． 2 D．1
8．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人
去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．其大意为：现请人代买
一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一
株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株
椽？设这批椽的数量为 x株，则符合题意的方程是
6210 6210
A． 3(x 1) B． 3
x x 1
6210 6210
C． 3x 1 = D． 3
x x
6 k
9．双曲线 l1： y 和 l2： y (k 0)的图象如图所示，点 A 是 l1上一点，分别过
x x
点 A 作 AB⊥x 轴，AC⊥y 轴，垂足分别为点 B，
点 C，AB 与 l2交于点 D，若△AOD 的面积为 2，
则 k 的值
A．4 B． 4
C．2 D． 2
10．甲、乙两运动员在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 560 米，
先到终点的运动员原地休息．已知甲先出发 1 秒，两运动员之间的距离 y
（米）与乙出发的时间 t（秒）之间的关系如图所示．给出以下结论：①乙
运动员的速度比甲运动员每秒快1米；②乙出
发后 7秒追上甲；③甲乙两运动员的最大距离是
63米；④乙运动员比甲运动员早10秒到达终
点．其中正确的是
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．
11．点 A（ a 1，a 2）在 y 轴上，则 a＝ ．
12．每个生物携带自身基因的载体是生物细胞的 DNA．DNA 分子的直径约为
0.000 000 2 cm，它们在细胞核的染色体上，按一定顺序排列成螺旋状的独特结
构．将 0.000 000 2 用科学记数法表示是 ．
13．已知点 P 在第二象限，距离 x 轴 2 个单位，距离 y 轴 3 个单位，则点 P 的坐标
是 ．
14．如图，直线 y＝2x 与直线 y＝kx＋b 相交于点 A(m，4)，
则不等式 2x kx b 的解集为 ．
x m
15．关于 x的分式方程 2 的解为非正数，则m 的
x 3 x 3
取值范围是 ．
3
16．直线 y x 3与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点，把射线 AB 绕点 A 逆时针旋转
4
90°得射线 AC，点 P 是射线 AC 上一个动点，点 Q 是 x 轴上一个动点．若△PQA
与△ AOB全等，则点 P 的坐标是 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
0 2024
17．（8 分）计算： 2024 2 2 2 1 ．
1 1 x2
18．（8 分）先化简，再求值： ( ) ，其中 x 2．
x 3 x 3 x2 9
x 5
19．（8 分）解方程： 1 ．
2x 5 5 2x
20．（8 分）
1
如图，直线 y x 1与 x 轴交于点 A，点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，经过点 A′ 和
2
y 轴上的点 B（0，2）的直线为 y kx b．
（1）求点 A′的坐标；
（2）确定直线 A′B 的函数表达式．
初二年数学试题 第 3 页（共 6 页）
21．（8 分）
k
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知 k k 0 ，设函数 y 11 2 1 与函数
x
y2 k2(x 1) 3 的图象交于点 A和点 B ．已知点 A的横坐标是 1，点 B 的纵坐标是
2．
（1）求 k ， 的值； 1 k2
（2）过点 A作 y 轴的垂线，过点 B 作 x 轴的垂线，在第一象限交于点C ．过点 A
作 x 轴的垂线，过点 B 作 y 轴的垂线，在第三象限交于点D．求证：C ，O，D 三点
共线．
22．（10 分）
某电商公司根据市场需求购进一批 A，B 两种型号的电脑小音箱进行销售，每台
B 型小音箱的进价比 A 型小音箱的进价多 10 元，用 4500 元购进 A 型小音箱的台数
是用 4000 元购进 B 型小音箱的台数的 1.5 倍．
（1）求每台 A，B 两种型号的小音箱的进价．
（2）该电商公司计划分别购进 A，B 两种型号的小音箱共 70 台进行销售，其中
A 型小音箱台数不少于 B 型小音箱台数的 2 倍，A 型小音箱每台售价为 35 元，B 型
小音箱每台售价为 48 元，怎样安排进货才能使售完这 70 台小音箱所获利润最大？最
大利润是多少元？
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23．（10 分）
在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数
4
性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数 y
x 1
的图象性质．
（1）根据题意，列表如下：
x 3 1 0 2 3 5
y 1 2 4 4 2 1
在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象；
（2）观察图象，发现：
①当 x＞ 时， y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减少”）；
②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 ；
4 4
（3）函数 y 2的图象可由函数 y 的图象平移得到（不必画图），
x 1 x 1
4
想象平移后得到的函数 y 2图象，直接写出当 y≥ 2时， x 的取值
x 1
范围是 ．
初二年数学试题 第 5 页（共 6 页）
24．（12 分）
k
如图，在平面直角坐标系中，点 B ， D分别在反比例函数 y （k < 0，x <0）和
x
4
y （ x 0）的图象上．已知BA x轴于点 A，DC x轴于点C ，原点O恰好是线
x
段 AC 的中点，连接BD、OD、OB ，△OBD的面积为6 ，DC 2．
k
（1）求反比例函数 y 的解析式；
x
（2） P 是线段 AB 上的一个动点，Q是线段OB 上的一个动点，试探究是否存在
点 P 、Q，使得△ APQ是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点P 、点Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
25．（14 分）
已知：直线 l ： y kx 2k 2 ( k 0 )．
（1）不论 k 取何值，直线 l 恒过定点 P ，则 P 的坐标是 ；
（2）已知点 A、 B 坐标分别为（0，1）、（3，0），若直线 l 与线段 AB 相交，
求 k 的取值范围；
（3）在0≤x≤3范围内，任取 3 个自变量 x1， x2 、 x3 ，它们对应的函数值分别为
y1、 y2 、 y3 ，若以 y1 、 y2 、 y3 为长度的 3 条线段能围成三角形，求 k 的取值范围．
初二年数学试题 第 6 页（共 6 页）
